APROXIMACIÓN DE FILTROS

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1 TEMA 4 Labels E: 4ge Labels F: 4 Labels L: 4 Labels T: 4 4 APROXIMACIÓN DE FILTROS 4. Introducción Tal como se ha visto anteriormente normalmente se imponen especificaciones de la banda pasante, de rechazo o transición en magnitud o fase. La primera tarea del diseñador es obtener una función racional realizable H(s) que satisfaga estas especificaciones. Idealmente se querría realizar una transmisión perfecta, sin pérdidas en la banda pasante, atenuación infinita (ganancia 0) en la/s banda/s de rechazo y banda/s de transición de ancho nulo, tal como se muestra en el filtro paso de baja de la Fig. 4.(a). Como H(s) debe ser una función racional continua de ω con un número finito de polos y ceros está claro que la característica de transferencia ideal no es realizable y sólo puede aproximarse dentro de unos ciertos márgenes de tolerancia, tal como se muestra en la Fig. 4.(b). El problema de aproximación es un campo muy bien estudiado de las matemáticas. Nos limitaremos aquí a las aproximaciones clásicas, que son especialmente adecuadas en el caso de especificaciones de atenuación constantes en la banda de rechazo. Debe tenerse en cuenta, sin embargo, que otras funciones de aproximación no clásicas son frecuentemente más eficientes, en el sentido, por ejemplo, de obtener filtros de orden menor para especificaciones no constantes de la banda de rechazo, tal como se muestra en la Fig. 4.(c). Estas funciones no son especialmente complicadas pero se requiere siempre la ayuda de herramientas de ordenador. En las siguientes secciones nos centraremos primero en aproximaciones (de magnitud) paso de baja. Si las especificaciones de retraso fueran importantes se pueden utilizar filtros pasatodo para obtener la corrección de fase necesaria. Una de las aproximaciones que discutiremos, la aproximación Bessel, está, sin embargo, especialmente diseñada para obtener retrasos uniformes en la medida de lo posible.. Suponemos que la frecuencia se haya normalizada de forma que ω en el borde de la banda pasante y max H(jω) en 0 ω. F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

2 APROXIMACIÓN DE FILTROS Fig.. Schaumann Figura 4.: Especificaciones paso de baja: (a) paso de baja ideal no realizables; (b) paso de baja realizables con tolerancia banda pasante ε< y tolerancias banda de rechazo δ>; (c) paso de baja con especificaciones no constantes en la banda de rechazo. 4. Aproximación en magnitud paso de baja La magnitud de la función de sistema H(jω) se obtiene de: Hjω ( ) Njω ( )N ( jω ) Djω ( )D( jω) Njω ( ) P( ω ) Djω ( ) E( ω ) (4.) H(jω) es una función racional par que de acuerdo con la Fig. 4. debe aproximarse a en la banda pasante, 0 ω, y a 0 en la banda de rechazo, ω ω s. A fin de facilitar el tratamiento matemático es conveniente introducir una función racional real K(s) tal que, 66 Análisis y síntesis de circuitos F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

3 4. Aproximación en magnitud paso de baja Hjω ( ) Kjω ( ) (4.) K(s), que se denomina función característica. Esta se obtiene de la función de sistema H(s) mediante la ecuación de Feldtkeller: Kjω ( ) Hjω ( ) (4.3) Teniendo en cuenta (4.) podemos escribir, Kjω ( ) Djω ( ) Njω ( ) Njω ( ) ε Fjω ( ) Njω ( ) (4.4) Por conveniencia se ha introducido el parámetro ε. Una representación de K(jω) se muestra en la Fig. 4.. K(s) se define de tal forma que K(jω) se aproxime a 0 en la banda pasante con un error de atenuación o rizado en la banda pasante ε. Si la atenuación máxima en la banda pasante de la ganancia es A p db entonces: Fig.. Schauman Figura 4.: Especificaciones paso de baja que deben ser satisfechas por K(jω). F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US Análisis y síntesis de circuitos 67

