Problemas de desarrollo

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1 IE TE Nombre: Insiuo Tecnológico de osa Rica Escuela de Ingeniería Elecrónica EL-7 Modelos de Sisemas Profesor: Dr. Pablo Alvarado Moya II Semesre, 5 Examen Parcial Toal de Punos: 9 Punos obenidos: Porcenaje: Noa: arné: Adverencia: En odas las pregunas y problemas debe poder observarse el proceso para llegar a la solución. En caso conrario no se asignarán punos. Nóese que ese proceso puede ser una simple observación (por ejemplo: por simería del inegrando se observa... ) y no necesariamene un desarrollo maemáico compleo! Problemas de desarrollo Problema (5 Punos) Mapeos La figura. muesra un circuio R con ensiones elécricas de enrada y salida U en (jω) y U sal (jω) respecivamene. La función de ransferencia H(jω) de ese circuio se define como + + U en (jω) R U sal (jω) Figura.: ircuio R ensión de salida dividida enre la ensión de enrada, y esá dada por H(jω) = U sal(jω) U en (jω) = + jωr que, para valores reales posiivos consanes de resisencia R y capaciancia, es una función de valor complejo que depende de la variable real ω. Esa función puede expresarse de forma más general como un mapeo del plano de frecuencia compleja s = σ + jω al plano H H = (.) + sr.. Deermine los pasos de roación, escalado, raslación e inversión involucrados en el mapeo (.). Indique ano el ipo de paso, como la magniud (y evenualmene dirección) involucrada. (6 Punos)

2 .. Deermine la imagen en el plano H del eje imaginario del plano s = σ + jω cuando se ransforma ése con el mapeo (.). Indique la ecuación de dicha imagen en érminos de la variable compleja H y grafíquela en el plano H. ( Punos).. Marque en su gráfico en el plano H los punos correspondienes a ω =, ω = ± y ω = ±/(R). (5 Punos).. Encuenre la imagen del semiplano izquierdo del plano s en el plano H con el mapeo (.). ( Punos).5. Deermine los punos de s en los cuales el mapeo (.) es conforme. ( Punos) Problema ( Punos) Series de Lauren Sea la función f(z) = z (z + a)(z a) (.).. Indique cuános polos y ceros iene esa función y su respecivo orden. ( Punos).. Para el caso en que la Serie de Lauren de f(z) se cenra en z =, indique cuánas regiones de convergencia son posibles, y cuáles son esas regiones. (onsidere aquí solo las regiones de exensión máxima, pueso que en principio cada region de convergencia puede descomponerse en un número infinio de subregiones) ( Punos).. Deermine la Serie de Lauren de f(z) si ésa se cenra en z = a, y si el puno z = a debe esar en su región de convergencia. ( Punos).. Especifique la región de convergencia para la serie del puno anerior. ( Punos).5. Indique el valor del residuo en la serie del puno.. ( Punos) Problema (5 Punos) Orogonalidad Sea U = u (), u ()} una base funcional orogonal (figura.) donde τ para < τ u () = τ + para τ < τ τ + para < τ τ para τ u () = < τ τ para τ < τ en el reso en el reso on esas funciones debe aproximarse la función f() en la figura. a ravés de una combinación lineal de la base U para el inervalo τ... alcule las normas de u () y u (). ( Punos)

3 u () u () τ τ Figura.: Base orogonal con dos funciones f() τ f() = para < τ para τ < τ en el reso Figura.: Función a aproximar.. Encuenre los coeficienes c y c que mejor aproximan a la función f() con la combinación lineal ( Punos) f() c u () + c u ().. Grafique la mejor aproximación lineal para f() con esas dos funciones orogonales. ( Punos).. Para mejorar la aproximación se agrega una función más a la base orogonal dada por (5 Punos) u () = u () + u ( τ). Para los coeficienes de la nueva aproximación lineal se cumple: a) omo u () no es orogonal a las oras funciones u i (), odos coeficienes deben calcularse de nuevo. b) omo u () es orogonal a las oras funciones u i (), odos coeficienes deben calcularse de nuevo. c) omo u () no es orogonal a las oras funciones u i (), los coeficienes aneriores se manienen, y solo debe calcularse c. d) omo u () es orogonal a las oras funciones u i (), los coeficienes aneriores se manienen, y solo debe calcularse c.

