Sistemas de segundo orden: especificicaciones de diseño del régimen transitorio. Controladores P, PD y P-D

Transcripción

1 Sistemas de segundo orden: especificicaciones de diseño del régimen transitorio. Controladores P, PD y P-D Félix Monasterio-Huelin de febrero de 6 Índice Índice Índice de Figuras Índice de Tablas. Respuesta de los sistemas continuos de segundo orden a una entrada escalón unidad 3. Características de régimen transitorio de los sistemas continuos de segundo orden 5 3. Ejemplos de sistemas de control realimentado de segundo orden: controladores P, P-D y PD Controlador P Controlador P-D Controlador PD Especificaciones de diseño del régimen transitorio del sistema de control realimentado con los controladores P y P-D A. Salida de sistemas libres de segundo orden con condiciones iniciales no nulas 5 A.. Sistema de segundo orden subamortiguado: ζ < A.. Sistema de segundo orden sobreamortiguado: ζ > A.3. Sistema de segundo orden críticamente amortiguado: ζ = B. Resumen de ecuaciones de la salida con controladores P y P-D 7 C. Ecuación de la sobreelongación máxima M p, del tiempo de pico t p y del tiempo de subida t r de los sistemas de segundo orden subamortiguados en su primera forma canónica 8 D. Ecuación del tiempo de establecimiento t s de los sistemas de segundo orden subamortiguados en su primera forma canónica 9 Índice de Figuras.. Salida yt de un sistema de orden dos en su primera forma canónica con entrada escalón unidad Salida yt de un sistema de orden dos en su primera forma canónica con entrada escalón unidad: clases de respuesta Salida yt de un sistema de orden dos en su segunda forma canónica con entrada escalón unidad Características del régimen transitorio, con intervalo de tolerancia del 4 % Controlador P para un sistema continuo de segundo orden y tipo uno

2 3.. Salida con controlador P Controlador P-D para un sistema continuo de segundo orden y tipo uno Salida con controlador P-D Salida con controlador P-D Controlador PD para un sistema continuo de segundo orden y tipo uno Salida con controlador PD Salida con controlador PD Salida con controlador P-D del ejemplo de diseño Índice de Tablas

3 . Respuesta de los sistemas continuos de segundo orden a una entrada escalón unidad Para el estudio de la respuesta de un sistema de segundo orden a la entrada escalón unidad obtendremos la función de transferencia de los sistemas de segundo orden en la primera forma canónica, a partir de la ecuación diferencial, ÿt + αẏt + ω nyt = ω nut. donde R + es la frecuencia natural, α R + el coeficiente de atenuación, ut R la entrada e yt R la salida del sistema continuo. Aplicando la Transformada de Laplace se obtiene la función de transferencia G s que llamaremos primera forma canónica de los sistemas de segundo orden, G s = ω n s + αs + ω n. Cuando ut es un escalón unidad r t se obtiene la salida, bajo condiciones iniciales nulas, Y s = ω n ss + αs + ω n.3 Descomponiendo en fracciones simples, Y s queda en la forma Y s = s s + α s + αs + ωn.4 En el Apéndice A, ecuaciones A.9 y A., se estudia la expresión del segundo miembro de la derecha obteniendo la respuesta causal al escalón unidad de un sistema de segundo orden L {Y s}, α yt = e αt sin t + cos t r t.5 donde = ω n α cuando la respuesta es subamortiguada, = j con = α ω n cuando la respuesta es sobreamortiguada, y = cuando la respuesta es críticamente amortiguada. Es habitual representar la respuesta al escalón para diversos valores del coeficiente de amortiguamiento ζ definido como α = ζ como se muestra en las Figuras. y.. Se produce una respuesta subamortiguada cuando ζ <, una respuesta sobreamortiguada cuando ζ > y una respuesta críticamente amortiguada cuando ζ =. yt,5,5 ζ =, ζ =, ζ =,3 ζ =,77 ζ =, ζ =, t Figura.: Salida yt de un sistema de orden dos en su primera forma canónica con entrada escalón unidad 3

