Transformada Z. Diego Milone. Muestreo y Procesamiento Digital Ingeniería Informática FICH-UNL

Transcripción

1 Transformada Z Diego Milone Muestreo y Procesamiento Digital Ingeniería Informática FICH-UNL 26 de abril de 2012

2 Organización de la clase Introducción Revisión: transformada de Laplace Motivación de la transformada Z Transformada Z Definiciones Propiedades Inversión de la transformada Z Relación con la transformadas de Laplace y Fourier Análisis de sistemas en tiempo discreto Aplicación del teorema del desplazamiento Transformaciones conformes

4 Sistemas mecánicos y ecuaciones diferenciales

5 Sistemas mecánicos y ecuaciones diferenciales f(t) = Kx(t) + B dx(t) dt + M d2 x(t) dt 2

6 Sistemas eléctricos y ecuaciones diferenciales

7 Sistemas eléctricos y ecuaciones diferenciales v(t) = Ri(t) + L di(t) dt + 1 C i(t)dt

8 Transformada de Laplace F (s) = L{f(t)} F (s) = 0 f(t)e st dt

9 ...pasando al dominio de Laplace v(t) = Ri(t) + L di(t) dt + 1 C i(t)dt

10 ...pasando al dominio de Laplace v(t) = Ri(t) + L di(t) dt + 1 C i(t)dt V (s) = L{v(t)}

11 ...pasando al dominio de Laplace v(t) = Ri(t) + L di(t) dt + 1 C i(t)dt V (s) = L{v(t)} V (s) = RI(s) + sli(s) + 1 sc I(s)

12 Impedancias en el dominio de Laplace V (s) = RI(s) + sli(s) + 1 sc I(s) Z R (s) = R Z L (s) = sl Z C (s) = 1 sc

13 Impedancias en el dominio de Laplace V (s) = RI(s) + sli(s) + 1 sc I(s) Z R (s) = R Z L (s) = sl Z C (s) = 1 sc V (s) = (Z R + Z L + Z C )I(s) = Z(s)I(s)

14 Ejemplo

15 Ejemplo V i (s) = R C I(s) + 1 sc I(s) + R LI(s) + sli(s) V o (s) = R L I(s) + sli(s)

16 Función de transferencia H(s) = Salida Entrada = V o(s) V i (s)

17 Función de transferencia: ejemplo H(s) = H(s) = R L + sl R C + R L + 1 sc + sl srl + s 2 L (RC + RL)s + 1/C + s 2 L

18 Función de transferencia: ejemplo H(s) = H(s) = R L + sl R C + R L + 1 sc + sl srl + s 2 L (RC + RL)s + 1/C + s 2 L Supongamos que: R C = 1Ω, R L = 1Ω, C = 1F, L = 2H

19 Función de transferencia: ejemplo H(s) = H(s) = R L + sl R C + R L + 1 sc + sl srl + s 2 L (RC + RL)s + 1/C + s 2 L Supongamos que: R C = 1Ω, R L = 1Ω, C = 1F, L = 2H H(s) = s + 2s s + 2s 2

20 Polos y ceros: ejemplo H(s) = s + 2s s + 2s 2

21 Polos y ceros: ejemplo H(s) = s + 2s s + 2s 2 Polos : 1 + 2s + 2s 2 = 0 p 1 = i p 2 = i

22 Polos y ceros: ejemplo H(s) = s + 2s s + 2s 2 Polos : 1 + 2s + 2s 2 = 0 p 1 = i p 2 = i Ceros : s + 2s 2 = 0 c 1 = 0 c 2 = 1 2

23 Polos y ceros: interpretación gráfica

24 Respuesta al impulso v i (t) = δ(t) v o (t) =?

25 Respuesta al impulso v i (t) = δ(t) v o (t) = h(t)

26 Respuesta al impulso v i (t) = δ(t) v o (t) = h(t) v i (t) = δ(t) V i (s) = 1

27 Respuesta al impulso v i (t) = δ(t) v o (t) = h(t) v i (t) = δ(t) V i (s) = 1 H(s) = V o(s) V i (s) = V o(s)

28 Respuesta al impulso v i (t) = δ(t) v o (t) = h(t) v i (t) = δ(t) V i (s) = 1 H(s) = V o(s) V i (s) = V o(s) H(s) = L{h(t)}

29 Polos, ceros y estabilidad Inversión de la transformada de Laplace por expansión en fracciones parciales H(s) = N(s) D(s) =

30 Polos, ceros y estabilidad Inversión de la transformada de Laplace por expansión en fracciones parciales H(s) = N(s) D(s) = H(s) = i α i s + a i + j β j (s + b j ) 2 + w 2 j + k γ k s 2 + w 2 k

31 Polos, ceros y estabilidad Antitransformando obtenemos términos con la forma β j (s + b j ) 2 + w 2 j α i s + a i α i e a it u(t) γ k s 2 + w 2 k β j e bjt sin(w j t)u(t) w j γ k sin(w k t)u(t) w k...interpretación gráfica de la estabilidad en el tiempo...

