Introducción al Diseño de Filtros Digitales

Transcripción

1 Introducción al Diseño de Filtros Digitales Diego Milone Procesamiento Digital de Señales Ingeniería Informática FICH-UNL 3 de mayo de 2012

2 Organización de la clase Introducción Concepto y clasificación de filtros Filtros ideales y filtros realizables Diseño de filtros IIR Algoritmos de diseño IIR Diseños analógicos básicos Transformaciones en frecuencia Diseño de filtros FIR Propiedades de los filtros FIR Filtros de fase lineal Métodos de diseño FIR Modulación Conceptos básicos

3 Organización de la clase Introducción Concepto y clasificación de filtros Filtros ideales y filtros realizables Diseño de filtros IIR Algoritmos de diseño IIR Diseños analógicos básicos Transformaciones en frecuencia Diseño de filtros FIR Propiedades de los filtros FIR Filtros de fase lineal Métodos de diseño FIR Modulación Conceptos básicos

4 Concepto Qué es un filtro?

5 Concepto Qué es un filtro? Filtros vs. Sistemas

6 Concepto Qué es un filtro? Filtros vs. Sistemas Ejemplos...

7 Clasificación de los filtros Respuesta al impulso IIR (recursivos, AR/ARMA) FIR (no-recursivos, MA)

8 Clasificación de los filtros Respuesta al impulso IIR (recursivos, AR/ARMA) FIR (no-recursivos, MA) Banda de paso Pasa-Bajos Pasa-Altos Pasa-Banda Rechaza-Banda Multibanda

9 Clasificación de los filtros Adaptativos vs. estáticos Filtros de fase lineal Filtros para compensación de fase

10 Clasificación de las técnicas de diseño Filtros IIR Prototipos analógicos Butterworth Chebyshev I y II Elípticos Bessel Diseño digital directo (Yule-Walk)

11 Clasificación de las técnicas de diseño Filtros IIR Prototipos analógicos Butterworth Chebyshev I y II Elípticos Bessel Diseño digital directo (Yule-Walk) Filtros FIR Método de Fourier + Ventaneo Otros (mínimos cuadrados, minimax, etc)

12 Filtro pasa bajos ideal Magnitud Fase Frecuencia de corte (-3 db)

13 Filtros realizables Filtro pasa bajos Bandas de paso, rechazo y transición

14 Filtros realizables Filtro pasa bajos Bandas de paso, rechazo y transición Tolerancias en las bandas de paso y rechazo

15 Filtros realizables Filtro pasa bajos Bandas de paso, rechazo y transición Tolerancias en las bandas de paso y rechazo Frecuencias de paso, corte y rechazo

16 Filtros realizables Filtro pasa bajos Bandas de paso, rechazo y transición Tolerancias en las bandas de paso y rechazo Frecuencias de paso, corte y rechazo Fase

17 Filtros realizables Filtro pasa altos Bandas de paso, rechazo y transición Tolerancias en las bandas de paso y rechazo Frecuencias de paso, corte y rechazo Fase

18 Filtros realizables Filtro pasa banda Bandas de paso, rechazo y transición Tolerancias en las bandas de paso y rechazo Frecuencias de paso, corte y rechazo Fase

19 Filtros realizables Filtro rechaza banda Bandas de paso, rechazo y transición Tolerancias en las bandas de paso y rechazo Frecuencias de paso, corte y rechazo Fase

20 Filtros digitales vs. analógicos ++ Estabilidad (componentes electrónicos) ++ Precisión Frecuencia limitada por la conversión A/D (=> costos)

21 Organización de la clase Introducción Concepto y clasificación de filtros Filtros ideales y filtros realizables Diseño de filtros IIR Algoritmos de diseño IIR Diseños analógicos básicos Transformaciones en frecuencia Diseño de filtros FIR Propiedades de los filtros FIR Filtros de fase lineal Métodos de diseño FIR Modulación Conceptos básicos

22 Algoritmos de diseño IIR Método 1 Diseño analógico (filtro P-Bajos normalizado) Transformación en frecuencia (analógica, en s) Transformación conforme (bilineal)

23 Algoritmos de diseño IIR Método 1 Diseño analógico (filtro P-Bajos normalizado) Transformación en frecuencia (analógica, en s) Transformación conforme (bilineal) Método 2 Diseño analógico (filtro P-Bajos normalizado) Transformación conforme (bilineal) Transformación en frecuencia (digital, en z)