4 APROXIMACIÓN DE FILTROS ε 0 0,A p (4.5) De forma similar K(jω) debe ser mayor de δ en la banda de rechazo. Para una atenuación mínima en la banda de rechazo de A s db, δ se obtiene de: δ 0 0,A s (4.6) Se ha introducido un nuevo polinomio, F(s), llamado polinomio de reflexión cero. Sus raíces, llamadas ceros de reflexión ω ri, son los ceros de K(jω). Luego en sjω ri se tiene transmisión perfecta: H(jω ri ). Las raíces ω zi del polinomio N(s) son los ceros de transmisión, es decir, H(jω zi )0. ω zi se denominan también polos de atenuación, donde K(jω zi ). En conclusión, el problema general de aproximación paso de baja consiste en encontrar una función racional real K(s)εF(s)/N(s) tal que: ) F(s) tiene todas las raíces en el eje jω en la banda pasante. ) N(s) tiene todas las raíces en el eje jω en la banda de rechazo. 3 3) F(jω)/N(jω) en 0 ω. 4) K(jω) δ en ω ω s. Después de encontrar K(jω) se utiliza (4.) para obtener el cociente de dos polinomios pares P(ω ) y E(ω ). Como paso final se utiliza continuación analítica, es decir, se sustituye ω por s/j (o ω por s ) y se factoriza P( s ) y E( s ) en N(s)N( s) y D(s)D( s) respectivamente. E( s ) al ser par tendrá raíces simétricas respecto al origen del plano s. Ya que D(s) debe ser un polinomio de Hurwitz, solo contendrá los raíces del semiplano izquierdo de E( s ). Por otra parte, N(s) es conocido puesto que se ha obtenido explícitamente en el cálculo de K(jω) : Ns ( ) k ( s + ω zi ) m i i (4.7) donde k es una constante y ω zi son los ceros de transmisión de multiplicidad m i 0. Si todos los m i 0 no hay ceros de transmisión finitos, N(s)k y H(s)k/D(s) es una función paso de baja todo polo. (hacer problema 36). De la comparación del diagrama de magnitud y el de la función característica se obtiene: 0log ε A p 3. No consideraremos el caso más general en que los ceros de reflexión s ri y los polos de atenuación s zi no están en el eje jω. Normalmente valores puramente imaginarios conducen a las mejores aproximaciones. 68 Análisis y síntesis de circuitos F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

5 4.3 Aproximación máximamente plana. Aproximación Butterworth 4.3 Aproximación máximamente plana. Aproximación Butterworth Tal como ha mostrado el ejemplo anterior los filtros paso de baja con magnitud máximamente plana se requiere que la magnitud (al cuadrado) de la función de transferencia sea en ω0, es decir, transmisión ideal en dc, y que todas las derivadas posibles del error de transmisión sean cero en ω0. El error de transmisión se define como: Δω ( ) Hjω ( ) (4.8) Las especificaciones son pues: Kj0 ( ) 0 d i ( dω ) i Kjω ( ) Kjω ( ) ω 0 0 i,, Ya que K(jω) es un cociente de polinomios en ω podemos escribirlo como, Kjω ( ) a 0 + a ω + a ω a n ω n Njω ( )N( jω) (4.9) (4.0) Es fácil demostrar (proponerlo como ejercicio) que para satisfacer las condiciones en (4.9) es necesario que a i 0 para i0,...,n ; es decir, que todos los ceros de reflexión deben estar en el origen. Por tanto la función de transferencia de una función de transferencia paso de baja de orden n que es máximamente plana en el origen (ω0) es, Hjω ( ) Kjω ( ) Njω ( ) Njω ( ) + a n ω n (4.) Luego para un polinomio N(s) dado, es decir, para un conjunto de ceros de transmisión, se puede encontrar siempre una función de transferencia paso de baja con banda pasante máximamente plana. El parámetro a n determina la máxima atenuación en la banda pasante. Esta se produce para ω: ε a n Nj ( ) 0 0,A p (4.) que permite determinar a n dado A p y los ceros de transmisión. El grado de la función de transferencia n viene dado por la atenuación requerida a altas frecuencias. Si m es el orden de N(s) la magnitud H(jω) decae a alta frecuencia como /ω n m, es decir, la atenuación crece a 0(n m) db/década. Determinar el nivel de atenuación mínima en la banda de rechazo ω>ω s, es decir, el valor de H(jω s ) y los mínimos H(jω mi ) suele ser difícil y requiere el uso de ordenadores. F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US Análisis y síntesis de circuitos 69