4 yt,5 sub-amortiguado críticamente-amortiguado ζ =, ζ =, ζ =,,5 sobre-amortiguado t Figura.: Salida yt de un sistema de orden dos en su primera forma canónica con entrada escalón unidad: clases de respuesta La expresión.5 puede escribirse en la forma yt = ζ e αt sin t + ϕ r t.6 donde sin ϕ = ζ cos ϕ = ζ.7a.7b En el caso sobreamortiguado conviene escribir la respuesta al escalón.5 en la forma de exponenciales, teniendo en cuenta que las funciones trigonométricas de argumentos complejos son funciones hiperbólicas, yt = α e αt + α e α t r t.8 donde α = α + α = α.9a.9b El caso críticamente amortiguado puede obtenerse calculando el ĺımite cuando en la expresión.5 yt = + t e t r t. La segunda forma canónica de los sistemas de segundo orden deriva de la ecuación diferencial, Su función de transferencia es G s, ÿt + αẏt + ω nyt = ut. G s = s s + αs + ω n. Cuando ut es un escalón unidad r t se obtiene la salida Y s = s + αs + ω n.3 por lo que la respuesta al escalón unidad es yt = ζ e αt sin t r t.4 4

5 En la Figura.3 se muestran las respuestas al escalón unidad variando el coeficiente de amortiguamiento ζ para un sistema de orden dos en su segunda forma canónica. yt ζ =, ζ =,,8,6,4, t,,4,6,8 ζ =,3 ζ =,77 ζ =, ζ =, Figura.3: Salida yt de un sistema de orden dos en su segunda forma canónica con entrada escalón unidad Cuando los polos son reales conviene expresar la respuesta al escalón en forma de exponenciales, yt = e α t e α t r t.5 ζ donde α, α vienen dados por las relaciones.9. Por último, la respuesta al escalón para el caso ζ = viene dado por yt = te ωnt r t.6. Características de régimen transitorio de los sistemas continuos de segundo orden En la Figura. se muestran dos características fundamentales del régimen transitorio que deben utilizarse como especificaciones de diseño de los controladores: el tiempo de establecimiento t s y la sobreelongación máxima M p. También se muestran en la Figura. otras características que pueden resultar útiles, como el tiempo de pico t p y el tiempo de subida t r. yt, , , M p.65,.4 ζ =,3 ν, t t ω p n t r t s Figura.: Características del régimen transitorio, con intervalo de tolerancia del 4 % El tiempo de establecimiento t s marca una frontera entre el régimen permanente práctico y el régimen transitorio. Se define en relación a un factor de tolerancia ν con respecto a la señal 5

6 de referencia. Dota de sentido práctico a la calidad del problema de seguimiento de una señal de referencia. La sobreelongación máxima M p solo tiene sentido para respuestas subamortiguadas, y es muy importante para evitar la saturación de la señal de control salida del controlador. Por lo tanto debe ser seleccionado cuidadosamente. En los Apéndices C y D se demuestra que para el caso de sistemas de segundo orden en su primera forma canónica con una entrada escalón unidad, los valores de estas especificaciones de diseño satisfacen las siguientes relaciones: M p = e t p = π t r = π ϕ ln t s ζ ζ π ν ζ ζ.a.b.c.d donde ν es la tolerancia, y sin ϕ = ζ cos ϕ = ζ.a.b 6

