λ = a/c, µ = bc ad, α = c 2, β = cd y, u y = v x Funciones conjugadas u(x, y) y v(x, y) si cumplen Ec. Cauchy-Riemann. Función armónica: 2 u(x, y)

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Inés Duarte de la Fuente
hace 5 años
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1 Formulario EL-470 Modelo de Sitema Ecuela de Ingeniería Electrónica Intituto Tecnológico de Cota Rica Prof.: Dr. Pablo Alvarado Moya M α n = αm+ α en(a ± B) = en(a) co(b) ± co(a) en(b) co (A) = ( + co(a)) en en(a) en(b) = (co(a B) co(a + B)) co(a) α n = α, α < co(a ± B) = co(a) co(b) en(a) en(b) (A) = ( co(a)) co(b) = (co(a B) + co(a + B)) en(a) co(b) = (en(a B) + en(a + B)) ( ) A en = ( co(a)) co e jω = co(ω) + j en(ω) co(ω) = ejω + e jω Decompoición en funcione imétrica ( ) A = ( + co(a)) en(ω) = ejω e jω j f(t) = f e (t) + f o (t), f e (t) = f e ( t), f o (t) = f o ( t) f(t) + f( t) f(t) f( t) f e (t) = f o (t) = Mapeo Círculo centrado en z 0 y radio r: z z 0 = r Recta mediatriz a egmento entre a y b: z a = z b Mapeo lineal: w = αz + β Mapeo de inverión: w = /z Mapeo bilineal: w = az + b cz + d = λ + µ αz + β, Derivación compleja λ = a/c, µ = bc ad, α = c, β = cd Para f(z = x + jy) = u(x, y) + jv(x, y). Ecuacione de Cauchy Riemann f (z) u x = v y, u y = v x Funcione conjugada u(x, y) y v(x, y) i cumplen Ec. Cauchy-Riemann. Función armónica: u(x, y) + u(x, y) = 0 x y Mapeo conforme: f (z), f (z) 0 c P. Alvarado Uo excluivo ITCR Verión 30 de enero de 009

2 Serie Radio de convergencia R y razón de D Alambert para (z z 0 ) n Serie de Taylor: f(z) = f (n) (z 0 ) n! Serie de Laurent: f(z) = c n (z z 0 ) n Reiduo: a = n= (m )! lím z z 0 { } d m dz [(z z 0) m f(z)] m a n z n : R = lím e z = + z! + z! +... zn n! +... ; z < en z = z z3 3! + z5 5!... + ( )n z n+ (n + )! +... ; z < co z = z! + z4 zn... + ( )n 4! (n)! +... (a z 0 ) n para z z (z z n= 0 ) n 0 > a z 0 = z a (z z 0 ) n para z z (a z 0 ) n+ 0 < a z 0 ; z < n Integración compleja Teorema de la integral de Cauchy: f(z) dz = 0 i f (z) dentro y obre C. C f(z) Fórmula de la integral de Cauchy: C (z z 0 ) dz = f (n) (z n+ 0 ) πj n! n Teorema del reiduo: f(z) dz = πj Serie de Fourier C b Producto interno u k (t), x(t) = u k (t)x(t) dt a x(t) = c k u k (t) con {u k k Z} una bae funcional ortogonal, c k C. k= i= a (i) Generalizada: c k = u k(t), x(t) u k (t) Fourier exponencial compleja (para funcione periódica de periodo ). Fourier coenoidal x(t) = x(t) = c 0 + k= c k e jω 0kt c k = t0 + e jω0kt x(t) dt c k co(ω 0 kt + θ k ) c k = c k, θ k = c k, k > 0 k= t 0 a n a n+ c P. Alvarado Uo excluivo ITCR Verión 30 de enero de 009

3 Fourier enoidal x(t) = a 0 + a k co ω 0 kt + b k en ω 0 kt k= k= a k = t0 + x(t) co ω 0 kt dt = c k co(θ k ) b k = t 0 t0 + t 0 x(t) en ω 0 kt dt = c k en(θ k ) Propiedade de la Serie de Fourier (periodo, ω 0 = π/ ) Propiedad Señal en el tiempo Coeficiente x(t) x (t) x (t) c k c k c k Linealidad α x (t) + α x (t) α c k + α c k Simetría par x(t) = x( t) c k = Tp c k IR Simetría impar x(t) = x( t) c k = j c k jir Función real x(t) IR c k = c k Deplazamiento temporal x(t τ) e jω0kτ c k Conjugación x (t) c k Inverión en el tiempo x( t) c k Ecalamiento en el tiempo x(αt), α > 0 c k Convolución periódica x (τ)x (t τ) dτ c k c k Multiplicación x (t)x (t) c l c k l Diferenciación Integración Relación de Pareval dx(t) dt t x(t) dt, c 0 = 0 t0 + l= jkω 0 c k c k jkω 0 t 0 x(t) dt = 0 Tp 0 x(t) co(ω 0 kt) dt k= x(t) en(ω 0 kt) dt c k c P. Alvarado Uo excluivo ITCR Verión 30 de enero de 009 3