24 Diseño analógico: Butterworth Función de transferencia Tolerancias en la banda de paso y rechazo Forma de la respuesta en frecuencia Diseño: Especificaciones típicas (w p, A y K 0 ) Fórmula para la estimación del orden (N)

25 H(jω) 2 = ɛ 2 ( ω ω P ) 2N Filtro de Butterworth

26 H(jω) 2 = ɛ 2 ( ω ω P ) 2N Filtro de Butterworth

27 H(jω) 2 = ɛ 2 ( ω ω P ) 2N Filtro de Butterworth

28 H(jω) 2 = ɛ 2 ( ω ω P ) 2N Filtro de Butterworth si ω ω P H(jω) 2 > 1 1+ɛ 2

29 H(jω) 2 = ɛ 2 ( ω ω P ) 2N Filtro de Butterworth si ω ω P H(jω) 2 > 1 1+ɛ 2 si ω ω R H(jω) 2 < 1 1+λ 2

30 H(jω) 2 = ɛ 2 ( ω ω P ) 2N Filtro de Butterworth si ω ω P H(jω) 2 > 1 1+ɛ 2 si ω ω R H(jω) 2 < 1 1+λ 2 si N ω R ω P ɛ 0 λ

31 Características del filtro de Butterworth Respuesta monotónicamente decreciente Respuesta máximamente plana cerca de ω = 0 Fase tendiendo a Nπ/2 para ω

32 Diseño Butterworth Dados ω p : frecuencia de corte A : relación de atenuación máxima K 0 : relación de ancho de transición Se requiere N : orden del filtro

33 Se debe cumplir: Ecuación de diseño Butterworth siendo: A = λ ɛ = 10 0,1A R ,1A P 1 K 0 = ω P ω R N > log ( A 1 log K 0 )

34 Diseño analógico: Chebyshev Función de transferencia tipo I y tipo II Forma de la respuesta en frecuencia Tolerancias en la banda de paso y rechazo Fórmula para la estimación del orden (N)

35 H(jω) 2 1 = ( ) 1+ɛ 2 VN 2 ω ω P Filtro de Chebyshev tipo I

36 H(jω) 2 1 = ( ) 1+ɛ 2 VN 2 ω ω P Polinomio de Chebyshev: Filtro de Chebyshev tipo I V N (x) = 2xV N 1 (x) V N 2 (x) V 0 = 1 V 1 = x

37 H(jω) 2 1 = ( ) 1+ɛ 2 VN 2 ω ω P Polinomio de Chebyshev: Filtro de Chebyshev tipo I V N (x) = 2xV N 1 (x) V N 2 (x) V 0 = 1 V 1 = x

38 H(jω) 2 1 = ( ) 1+ɛ 2 VN 2 ω ω P Polinomio de Chebyshev: Filtro de Chebyshev tipo I V N (x) = 2xV N 1 (x) V N 2 (x) V 0 = 1 V 1 = x

39 Características de los filtros de Chebyshev Tipo I: ondulaciones en la banda de paso y monotónico decreciente en la banda de rechazo

40 Características de los filtros de Chebyshev Tipo I: ondulaciones en la banda de paso y monotónico decreciente en la banda de rechazo Tipo II: ondulaciones en la banda de rechazo y monotónico decreciente en la banda de paso

41 Características de los filtros de Chebyshev Tipo I: ondulaciones en la banda de paso y monotónico decreciente en la banda de rechazo Tipo II: ondulaciones en la banda de rechazo y monotónico decreciente en la banda de paso Diferentes formas para orden par o impar

42 Características de los filtros de Chebyshev Tipo I: ondulaciones en la banda de paso y monotónico decreciente en la banda de rechazo Tipo II: ondulaciones en la banda de rechazo y monotónico decreciente en la banda de paso Diferentes formas para orden par o impar

43 Ecuación de diseño Chebyshev (tipos I y II) Se debe cumplir: siendo: A = λ ɛ = 10 0,1A R ,1A P 1 K 0 = ω P ω R N > cosh 1 A ( cosh 1 1 K 0 )

44 Diseño analógico: filtros elípticos Función de transferencia Forma de la respuesta en frecuencia Tolerancias en la banda de paso y rechazo Fórmula para la estimación del orden (N)