7 3. Ejemplos de sistemas de control realimentado de segundo orden: controladores P, P-D y PD En esta Sección se va a obtener la función de transferencia de lazo cerrado de un sistema de control realimentado de un sistema de orden dos, orden relativo dos y tipo uno, con controladores P, PD y P-D. La función de transferencia del sistema a controlar la escribiremos en la forma Gs = K ss + p donde K, p R + son parámetros constantes y positivos del sistema. Veremos que, en todos los casos, la función de transferencia de lazo cerrado es un sistema de orden dos y tipo cero. Con los controladores P y P-D el orden relativo es dos, mientras que con el controlador PD, el orden relativo es la unidad. Por lo tanto, con los controladores P y P-D la función de transferencia de lazo cerrado se corresponde con la primera forma canónica de los sistemas de segundo orden, mientras que con el controlador PD, veremos que la función de transferencia de lazo cerrado es una combinación lineal de la primera y segunda forma canónica. En esta Sección también se definirán los parámetros de los controladores, y una forma de normalizacion de la función de transferencia de lazo cerrado, convenientes para el diseño de los controladores. Se verá, finalmente, un ejemplo numérico de diseño de los controladores P y P-D. 3.. Controlador P 3. rt et ut K yt + K p ss + p Figura 3.: Controlador P para un sistema continuo de segundo orden y tipo uno En la Figura 3. se muestra el esquema de bloques de un sistema de control realimentado con un controlador Proporcional P donde el sistema a controlar es de segundo orden y de tipo uno. La función de transferencia de lazo cerrado H P s tiene la forma, H P s = K p K s + ps + K p K Como vemos, coincide con la primera forma canónica de los sistemas de segundo orden dada por., 3. H P s = G s 3.3 donde la frecuencia natural y el coeficiente de amortiguamiento vienen dados por = K p K p ζ = K p K = p 3.4a 3.4b Para el diseño del controlador P conviene elegir el parámetro ζ en vez de K p, aunque el diseño no termine hasta que se asigne un valor a este parámetro. Para ello conviene expresar la función de transferencia de lazo cerrado H P s, en función de ζ. Puesto que p = ζ, ωn = p 4ζ 3.5 De aquí que p 4ζ H P s = s + ps + p 4ζ 7 3.6

8 Por otro lado, también conviene normalizar la función de transferencia, de tal modo que puedan realizarse representaciones gráficas de las señales implicadas en el diseño, en función de pt, en vez de hacerlo como suele ser lo habitual, en función de t. La razón para hacer esto es porque es un parámetro de diseño, y como consecuencia, la interpretación de las gráficas se hace más complicada. Haciendo s = ps se obtiene una función de transferencia de lazo cerrado independiente de p, que supone un cambio de escala en el tiempo, de t a pt, H P s = 4ζ s + s + 4ζ 3.7 En la Figura 3. se muestran curvas de la salida para diferentes valores de ζ, donde el eje de abcisas es pt. yt,5 P ζ =,3 ζ =,77 ζ =, ζ =,,5,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 pt Figura 3.: Salida con controlador P 3.. Controlador P-D rt et u t ut K + K p + ss + p u t yt K p τ D s Figura 3.3: Controlador P-D para un sistema continuo de segundo orden y tipo uno En la Figura 3.3 se muestra el esquema de bloques de un sistema de control realimentado con un controlador de tipo PD con el factor proporcional en el lazo directo y el factor derivativo en el lazo paralelo. Utilizaremos la notación P-D para esta clase de controladores. Este sistema de control tiene una función de transferencia de lazo cerrado H P D s que coincide con la primera forma canónica de los sistemas de segundo orden, de la misma forma que con el controlador P, pero a diferencia de este tiene dos parámetros de diseño K p, τ D, H P D s = K p K s + p + K p Kτ D s + K p K 3.8 Como vemos, se corresponde con la primera forma canónica de los sistemas de segundo orden, H P D s = G s 3.9 8