4 Tranformada de Fourier Tranformada directa: X(jω) = Tranformada invera: x(t) = π Alguna Tranformada de Fourier x(t)e jωt dt X(jω)e jωt dω Nombre Señal en el tiempo Tranformada Tranformación x(t) = X(jω)e jωt dω X(jω) = x(t)e jωt dt π Impulo unitario δ(t) Ecalon unitario u(t) jω + πδ(ω) Impulo rectangular [u(t t τ 0) u(t t 0 τ)] e jω(t 0+ τ ) a(ωτ/) Exponencial e at u(t), Re{a} > 0 a + jω Exponencial por rampa e at tu(t), Re{a} > 0 (a + jω) Laplaciana e a t a, Re{a} > 0 a + ω Exponencial compleja e jω 0t πδ(ω ω 0 ) Contante c πcδ(ω) Función periódica c k e jkω 0t πc k δ(ω kω 0 ) k= k= Impulo gauiano σ ( σ) t π e e (ωσ) π Seno en(ω 0 t) j [δ(ω ω 0) δ(ω + ω 0 )] Coeno co(ω 0 t) π [δ(ω ω 0 ) + δ(ω + ω 0 )] 4 c P. Alvarado Uo excluivo ITCR Verión 30 de enero de 009

5 Propiedade de la Tranformada de Fourier Propiedad Señal en el tiempo Tranformada x(t) X(jω) x (t) X (jω) x (t) X (jω) Linealidad α x (t) + α x (t) α X (jω) + α X (jω) Simetría par x(t) = x( t) Simetría impar x(t) = x( t) j 0 X(jω) IR x(t) co(ωt) dt 0 x(t) en(ωt) dt X(jω) jir Función real x(t) IR X(jω) = X ( jω) Dualidad X(jt) πx( ω) Deplazamiento temporal x(t τ) e jωτ X(jω) Deplazamiento en frecuencia e jω0t x(t) X(jω jω 0 ) Modulación co(ω 0 t)x(t) 0) + X(jω + jω 0) Conjugación x (t) X ( jω) Inverión en el tiempo x( t) X( jω) ( ) jω Ecalamiento en el tiempo x(at) a X a Convolución Multiplicación Diferenciación Integración Relación de Pareval x (τ)x (t τ) dτ x (t)x (t) dx(t) dt d n x(t) dt n tx(t) t x(t) dt X (jω)x (jω) π X (jω) X (jω) jωx(jω) (jω) n X(jω) j d dω X(jω) X(jω) + πx(0)δ(ω) jω x(t) dt = X(jω) dω π c P. Alvarado Uo excluivo ITCR Verión 30 de enero de 009 5

6 Tranformada de Laplace Bilateral: X() = x(t)e t dt Invera: x(t) = πj Propiedade de la Tranformada Bilateral de Laplace σ+j σ j X()e t d Propiedad Señal en el tiempo Tranformada ROC x(t) X() R x (t) X () R x (t) X () R Linealidad α x (t) + α x (t) α X () + α X () R R Función real x(t) IR X() = X ( ) R Deplazamiento temporal x(t τ) e τ X() R Deplazamiento en e 0t x(t) X( 0 ) R + 0 Conjugación x (t) X ( ) R Inverión en el tiempo x( t) X( ) R ( ) Ecalamiento en el tiempo x(at) a X R/a a Convolución x (t) x (t) X ()X () R R Diferenciación dx(t) dt X() R d n x(t) n X() R dt n d tx(t) d X() R Integración t x(τ) dτ Tranformada Bilaterale de Laplace de funcione elementale X() R {σ > 0} Señal Tranformada ROC Señal Tranformada ROC δ(t) todo u(t) u( t) tn (n )! u( t) e at u( t) tn (n )! eat u( t) [co(ω 0 t)]u(t) [e at co(ω 0 t)]u(t) σ < 0 σ > 0 t n (n )! u(t) n σ > 0 σ < 0 e at u(t) n a σ > a t n σ < a a (n )! eat u(t) ( a) n σ > a σ < a δ(t τ) e τ todo ( a) n ω 0 σ > 0 [en(ω + ω0 0 t)]u(t) σ > 0 + ω0 a σ > a [e at ω 0 en(ω ( a) + ω0 0 t)]u(t) σ > a ( a) + ω0 d n dt n δ(t) n todo 6 c P. Alvarado Uo excluivo ITCR Verión 30 de enero de 009