45 Filtros elípticos H(jω) 2 = 1 ( 1 + ɛ 2 FN 2 ) ω ω P

46 Filtros elípticos H(jω) 2 = 1 ( 1 + ɛ 2 FN 2 ) ω ω P F N (x): función elíptica Jacobiana

47 Filtros elípticos H(jω) 2 = 1 ( 1 + ɛ 2 FN 2 ) ω ω P F N (x): función elíptica Jacobiana

48 Características de los filtros elípticos Ondulaciones en las bandas de paso y rechazo Corte más abrupto que los anteriores (para igual orden) Diferentes formas para orden par o impar

49 Ecuación de diseño para filtros elípticos Se debe cumplir: siendo: q = q 0 + 2q q q13 0 q 0 = 1 (1 K2 0) 0,25 2 [1+(1 K0) 2 0,25] N > log(16a) ( ) log 1 q

50 Algoritmos de diseño IIR Método 1 Diseño analógico (filtro P-Bajos normalizado) Transformación en frecuencia (analógica, en s) Transformación conforme (bilineal) Método 2 Diseño analógico (filtro P-Bajos normalizado) Transformación conforme (bilineal) Transformación en frecuencia (digital, en z)

51 Transformaciones en frecuencia analógica Pasa-bajos Pasa-bajos s s ω P

52 Transformaciones en frecuencia analógica Pasa-bajos Pasa-bajos s s ω P Pasa-bajos Pasa-altos s ω P s

53 Transformaciones en frecuencia analógica Pasa-bajos Pasa-bajos s s ω P Pasa-bajos Pasa-altos s ω P s Pasa-bajos Pasa-banda s s2 +ω P 1 ω P 2 s(ω P 2 ω P 1 )

54 Transformaciones en frecuencia analógica Pasa-bajos Pasa-bajos s s ω P Pasa-bajos Pasa-altos s ω P s Pasa-bajos Pasa-banda s s2 +ω P 1 ω P 2 s(ω P 2 ω P 1 ) Pasa-bajos Rechaza-banda s s(ω P 2 ω P 1 ) s 2 +ω P 1 ω P 2

55 Transformaciones en frecuencia digital Pasa-bajos Pasa-bajos z 1 z 1 α 1 αz 1 α = sin((ω N ω P )/2) sin((ω N +ω P )/2)

56 Transformaciones en frecuencia digital Pasa-bajos Pasa-bajos z 1 z 1 α 1 αz 1 Pasa-bajos Pasa-altos z 1 z 1 +α 1+αz 1 α = cos((ω N +ω P )/2) cos((ω N ω P )/2)

57 Transformaciones en frecuencia digital Pasa-bajos Pasa-bajos z 1 z 1 α 1 αz 1 Pasa-bajos Pasa-altos z 1 z 1 +α 1+αz 1 Pasa-bajos Pasa-banda z 1 z 2 2αk k+1 z 1 + k 1 k+1 k 1 k+1 z 2 2αk k+1 z 1 +1 α = cos ((ω P 2 + ω P 1 )/2) cos ((ω P 2 ω P 1 )/2) k = cos ((ω P 2 ω P 1 )/2) tan (ω N /2)

58 Transformaciones en frecuencia digital Pasa-bajos Pasa-bajos z 1 z 1 α 1 αz 1 Pasa-bajos Pasa-altos z 1 z 1 +α 1+αz 1 Pasa-bajos Pasa-banda z 1 z 2 2αk k+1 z 1 + k 1 k+1 k 1 k+1 z 2 2αk k+1 z 1 +1 Pasa-bajos Rechaza-banda z 1 z 2 2α 1+k z k 1+k 1 k 1+k z 2 2α k+1 z 1 +1 α = cos ((ω P 2 + ω P 1 )/2) cos ((ω P 2 ω P 1 )/2) k = tan ((ω P 2 ω P 1 )/2) tan (ω N /2)

59 Organización de la clase Introducción Concepto y clasificación de filtros Filtros ideales y filtros realizables Diseño de filtros IIR Algoritmos de diseño IIR Diseños analógicos básicos Transformaciones en frecuencia Diseño de filtros FIR Propiedades de los filtros FIR Filtros de fase lineal Métodos de diseño FIR Modulación Conceptos básicos

60 Filtros FIR: ventajas y desventajas ++ Se puede lograr fase lineal ++ Presentan mayor estabilidad ++ Diseño hardware eficiente ++ Frecuencias de corte abruptas ++ Cortos transitorios de inicialización Requieren más cálculos