6 APROXIMACIÓN DE FILTROS Un caso particular muy importante es aquel en que todos los ceros de transmisión están en s, es decir, N(s). Entonces, la magnitud de la función de transferencia es, Hjω ( ) (4.3) + ε ω n donde se ha sustituido a n por ε que es una notación habitual. Puede verse que en esta función la atenuación aumenta monotónicamente con ω. El grado n se determina de las especificaciones para la banda de rechazo, ε 0 0,A s log[ ( ) ] n logω s 4 (4.4) Ejemplo Encontrar el orden de una función paso de baja máximamente plana todo polo que tenga una banda pasante en 0 f.khz con A p 0.5dB de atenuación máxima y una banda de rechazo en f.9khz con una atenuación mínima A s 3dB. Solución Normalizamos la frecuencia por Ω o π.khz de forma que ω en el borde de la banda pasante y ω s.9khz/.khz.6. El rizado es: ε 0 0,05 0,0 0,3493 (4.5) luego el orden del filtro es: log[ 8,96( 0,3 ) ] n ,87 log,6 (4.6) luego el orden del filtro es 8. Para hallar la localización de los polos de una función paso de baja máximamente plana todo polo, se sustituye ω por s y se factoriza el polinomio +( ) n ε s n 0, s n ---- ε ( ) n e ε jn ( + + k )π (4.7) Seleccionando únicamente los polos del semiplano izquierdo se obtienen los polos deseados: 4. δ 0 0,A s ε n ω s 70 Análisis y síntesis de circuitos F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

7 4.4 Aproximación de igual rizado. Aproximación Chebyshev s k ε n j k n+ π n e k 0,,,, n (4.8) Puede observarse que los polos se distribuyen uniformemente en un círculo de radio ε /n. Si ε se deduce de (4.5) que la atenuación en la banda pasante A p es 3dB en ω. El filtro paso de baja todo polo máximamente plano tiene la forma, Hs ( ) s n + b n s n + + b s + (4.9) y se denominan filtros Butterworth. Los denominadores de estos filtros se encuentran tabulados por lo que tan pronto se conoce el orden n del filtro la función está completamente determinada. Normalmente en la literatura también se denominan filtros Butterworth a aquellos que no tienen ε. 4.4 Aproximación de igual rizado. Aproximación Chebyshev En la aproximación máximamente plana se concentra toda la aproximación en ω0 y se acepta un error creciente de forma monotónica para ω. Parece más eficiente distribuir el error uniformemente en toda la banda pasante mediante una función característica K(s) tal que, Kjω ( ) ε C n( ω) (4.0) es un polinomio que oscila uniformemente entre 0 y ε, es decir, C n (ω) cuando 0 ω. En este caso la banda pasante tiene la apariencia de la Fig. 4. pero sin ceros de transmisión ya que C n (ω) es un polinomio. Un método simple intuitivo para derivar C n (ω) parte de que una sinusoide, C n ( ω) cos[ nφ( ω) ] (4.) oscila uniformemente entre y. Su frecuencia aumenta con n. Mediante reglas trigonométricas se puede escribir cos(nφ) en función de cos(φ): cosnφ n cos n φ n --n 3 cos n φ n 3 -- n 4 n 7 cos n 6 n -- n 3 n 5 + φ + cos n 4 φ (4.) que es un polinomio en ω si hacemos, φω ( ) acos( ω) ω (4.3) Luego, los polinomios de Chebyshev de orden n son F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US Análisis y síntesis de circuitos 7

8 APROXIMACIÓN DE FILTROS C n ( ω) cos( nacosω) ω (4.4) Es fácil demostrar que si ω entonces 5, C n ( ω) cosh( nacoshω) -- [( ω + ω ) n + ( ω+ ω ) n ] (4.5) que aumenta monótonamente con ω. 6 La función de transferencia paso de baja todo-polo de igual rizado Chebyshev H(s) es, Hjω ( ) ε + C n( ω) (4.6) Los primeros polinomios de Chebyshev son: C 0 ( ω) C ( ω) ω C ( ω) ω (4.7) C 3 ( ω) 4ω 3 3ω Estos polinomios son válidos para todo valor de ω. La relación trigonométrica recursiva, cos[ ( n + )x] cosnxcosx cos[ ( n )x] (4.8) puede usarse para obtener una fórmula recursiva de los polinomios de Chebyshev: 5. Veamos la demostración: cosjz e jjz ( ) + e jjz ( ) coshz x por tanto: jz acosx z acoshx de donde se deduce que: Por tanto: acosx jacoshx C n ( x) cos( nacosx) cos( njacoshx) cosh( nacoshx) 7 Análisis y síntesis de circuitos F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