32 Ecuaciones diferenciales Para qué la transformada Z?

33 Para qué la transformada Z? Ecuaciones diferenciales Transformada de Laplace

34 Para qué la transformada Z? Ecuaciones diferenciales Transformada de Laplace Razón de polinomios en s

35 Para qué la transformada Z? Ecuaciones diferenciales Transformada de Laplace Razón de polinomios en s Ecuaciones en diferencias

36 Para qué la transformada Z? Ecuaciones diferenciales Transformada de Laplace Razón de polinomios en s Ecuaciones en diferencias Transformada Z

37 Para qué la transformada Z? Ecuaciones diferenciales Transformada de Laplace Razón de polinomios en s Ecuaciones en diferencias Transformada Z Razón de polinomios en z

38 Para qué la transformada Z? Ecuaciones diferenciales Transformada de Laplace Razón de polinomios en s Transformaciones conformes Ecuaciones en diferencias Transformada Z Razón de polinomios en z

40 Definición de la transformada Z Definición general X(z) = + n= x[n]z n

41 Definición de la transformada Z Definición general X(z) = Transformada Z unilateral X(z) = + n= + n=0 x[n]z n x[n]z n

42 Definición de la transformada Z Definición general X(z) = Transformada Z unilateral X(z) = + n= + n=0 x[n]z n x[n]z n Notación X(z) = Z {x[n]}

43 Transformada Z: ejemplos x = [ ]

44 Transformada Z: ejemplos x = [ ] X(z) = z 3

45 Transformada Z: ejemplos x = [ ] X(z) = z 3 x = [ ]

46 Transformada Z: ejemplos x = [ ] X(z) = z 3 x = [ ] X(z) = 1 2z 1 + 3z 2 + 4z 4

47 Propiedades: linealidad Si x 1 [n] Z Z X 1 (z) y x 2 [n] X 2 (z) entonces ax 1 [n] + bx 2 [n] Z ax 1 (z) + bx 2 (z)

48 Propiedades: inversión en el tiempo Si x[n] Z X(z) entonces x[ n] Z X ( ) 1 z

49 Propiedades: convolución Si x 1 [n] Z Z X 1 (z) y x 2 [n] X 2 (z) entonces x 1 [n] x 2 [n] Z X 1 (z)x 2 (z)

50 Propiedades: diferenciación en el dominio Z Si x[n] Z X(z) entonces n m x[n] Z ( z) m dm X(z) dz m

51 Propiedades: desplazamiento en la frecuencia Si x[n] Z X(z) entonces e jωon x[n] Z X(e jωo z)

52 Propiedades: desplazamiento en el tiempo Si x[n] Z X(z) entonces x[n + 1] Z zx(z) zx[0]

53 Z {x[n + 1]} = + n=0 x[n + 1]z n

54 Z {x[n + 1]} = = + n=0 + x[n + 1]z n x[m]z (m 1) = + m=1 m=1 x[m]z m+1

55 Z {x[n + 1]} = = = + n=0 + m=1 + x[n + 1]z n x[m]z (m 1) = + m=1 m=1 m=1 x[m]z m+1 ( + ) x[m]z m z = z x[m]z m

56 Z {x[n + 1]} = = = + n=0 + m=1 + m=1 x[n + 1]z n x[m]z (m 1) = + m=1 x[m]z m+1 ( + ) x[m]z m z = z x[m]z m m=1 ( + ) = z x[m]z m x[0]z 0 m=0

57 Z {x[n + 1]} = = = + n=0 + m=1 + m=1 x[n + 1]z n x[m]z (m 1) = + m=1 x[m]z m+1 ( + ) x[m]z m z = z x[m]z m m=1 ( + ) = z x[m]z m x[0]z 0 m=0 ( + ) = z x[m]z m x[0] m=0

58 Z {x[n + 1]} = = = + n=0 + m=1 + m=1 x[n + 1]z n x[m]z (m 1) = + m=1 x[m]z m+1 ( + ) x[m]z m z = z x[m]z m m=1 ( + ) = z x[m]z m x[0]z 0 m=0 ( + ) = z x[m]z m x[0] m=0 = zz {x[n]} zx[0]

59 Generalización del teorema del desplazamiento Si x[n] Z X(z) y x[n] = 0 n 0 entonces x[n n o ] Z X(z)z no

60 Definición de la transformada Z inversa x[n] = 1 2πj C X(z)z n 1 dz

61 Transformada Z inversa: ejemplo Supongamos que tenemos H(z) = z + 2z z + 2z 2

62 Transformada Z inversa: ejemplo Supongamos que tenemos H(z) = z + 2z z + 2z 2... con la inversa estamos buscando la secuencia x[n] tal que z + 2z z + 2z 2 = + n= x[n]z n

63 Transformada Z inversa: ejemplo Supongamos que tenemos H(z) = z + 2z z + 2z 2... con la inversa estamos buscando la secuencia x[n] tal que z + 2z z + 2z 2 = + n= x[n]z n Observación: NO estamos buscando la ecuación en diferencias!!