61 Filtros FIR: relaciones importantes Coeficientes FIR Respuesta al impulso Convolución Sistemas MA

62 Fase lineal: interpretación gráfica Descomposición de una onda cuadrada en dos componentes senoidales

63 Fase lineal: interpretación gráfica Descomposición de una onda cuadrada en dos componentes senoidales Aplicación de un filtro de fase constante a ambas componentes por superposición

64 Fase lineal: interpretación gráfica Descomposición de una onda cuadrada en dos componentes senoidales Aplicación de un filtro de fase constante a ambas componentes por superposición Aplicación de un filtro de fase lineal a ambas componentes por superposición

65 Fase lineal: interpretación gráfica Descomposición de una onda cuadrada en dos componentes senoidales Aplicación de un filtro de fase constante a ambas componentes por superposición Aplicación de un filtro de fase lineal a ambas componentes por superposición Filtro sin fase lineal (y con magnitud constante) deforma la onda en el tiempo

66 Fase lineal: definiciones Definiciones de módulo y fase Definición de retardo de fase: τ φ (ω) = φ(ω) ω Definición de retardo de grupo τ γ (ω) = dφ(ω) dω Fase lineal: φ(ω) = τω (... τ φ y τ γ constantes...)

67 Diseño FIR por Fourier y ventaneo 1. Especificación de los requerimientos (mód. y fase) 2. Muestreo de la respuesta en frecuencia 3. Aplicación de la TDF inversa 4. Truncado temporal (ventanas temporales) 5. Corrección de amplitud 6. Corrección para obtener la causalidad

68 Objetivos: Truncado y ventaneo temporal Reducción del orden del filtro resultante Reducción de los artefactos del truncado reducción de los lóbulos laterales reducción del ancho en el lóbulo central Interpretación gráfica

69 Ventanas Ventana rectangular: ω R [n] = 1

70 Ventanas Ventana rectangular: ω R [n] = 1 Ventana de Hanning: ω h [n] = cos(2πn/n)

71 Ventanas Ventana rectangular: ω R [n] = 1 Ventana de Hanning: ω h [n] = cos(2πn/n) Ventana de Hamming: ω H [n] = cos(2πn/n)

72 Ventanas Ventana rectangular: ω R [n] = 1 Ventana de Hanning: ω h [n] = cos(2πn/n) Ventana de Hamming: ω H [n] = cos(2πn/n) Ventana de Bartlett: { 2n/N si 0 < n N/2 ω B [n] = 2 2n/N si N/2 < n N

73 Ventanas Ventana rectangular: ω R [n] = 1 Ventana de Hanning: ω h [n] = cos(2πn/n) Ventana de Hamming: ω H [n] = cos(2πn/n) Ventana de Bartlett: { 2n/N si 0 < n N/2 ω B [n] = 2 2n/N si N/2 < n N Ventana de Blackman: ω K [n] = cos(2πn/n) cos(4πn/n)

74 Ventanas Ventana cuadrada Ventana de Bartlett Ventana de Hamming Ventana de Blackman

75 Ventanas: ancho del lóbulo central Rectangular: 4π/N Bartlet: 8π/N Hanning: 8π/N Hamming: 8π/N Blackman: 12π/N

76 Ventanas: relación de energía entre lóbulos laterales y central Rectangular: -13 db Bartlet: -25 db Hanning: -31 db Hamming: -41 db Blackman: -57 db

77 Organización de la clase Introducción Concepto y clasificación de filtros Filtros ideales y filtros realizables Diseño de filtros IIR Algoritmos de diseño IIR Diseños analógicos básicos Transformaciones en frecuencia Diseño de filtros FIR Propiedades de los filtros FIR Filtros de fase lineal Métodos de diseño FIR Modulación Conceptos básicos

78 Modulación: conceptos básicos Modulación en amplitud (sinusoidal) Demodulación sincrónica y asincrónica Multiplexado en frecuencia Modulación en frecuencia

79 Bibliografía básica D.J. DeFatta, J.J. Lucas, W.S. Hodgkiss, Digital Signal Processing: A System Design Approach (Capítulos 4 y 5), John Wiley, R. Kuc, Introduction to Digital Signal Processing (Capítulos 6, 7, 8 y 9), Mcgraw-Hill, A.V. Oppenheim, A.S. Willsky, Signals and Systems (modulación en amplitud y en frecuencia, Secciones 7.1,7.2,7.3,7.5,7.6), Prentice-Hall, 1999.