9 4.4 Aproximación de igual rizado. Aproximación Chebyshev C n + ( ω) ωc n ( ω) C n ( ω) n,, (4.9) De (4.7) y (4.9) se deduce que C n () para todo n; C n (0)0 para n impar y ± para n par; y que C n (ω) es par para n par e impar para n impar. A título de ejemplo la Fig. 4.3 muestra una representación de los polinomios de Chebyshev de orden más bajo. Fig. 3.3 Daniels Figura 4.3: Polinomios de Chebyshev por, Los ceros de C n (ω), que son los ceros de reflexión del filtro de Chebyshev vienen dados 6. Nota personal: dicha expresión equivalente se obtiene sin más que aplicar las siguientes ecuaciones: senh( x) sech( x) e x e x cosh( x) cosech( x) cosh( x) e x e x tanh( x) cotanh( x) senh( x) e x e x e x e x tanh( x) arcsenh( x) ln( x + x + ) arccosh( x) arctanh( x) arccoth( x) ± lnx ( + x ) x --ln ( x) x < ( x) --ln ( x + ) x > ( x ) F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US Análisis y síntesis de circuitos 73

10 APROXIMACIÓN DE FILTROS cos( nacosω) 0 (4.30) luego nacosω ( k + ) π -- (4.3) Por tanto, ω rk cos k π n k 0,,,, n n impar k 0,,,, n -- n par (4.3) Los polinomios de Chebyshev pueden entonces expresarse en términos de sus raíces como 7 C n ( ω) n ω ω ( ) rk k (4.33) De las ecuaciones (4.4) y (4.6) se deduce que H(jω) oscila con igual rizado en toda la banda pasante 0 ω, que H(j0) para n impar pero Hj0 ( ) para n par y que, ε (4.34) Hj ( ) ε (4.35) para todo n. Además H(jω) decrece monotónicamente a 0 para ω >, tal como se muestra en la Fig. 4.4 para n,3,4. Las posiciones de los polos del filtro Chebyshev vendrán dadas igualando a 0 el denominador de (4.6) con ωs/j: s C n - n acos s - cos j j ---- ε Supongamos que denominamos a las raíces, s k σ k + jω k (4.36) (4.37) acos(s/j) será en general un número complejo: 7. Según la expresión de ω rk, las raíces siempre aparecen con signo + y por lo que se puede expresar en forma de diferencia de cuadrados. En el caso de n impar habrá una raíz en 0 por lo que se puede sacar un n factor ω y el productorio variará entre 0 y Análisis y síntesis de circuitos F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

11 4.4 Aproximación de igual rizado. Aproximación Chebyshev Fig..5 Schaumann Figura 4.4: Funciones de transferencia paso de baja Chebyshev Luego W s acos - u + jv j (4.38) s jcos( u+ jv) sinusinhv+ jcosucoshv (4.39) Igualando parte real e imaginaria se obtiene, σ k sinusinhv ω k cosucoshv (4.40) Por otra parte, cos( nw) j ± - cos[ nu ( + jv) ] cosnucoshnv jsinnusinhnv ε (4.4) Igualando la parte real: cosnucoshnv 0 (4.4) luego u k π -- k 0,,,, n n (4.43) Igualando la parte imaginaria F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US Análisis y síntesis de circuitos 75

12 APROXIMACIÓN DE FILTROS sinnusinhnv ±-- ε (4.44) Eliminamos el signo y lo tendremos en cuenta en el resultado final. Sustituyendo el valor de u: sinhnv -- ε (4.45) o bien v -- asinh-- n ε (4.46) Cogemos el signo necesario para obtener sólo las raíces del semiplano izquierdo: k + s k sin π n -- sinh -- asinh-- n ε k + + jcos π n -- cosh -- asinh-- n ε (4.47) Por relaciones trigonométricas de cosh y sinh: σ k -- ω k ε -- + ε ---- ε ε + -- n -- n -- + ε ε ---- ε ε + -- n -- n sin k π n cos k π n (4.48) Con los polos conocidos la función de transferencia de un filtro Chebyshev es: Hs ( ) ε ( s s k ) n n k ( n ε) s n + b n s n + + b s + b 0 (4.49) Los denominadores de estas funciones de transferencia (normalmente hasta orden 0) se encuentran tabulados. Determinación de n Hay dos parámetros de diseño en los filtros Chebyshev: el rizado ε y la atenuación A s en el borde de la banda de rechazo ω s. El parámetro ε se obtiene de: ε 0 0,A p (4.50) Para determinar n se evalúa la función de transferencia en la banda de rechazo y debe dar la atenuación mínima: 76 Análisis y síntesis de circuitos F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