9 donde la frecuencia natural y el coeficiente de amortiguamiento vienen dados por = K p K ζ = p + K pkτ D K p K = p + τ D 3.a 3.b donde Introduciendo el parámetro β tal que p = β ζ podemos expresar τ D en la forma, τ D = ζ β 3. β = p ζ 3. Puede observarse que el Controlador P es un caso particular del Controlador P-D, que se obtiene haciendo β =. Para el diseño del controlador P-D conviene elegir los parámetros ζ, β en vez de K p, τ D, aunque el diseño no termine hasta que se asignen valores a estos últimos parámetros. Para ello conviene expresar la función de transferencia de lazo cerrado H P D s en función de los nuevos parámetros. Por definición p = β ζ, por lo que, De aquí que H P D s = ω n = p β ζ 3.3 p β ζ s + p β s + p β ζ 3.4 Por otro lado, también conviene normalizar la función de transferencia, de tal modo que puedan realizarse representaciones gráficas de las señales implicadas en el diseño, en función de pt, en vez de hacerlo como suele ser lo habitual, en función de t. La razón para hacer esto es porque es un parámetro de diseño, y como consecuencia, la interpretación de las gráficas se hace más complicada. Haciendo s = ps se obtiene una función de transferencia de lazo cerrado independiente de p, que supone un cambio de escala en el tiempo, de t a pt, H P D s = β ζ s + β s + β ζ 3.5 En las Figuras 3.4 y 3.5 se muestran curvas de la salida para diferentes valores de ζ donde el eje de abcisas es pt. En la Figura 3.4 con β =,5, y en la Figura 3.5 con β =,5. Pueden compararse con la Figura 3. realizada con el controlador P, y aunque en ambos casos se trate de un sistema de segundo orden en su primera forma canónica, puede apreciarse que hay diferencias cuantitativas en la respuesta al escalón unidad, pero la variación de las curvas con β no altera la forma cualitativa de las curvas. 9

10 yt,5 P-D β =,5 ζ =,3 ζ =,77 ζ =, ζ =,,5,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 pt Figura 3.4: Salida con controlador P-D yt,5 P-D β =,5 ζ =,3 ζ =,77 ζ =, ζ =,,5,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 pt Figura 3.5: Salida con controlador P-D 3.3. Controlador PD rt et ut K yt + K p + τ D s ss + p Figura 3.6: Controlador PD para un sistema continuo de segundo orden y tipo uno En la Figura 3.6 se muestra el esquema de bloques de un sistema de control realimentado con un controlador Proporcional-Derivativo PD ideal. La función de transferencia de lazo cerrado H P D s tiene la forma K p K + τ D s H P D s = s p + K p Kτ D s + K p K Como ocurre con el controlador P-D, es posible elegir independientemente la frecuencia natural y el coeficiente de amortiguamiento, ya que se dispone de dos parámetros de diseño K p, τ D. Sin embargo el sistema de lazo cerrado no coincide con la primera forma canónica G s de los sistemas de segundo orden porque tiene un cero en s = τ D. Podemos ver que la función de transferencia de lazo cerrado 3.6 del sistema de control de la Figura 3.6 con un PD en el lazo directo, es una combinación lineal de las dos formas canónicas de