4 Pregunas. Las raíces cúbicas de j con a IR son: ( Punos) a6 a) j/a, e jπ/ /a, e j7π/6 /a b) e jπ/6 /a, j/a, e j7π/6 /a c) j/a, e jπ/6 /a, e j7π/6 /a d) e jπ/6 /a, e π/ /a, e j5π/6 /a e) e jπ/6 /a, j/a, e j7π/6 /a. La reca en el plano z = x + jy descria por la ecuación z = z a, con a, Im(a) equivale a ( Punos) a) La ecuación dada no corresponde a una reca b) y = Im(a) Re(a) x Im(a) c) y = Im(a) Re(a) x + Im(a) d) y = Re(a) Im(a) x + a Im(a) e) y = Re(a) Im(a) x a Im(a). Encuenre la función conjugada v(x, y) de u(x, y) = e x cos y + x, y exprese la función analíica f(z) = u(x, y) + jv(x, y) en érminos de z, donde z = x + jy. (5 Punos) v(x, y) = f(z) =. Para la función f(z) = z a, si los siguienes punos se uilizan como cenros z de su desarrollo en serie de Taylor, indique para cuál de ellos se obiene el mayor radio de convergencia R. ( Punos) a) z = a b) z = a c) z = a d) z = a e) La función no iene desarrollo de Taylor

5 5. on relación a la preguna anerior la mayor región de convergencia para la serie de Taylor de f(z) = z a será para el cenro z por used indicado: ( Punos) a) Todo el plano z menos a b) z a < Im(a) c) z + a < a d) z + a < Re(a) e) Insiso, esa función no iene desarrollo de Taylor! 6. Asocie los érminos indicados a lado derecho para una función f() con las caracerísicas al lado izquierdo de sus desarrollos en series de poencias cenrados en el puno en cuesión. ( Punos) z Serie cenrada en z A Polo Pare principal de serie de Lauren infinia B Singularidad escencial Primeros érminos de Serie de Taylor nulos ero Pare principal de Serie de Lauren es finia D Puno regular Pare principal de Serie de Lauren es nula 7. alcule el valor de la inegral ( Puno) z + j dz si la rayecoria de inegración es un paralelogramo con esquinas, j, y j. a) Pueso que la función no es analíica, la inegral no exise b) c) πi d) j e) π( + j) 8. Para la inegral z + j z + jz + 8z + j dz encuenre los polos y ceros correspondienes del inegrando. Ayuda: Se sabe que el polinomio en el denominador iene al menos una raíz en z = j. ( Punos) a) Polos en j y j, ambos de orden uno b) ero en j, polo en j c) Polo en j de orden uno y en j de orden d) ero en j, polos en j y j de orden uno e) ero en j, polo en j de orden uno y en j de orden 5

6 9. onsidere la inegral I = (z j)(z + j) dz y asocie los valores de la inegral para los conornos de inegración indicados, si odos ellos son dados en senido posiivo. ( Punos) Noe que opciones a la derecha pueden quedar sin marcar, y que un mismo valor podría ser asignado a varios conornos de inegración. onorno Valor de I A z = π/5 B z j = π/5 z + j = πj D z = π 8π/5. Asigne a las exensiones periódicas con periodo T p = de las funciones f i () mosradas en la siguiene página, los coeficienes de la serie de Fourier exponencial compleja correspondienes. Nóe que basa uilizar las propiedades de la serie para enconrar esa correspondencia y que no es necesario hacer los cálculos explícios de los coeficienes para ello. Puede suponer que ω = πf = π/t p con el periodo del desarrollo de Fourier T p (5 Punos) 6

7 Figura Función para f() A f () = sen(ω ) B f() f () = 6 ( ) < 6 ( ) ( ) < f() f () = D f() f () = en el reso k = c k = j k kπ k = π c k = k = ( )k + k Z \, } π( ) k (k ) k = c k = sa ( ) kπ k k = c k = j 8 ( ( ) k ) k k π 7