13 4.4 Aproximación de igual rizado. Aproximación Chebyshev 0log A ε s db + C n ( ωs ) 8 (4.5) Sustituyendo (4.5) ya que ω s > y despejando n se obtiene: 0 0,A s acosh ( ) ε n acoshω s (4.5) Una fórmula aproximada muy conveniente se obtiene sustituyendo la relación trigonométrica para cosh: 0log ε 4 -- ω ( s + ω s ) n + [ + ( ω s + ω s ) n ] A s (4.53) Operando: ( ω s + ω s ) n + ( ω s + ω s ) n 4 0 0,A s ( ) ε (4.54) Despreciando el segundo término frente al primero resulta: ln 40 0,A s ( ) ε n ln( ω s + ω s ) (4.55) Ejemplo Encontrar la función de transferencia de un filtro Chebyshev paso de baja que satisfaga las misma especificaciones del ejemplo del filtro máximamente plano (banda pasante en 0 f.khz con A p 0.5dB de atenuación máxima y una banda de rechazo en f.9khz con una atenuación mínima A s 3dB). Solución De la ecuación (4.50) se obtiene ε Aplicando entonces (4.55) se obtiene n4.9. Por tanto, se necesita un filtro de quinto orden. Finalmente usando la tabla IIIa se obtiene la función: Hs ( ) 0, s 5 +,75s 4 +,9374s 3 +,3096s + 0,755s + 0,789 (4.56) Notar que H(0). Si n hubiera sido par habría salido 0.5dB. Podemos comprobar pues que el filtro Chebyshev es mas eficiente que el máximamente plano para realizar las mismas especificaciones. Puede demostrarse que esto siempre es así. 8. C n ( ω) cosh( nacoshω) F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US Análisis y síntesis de circuitos 77

14 APROXIMACIÓN DE FILTROS Alternativamente se puede recurrir a diagramas de tolerancias. Para ello consideremos (4.5). Si A s >0dB, es decir, ε C n (ω s )>0, se puede aproximar, A s 0 ε log C n ( ωs ) (4.57) Por tanto, A s + 0log-- 0logC ε n ( ω s ) (4.58) El término de la derecha depende de n y ω s. Para n y ω s fijos el resultado puede dividirse entre los dos términos de la izquierda. Aumentar la atenuación en la banda de rechazo significa aumentar el rizado ε y por tanto la distorsión en la banda de paso A p. Esta relación puede utilizarse para determinar el orden n del filtro. Para ello, la Fig. 4.5 muestra representaciones gráficas de 0logC n (ω s ) para ω s y para 3 n 0. Por tanto, dados A p, A s y ω s se pueden utilizar para determinar el orden del filtro. Fig. 4. Sedra Figura 4.5: Carta de diseño Chebyshev En resumen, para determinar la función de transferencia de un filtro Chebyshev: ) De la atenuación en la banda de paso A p se obtiene ε. ) De ω s y A s se determina n. 3) Se obtienen las raíces s k con el procedimiento descrito anteriormente. 4) Se construye H(s) 78 Análisis y síntesis de circuitos F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