7 Tranformada Unilateral de Laplace: X() = x(t)e t dt 0 Propiedade de la Tranformada Unilateral de Laplace Propiedad Señal en el tiempo Tranformada ROC x(t) = x(t)u(t) X() R x (t) = x (t)u(t) X () R x (t) = x (t)u(t) X () R Linealidad α x (t) + α x (t) α X () + α X () R R Función real x(t) IR X() = X ( ) R Deplazamiento temporal x(t τ), τ > 0 e τ X() R Deplazamiento en e 0t x(t) X( 0 ) R + 0 Conjugación x (t) X ( ) R ( ) Ecalamiento en el tiempo x(at), a > 0 a X R/a a Convolución x (t) x (t) X ()X () R R Diferenciación dx(t) dt X() x(0 ) R d n Diferenciación múltiple dt x(t) n n X() n n i x (i ) (0 ) d Diferenciación en tx(t) d X() R t Integración x(τ) dτ X() R {σ > 0} 0 Teorema de valor inicial x(0 + ) lím X() Teorema de valor final lím x(t) lím X() t 0 Tranformada Unilaterale de Laplace de funcione elementale Señal Tranformada ROC Señal Tranformada ROC δ(t) todo t n (n )! t n (n )! eat co(ω 0 t) e at co(ω 0 t) i= σ > 0 e at n a σ > 0 σ > a σ > a δ(t τ), τ > 0 e τ todo ( a) n ω 0 σ > 0 en(ω + ω0 0 t) σ > 0 + ω0 a σ > a e at ω 0 en(ω ( a) + ω0 0 t) σ > a ( a) + ω0 d n dt n δ(t) n todo c P. Alvarado Uo excluivo ITCR Verión 30 de enero de 009 7

8 Tranformada z Propiedade de la tranformada z bilateral. Propiedad Dominio n Dominio z ROC Notación x(n) = X(z)z n X(z) = x(n)z n R = {z r < z < r} πj C n= x(n) X(z) R x(n) X(z) R Linealidad ax(n) + ax(n) ax(z) + ax(z) por lo meno R R Deplazamiento en n x(n k) z k X(z) R \{0} i k > 0 y R \{ } i k < 0 Ecalado en z α n x(n) X(α z) α r < z < α r Reflexión en n x( n) X(z ) < z < r r Conjugación x (n) X (z ) R Parte real Re{x(n)} (z )] Incluye R Parte imaginaria Im{x(n)} [X(z) + X [X(z) X (z )] Incluye R Derivación en z nx(n) z dx(z) dz r < z < r Convolución x(n) x(n) X(z)X(z) Por lo meno R R Teorema del valor inicial Si x(n) e caual x(0) = lím z Propiedade de la tranformada z unilateral. Notación x(n) = X(z)z n X(z) = x(n)z n R = {z z > r} πj Retardo temporal x(n k), k > 0 z k X(z) + Adelanto temporal x(n + k), k > 0 z k X(z) Teorema del valor final lím n C k n= k x(n) = lím z x( n)z n k R \ {0} x(n)z k n R (z )X(z) 8 c P. Alvarado Uo excluivo ITCR Verión 30 de enero de 009

9 Tranformada z bilateral de alguna funcione comune Señal x(n) Tranformada z, X(z) ROC δ(n) Plano z u(n) a n u(n) na n u(n) (a n )u( n ) n(a n )u( n ) co(ω 0 n)u(n) en(ω 0 n)u(n) a n co(ω 0 n)u(n) a n en(ω 0 n)u(n) z z > az z > a az ( az ) z > a az z < a az ( az ) z < a z co ω 0 z co ω 0 + z z > z en ω 0 z co ω 0 + z z > az co ω 0 az co ω 0 + a z z > a az en ω 0 az co ω 0 + a z z > a Tranformada z unilateral de alguna funcione comune Señal x(n) Tranformada z, X(z) ROC δ(n) Plano z z z > a n az z > a na n co(ω 0 n) en(ω 0 n) a n co(ω 0 n) a n en(ω 0 n) az ( az ) z > a z co ω 0 z co ω 0 + z z > z en ω 0 z co ω 0 + z z > az co ω 0 az co ω 0 + a z z > az en ω 0 az co ω 0 + a z z > c P. Alvarado Uo excluivo ITCR Verión 30 de enero de 009 9

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