64 Métodos de inversión División larga e inspección Tablas de pares transformados Expansión en fracciones parciales Integral de inversión

65 Métodos de inversión División larga e inspección Tablas de pares transformados Expansión en fracciones parciales Integral de inversión (revisar en la bilbiografía)

66 Relación z... s Representación de la señal con un tren de pulsos x[n] x δt (t) = x(t) + δ (t nt ) = + n= n= x (nt ) δ (t nt )

67 Relación z... s Representación de la señal con un tren de pulsos x[n] x δt (t) = x(t) + δ (t nt ) = + n= n= x (nt ) δ (t nt ) En el dominio de Laplace tenemos + [ + ] X δt (s) = x (nt ) δ (t nt ) e st dt n=

68 Relación z... s Representación de la señal con un tren de pulsos x[n] x δt (t) = x(t) + δ (t nt ) = + n= n= x (nt ) δ (t nt ) En el dominio de Laplace tenemos + [ + ] X δt (s) = x (nt ) δ (t nt ) e st dt n=... e integrando X δt (s) = + n= x (nt ) e snt

69 Si comparamos Relación z... s con X δt (s) = + n= x (nt ) e snt X(z) = + n= x[n]z n

70 Relación z... s z = e st

71 Relación z... s Im(s) Im(z) Re(s) 1 Re(z) Plano S Plano Z

72 Relación z... s Im(s) Im(z) Re(s) 1 Re(z) Plano S Plano Z Polos, ceros y estabilidad...

73 Si recordamos que Relación s... f s = σ + jω

74 Relación s... f Si recordamos que s = σ + jω cuando σ 0 el núcleo e st σ=0 = e j2πft

75 Relación s... f Si recordamos que s = σ + jω cuando σ 0 el núcleo e st σ=0 = e j2πft... interpretación gráfica

76 Utilizando la relación Relación z... f z = e st

77 Relación z... f Utilizando la relación z = e st cuando σ 0 z σ=0 = e j2πft

78 Relación z... f Utilizando la relación z = e st cuando σ 0 z σ=0 = e j2πft... interpretación gráfica

79 Si comparamos Relación z... k (TDF) con X(k) = + n= 2πnk j x[n]e N X(z) = + n= x[n]z n

80 Relación z... k z = e j 2πk N

81 Relación z... k Im(s) Im(z) Re(s) 1 Re(z) Plano S Plano Z

83 Funciones de transferencia en Z Funciones de transferencia para: Sistemas AR Sistemas MA Sistemas ARMA

84 Funciones de transferencia en Z Funciones de transferencia para: Sistemas AR Sistemas MA Sistemas ARMA Aplicando en teorema del desplazamiento: Desde la ecuación en diferencias a la función de transferencia Desde la función de transferencia hacia la ecuación en diferencias

85 Ecuaciones diferenciales Recordemos...

86 Recordemos... Ecuaciones diferenciales Transformada de Laplace

87 Recordemos... Ecuaciones diferenciales Transformada de Laplace Razón de polinomios en s

88 Recordemos... Ecuaciones diferenciales Transformada de Laplace Razón de polinomios en s Ecuaciones en diferencias

89 Recordemos... Ecuaciones diferenciales Transformada de Laplace Razón de polinomios en s Ecuaciones en diferencias Transformada Z

90 Recordemos... Ecuaciones diferenciales Transformada de Laplace Razón de polinomios en s Ecuaciones en diferencias Transformada Z Razón de polinomios en z

91 Recordemos... Ecuaciones diferenciales Transformada de Laplace Razón de polinomios en s Transformaciones conformes Ecuaciones en diferencias Transformada Z Razón de polinomios en z

92 Transformaciones conformes Transformación ideal... s = ln(z) T Transformación de Euler (aproximación) Transformación Bilineal (aproximación)

93 Transformación de Euler Aproximemos dy dt y t = y[n] y[n 1] T En cada lado tenemos

94 Transformación de Euler Aproximemos dy dt y t = y[n] y[n 1] T En cada lado tenemos L { } dy = sy (s) dt

95 Transformación de Euler Aproximemos dy dt y t = y[n] y[n 1] T En cada lado tenemos L { } dy = sy (s) dt { } y[n] y[n 1] Z = T ( 1 z 1 ) Y (z) T

96 Transformación de Euler Igualando y despejando obtenemos s = 1 z 1 T

97 Aproximación de Euler Im(s) Im(z) Re(s) 1 Re(z) Plano S Plano Z

98 Transformación bilineal Utilizando una aproximación de 2do orden obtenemos s = 2(1 z 1 ) T (1 + z 1 )

99 Aproximación bilineal Im(s) Im(z) Re(s) 1 Re(z) Plano S Plano Z

100 Bilineal: mapeo de frecuencias =2 atan( T/2) H( ) H( )

101 Comparación de las transformaciones Relaciones gráficas Mapeo de frecuencias Aplicabilidad de cada una Ventajas y desventajas

102 Bibliografía básica H. Kwakernaak y R. Sivan, Modern Signal and Systems (Capítulo 8), Prentice-Hall, N. Sinha, Linear Systems (Capítulo 6), John Wiley & Sons, R. Gabel y R. Roberts, Señales y sistemas lineales (Capítulo 6: para la revisión de transformada de Laplace), Limusa: Noriega, Editores, 1994.