15 4.5 Aproximación elíptica Filtros Chebyshev inversos Si se requiere una banda pasante monotónica y una banda de rechazo de igual rizado se llega a los filtros Chebyshev inversos, cuya ganancia está descrita por: Hjω ( ) ε C n( ω) ε + C n( ω) (4.59) Basta comparar (4.59) con (4.) para comprender que los filtros Chebyshev inversos tienen una banda pasante máximamente plana y tienen ceros de transmisión finitos localizados en C n (/ω)0. Puede demostrarse que son tan eficientes como los filtros Chebyshev en el sentido de obtenerse filtros del mismo orden para aproximar un conjunto dado de especificaciones pero su comportamiento en fase y retraso es muy diferente. Los filtros Chebyshev tienen mayores valores del factor de calidad de los polos que los filtros de Chebyshev inversos lo que se traduce en curvas de retraso con mayores picos, tal como se ilustra en la Fig Por tanto, los filtros de Chebyshev inversos son preferibles en aplicaciones donde son importantes pequeñas variaciones de retraso como en video o transmisión de datos. Fig..6 Schauman Figura 4.6: Comparación del retraso de filtros Chebyshev y Chebyshev inversos 4.5 Aproximación elíptica Los filtros Butterworth y Chebyshev proporcionan aproximaciones fáciles de realizar. Sin embargo, son ineficientes en lo concerniente a la banda de rechazo. Proporcionan normalmente F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US Análisis y síntesis de circuitos 79

16 APROXIMACIÓN DE FILTROS más atenuación de la necesaria. Si se mueven algunos polos de atenuación (o ceros de transmisión) desde el infinito a cerca del borde de la banda de rechazo se aumentará el ritmo de caída en la banda de transición. Esto se ha hecho en el filtro Chebyshev inverso pero la banda pasante máximamente plana impide un ritmo de decrecimiento alto. Luego, si las especificaciones de atenuación en la banda de rechazo son constantes una aproximación óptima será aquella que tenga un igual rizado en la banda de paso y en la de rechazo. La función característica debe aproximarse a 0 en la banda de paso y a en la banda de rechazo con igual rizado. Esta aproximación se denomina elíptica porque se utilizan las funciones elípticas doblemente periódicas para obtener la función característica. La Fig. 4.7 muestra las funciones características de filtros elípticos de orden 5 y 6, que son representativos de filtros de orden impar y par, respectivamente. Fig. 4.6 Sedra Figura 4.7: Características de atenuación de filtros elípticos de orden par e impar Podemos observar las siguientes propiedades: ) La aproximación del filtro elíptico se caracteriza por 4 parámetros: A p (o ε), ω s, A s y el orden n. Cualquier conjunto de tres parámetros entre estos lo describen. ) El orden n y el factor de selectividad ω s determinan de forma única los ceros de 80 Análisis y síntesis de circuitos F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

17 4.5 Aproximación elíptica reflexión ω ri y los polos de la atenuación ω zi. Por tanto, se puede buscar un compromiso entre A s y A p ; cuando una aumenta la otra también. 3) Para n impar el filtro elíptico tiene un cero de reflexión en el origen y un polo de atenuación en el. Esto no ocurre para n par. Los otros ceros de reflexión y transmisión ocurren en el eje jω. Luego la función característica es: ( n ) s ( s + ω ri ) i ( n ) Ks ( ) k n impar i n i n s ( + ) s ω zi ω ri Ks ( ) k n par i ( + ) s ( + ) ω zi (4.60) 4) Como en los filtros de Chebyshev, para n par la atenuación en ω0 determina el máximo rizado en la banda de paso. Para cualquier n el número total de picos y valles en la banda de paso es el orden del filtro n. Extrayendo ε de K(s) se obtiene la función que caracteriza las aproximaciones elípticas, denominadas funciones racionales de Chebyshev: ( n ) ω ( ω ω ri ) i ( n ) R N ( ω) r n impar i n i n ω ω zi ( ) ω ω ri R N ( ω) r n par i ( ) ω ( ) ω zi (4.6) y lógicamente la función de transferencia es: Hjω ( ) ε + R n( ω) (4.6) F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US Análisis y síntesis de circuitos 8

18 APROXIMACIÓN DE FILTROS Veamos que en la aproximación elíptica los ceros de reflexión y los polos de atenuación, es de- exhiben simetría geométrica alrededor de una frecuencia de la banda de transición, cir, ω s ω zz ω r ω z ω r ω s (4.63) Consideremos por ejemplo el filtro elíptico de sexto orden cuya función característica al cuadrado se representa en la Fig. 4.8(a). Si se sustituye ω por ω s /ω obtenemos la función característica paso de alta K(jω s /ω) de la Fig. 4.8(b). Construimos una nueva función característica definida por: Kjω ( ) K j ω s ω (4.64) que se muestra en la Fig. 4.8(c). También produce un filtro elíptico de sexto orden. Dado que la función característica de un filtro elíptico determina de forma única los polos y ceros para un ω s dado los polos y ceros de K(jω) deben coincidir con los de K(jω). Luego: ( n ) ω ( ω ( ω s ω ) ) i ( n ) R N ( ω) r n impar i n i n ω ( ) ω zi R N ( ω) r n par z i ( ω ( ω s ω ) ) i ω ω zi z i ( ) (4.65) Determinación del orden del filtro n Tal como se ha hecho para las otras aproximaciones se puede derivar una ecuación para el orden del filtro elíptico necesario para cumplir unas especificaciones dadas. Sin embargo, tal expresión incluye integrales elípticas para las cuales se necesitan tablas. Pero es fácil observar que en la banda de rechazo ε R n (ω)». Por tanto, si A s es la atenuación en db para ωω s : A s + 0 log-- 0log R ε n ( ω s ) (4.66) Dibujando 0log R n (ω s ) frente a ω s permite obtener familias de curvas con las que se puede obtener el orden n dado A s, ε y ω s tal como las que se muestran en la Fig Por ejemplo, si Ap 0.5dB (ε0.349), A s 50dB y ω s.5 entonces el orden del filtro es n5. 8 Análisis y síntesis de circuitos F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

19 4.5 Aproximación elíptica Fig.4.7 Sedra Figura 4.8: Ilustrando la simetría geométrica de los ceros La obtención de polos y ceros requiere normalmente el uso de un ordenador. Se pueden encontrar tablas de polos y ceros para un gran número de casos. La forma de la función de transferencia de un filtro elíptico es: Hs ( ) m H ( s + a i ) i s n + b n s n + b n s n + + b s + b 0 (4.67) Estas funciones se encuentran tabuladas y H se escoge de forma que el pico de ganancia sea la unidad. F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US Análisis y síntesis de circuitos 83

20 APROXIMACIÓN DE FILTROS Fig..7 Schauman Figura 4.9: Carta de diseño de filtros elípticos Ejemplo Encontrar la función de transferencia de un filtro elíptico que satisface las mismas especificaciones de los ejemplos anteriores (banda pasante en 0 f.khz con A p 0.5dB de atenuación máxima y una banda de rechazo en f.9khz con una atenuación mínima A s 3dB). Solución Tenemos que ω s.6 y ε 0.. Para usar las tablas de filtros elípticos necesitamos los números A minh(jω) en ω y A maxh(jω) en w ω s. Tenemos que A ,944 A ,A s + ε + δ 0,0708 (4.68) En las tablas se comprueba que un filtro elíptico de segundo orden no cumple las especificaciones. Para ω s.6 y A 0.95, se tiene A Con un filtro de tercer orden se tiene A 0.066< Por tanto: Hs ( ) 0,86( s + 3,36) ( s + 0,773) ( s + 0,496s +,74) (4.69) con H(0) ya que el orden es impar. Recordar que para las mismas especificaciones el filtro máximamente plano tenia n MF 8 y el filtro Chebyshev n CH 5. Estas diferencias son aún mayores si las especificaciones son más estrictas. Por ejemplo, para A p 0.05dB, A s 80dB y ω s se obtiene n ELL 0, n MF 63 y n CH Análisis y síntesis de circuitos F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

21 4.5 Aproximación elíptica Se ha visto que para unas especificaciones de magnitud dadas la aproximación elíptica es más eficiente, seguida por la Chebyshev y la máximamente plana. El motivo principal es la distribución de igual rizado del error en la banda pasante junto con la presencia de ceros de transmisión finitos que permiten a la función de transferencia elíptica tener una transición muy brusca (la anchura de la región de transición es la especificación más exigente). Para las mismas especificaciones que los ejemplos anteriores pero con ω s. se obtiene n ELL 4, n CH 0 y n MF 39. Es interesante comparar las tres aproximaciones desde el punto de vista del retraso. Ya que los filtros Chebyshev y elípticos tienen polos con mayores factores de calidad, sus curvas de retraso para el mismo orden tienen más pico. Sin embargo, esta aproximación no es muy correcta puesto que estamos comparando curvas de retraso de igual orden y la comparación debe efectuarse para filtros que cumplen las mismas especificaciones. En este caso, la Fig. 4.0 muestra una comparación de los retrasos para las especificaciones: A p 0.5dB, A s 3dB y ω s.5. Fig..8 Schauman Figura 4.0: Comparación de retrasos de filtros Butterworth, Chebyshev, Chebyshev inverso y elíptico F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US Análisis y síntesis de circuitos 85

22 APROXIMACIÓN DE FILTROS 4.6 Aproximación Bessel A menudo se requiere pasar una señal de la entrada a la salida sin distorsiones serias. Hemos visto anteriormente que para una transmisión sin distorsión la función de transferencia debía ser: Hs ( ) Ke sτ (4.70) que proporciona fase lineal o retraso constante. La salida es una réplica exacta de la entrada retrasada τ segundos. Una aproximación todo polo para e sτ es: Hs ( ) b s n + b n s n + + b s + b 0 (4.7) donde los coeficientes b i se obtienen imponiendo retraso máximamente plano. Los polinomios así obtenidos son los polinomios de Bessel, de ahí el nombre de los filtros. También se les denomina filtros de retraso máximamente planos. Los polinomios de Bessel se encuentran tabulados. La Fig. 4. muestra respuestas en magnitud y características de retraso para n 0. Fig..8 Ghausi Fig..9 Ghausi Figura 4.: Magnitud y retraso para filtros Bessel con n 0 Los coeficientes del denominador de la función de transferencia se obtienen mediante: 86 Análisis y síntesis de circuitos F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

23 4.6 Aproximación Bessel ( n i)! b i n i i 0,,, n i! ( n i)! (4.7) siendo n Ds ( ) b i s i y b n i 0 (4.73) Los polinomios de retraso máximamente plano para n 0 se encuentran tabulados. Los de orden superior se obtienen mediante la siguiente relación recursiva: D n ( s) ( n )D n + s D n (4.74) b 0, A mayor n se obtiene una aproximación más precisa de retraso constante. Si dividimos b i / b i ---- b 0 ( n i)! n n! n i i! ( n i)! ( n)! n! ( n i)! ( n)! ( n i)! ii! -- (4.75) Para n : b i n i b 0 ( n) i i i! -- i! (4.76) Luego, lim Hs ( ) lim lim n n b i b s i n n b 0 -- s i i! n b 0 b 0 i 0 b 0 i 0 e s (4.77) que corresponde a un retraso constante normalizando s por Ω o /τ o. Para n finito, H(s) tiene errores de magnitud y retraso. El único parámetro disponible de los filtros Bessel debe elegirse de modo que ambos errores sean aceptablemente pequeños. Para ayudar en esta elección se disponen de curvas de atenuación y errores de retraso, tales como las que se muestra en la Fig. 4.. Los filtros Bessel son ineficientes en términos de selectividad de ganancia. Por ejemplo, para ω/ω p 4 la atenuación de un filtro Butterworth de cuarto orden es 50dB mientras que se necesita un filtro Bessel de orden 7 para conseguir la misma atenuación. Por esta razón es preferible utilizar filtros diseñados en ganancia y utilizar ecualizadores de fase. F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US Análisis y síntesis de circuitos 87

24 APROXIMACIÓN DE FILTROS Fig..9 Schauman Figura 4.: Error de magnitud y retraso para filtros Bessel en función de la frecuencia normalizada ωωτ o para diferentes órdenes n. Hjω ( ) Hjω ( ) e jφω ( ) φ τω ( ) τ ω o [ Δτ( ω) ] 88 Análisis y síntesis de circuitos F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

25 4.6 Aproximación Bessel Funciones de transferencia paso de baja Chebyshev para n,3,4. Carta de diseño de filtros Chebyshev Comparación de retraso de filtros Chebyshev y Chebyshev inverso Carta de diseño de filtros elípticos F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US Análisis y síntesis de circuitos 89

26 APROXIMACIÓN DE FILTROS Comparación del retraso de distintas aproximaciones para A p 0.5dB, A s 3dB y ω s.5. Simetría geométrica de ceros de reflexión y ceros de transmisión en filtros elípticos. 90 Análisis y síntesis de circuitos F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

27 4.6 Aproximación Bessel Magnitud y retraso de filtros Bessel con n 0 Errores de magnitud y retraso de filtros Bessel en función de la frecuencia normalizada. F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US Análisis y síntesis de circuitos 9

28 APROXIMACIÓN DE FILTROS 9 Análisis y síntesis de circuitos F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US