11 los sistemas de segundo orden. De hecho, donde H P D s = G s + ζ p G s 3.7 = K p K ζ = p + K pkτ D K p K = p + τ D 3.8a 3.8b Utilizando el parámetro β tal que p = β ζ, puede verse la dependecia de H P D s con la segunda forma canónica de una forma más sencilla, H P D s = G s + ζ β G s 3.9 La relación dada por 3.8b puede escribirse en la forma τ D = ζ β 3. por lo que si se impone que τ D >, se deberá cumplir que β <, ya que admitimos que ζ > y >. En consecuencia, el coeficiente de la segunda forma canónica será positivo. Por la misma razón, τ D < si β >. Normalmente se escogerá τ D > ya que en caso contrario el sistema de control de lazo cerrado tendrá un cero inestable, y por lo tanto será de fase no mínima. Este hecho plantea algunos problemas que no vamos a analizar aquí. Cuando β = el efecto de la segunda forma canónica desaparece. Pero este caso se corresponde con τ D =, por lo que en realidad se trataría de un controlador P, y no PD. Como consecuencia, podemos entender que al añadir un factor derivativo al controlador del lazo directo, es inevitable que aparezca el efecto debido a la segunda forma canónica. Puesto que p es un valor conocido, entonces, fijando el valor de ζ y β, se obtendría el valor de, y puesto que K también es conocido, se obtendría el valor de K p, quedando resuelto el problema de diseño del controlador. Haciendo el cambio de variable s = ps, puede normalizarse la función de transferencia de lazo cerrado, de tal manera que dependa de los parámetros de diseño ζ, β, como se hizo con el controlador P-D, β + β s H P D s = ζ β s + s + 3. β β ζ En las Figuras 3.7 y 3.8 se muestran curvas de la salida para diferentes valores de ζ donde el eje de abcisas es pt. En la Figura 3.7 β =,5 y en la Figura 3.8 β =,5. En este último caso β > por lo que tiene un cero positivo, razón por la cual aparece una sub-elongación en las proximidades del origen. Vamos a demostrar, a continuación, que la pendiente de la curva en el origen es negativa, a diferencia de la pendiente de la salida del sistema realimentado con el controlador P-D, que es nula. La variación de las curvas con β altera ligeramente la forma cualitativa de las curvas.

12 yt ζ =,3,5 PD β =,5 ζ =,77 ζ =, ζ =,,5,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 pt Figura 3.7: Salida con controlador PD yt,5 PD β =,5 ζ =,3 ζ =,77 ζ =, ζ =,,5,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 pt,5 Figura 3.8: Salida con controlador PD Teniendo en cuenta las respuestas al escalón de cada forma canónica, dadas por.5 y.4, se obtiene la respuesta al escalón de sistema de control realimentado con un controlador PD en el lazo directo, y P D t = e αt ζβ sin t + cos t 3. ζ Derivando esta expresión con respecto al tiempo y simplificando, se obtiene, ẏ P D t = e αt ζ β + sin t ζβ cos t ζ 3.3 La pendiente en el origen es ẏ P D = ζβ 3.4 Como vemos, si β >, entonces ẏ P D <. Con los controladores P y P-D, la pendiente en el origen siempre es nula, pero con el controlador PD puede ser positiva o negativa según sea el valor de β, pero nunca nula, ya que el caso β = se corresponde con el controlador P Especificaciones de diseño del régimen transitorio del sistema de control realimentado con los controladores P y P-D Con los controladore P y P-D, las características de régimen transitorio se corrersponden con las de un sistema de segundo orden en su primera forma canónica, por lo que se rigen por las ecuaciones

13 . recogidas en la Sección, donde ν es la tolerancia, y M p = e t p = π t r = π ϕ ln t s ζ ζ π ν ζ ζ sin ϕ = ζ cos ϕ = ζ 3.5a 3.5b 3.5c 3.5d 3.6a 3.6b Eliminando para expresarlas en función de los parámetros de diseño ζ, β, ζ π M p = e ζ ζ pt p = π β ζ ζ pt r = π ϕ β ζ pt s ln ν β ζ 3.7a 3.7b 3.7c 3.7d Por lo tanto, la sobreelongación máxima M p es la misma con los controladores P y P-D, ya que solo depende de ζ, pero t p, t r y t s dependen linealmente de β, por lo que el controlador P-D tiene un grado de libertad más que el controlador P para variar estas especificaciones de diseño. Por ejemplo, si se especifica un valor de M p del 5 % de la señal de referencia, una tolerancia ν del % de la señal de referencia y un tiempo de establecimiento de pt s 5, se obtendrían los siguientes valores de los parámetros de diseño ζ, β, ζ =,569 β =,93 3.8a 3.8b El valor de la frecuencia natural se obtiene de p = β ζ, =,5737p 3.9 Ahora, utilizando las expresiones dadas por 3.a y 3., se obtienen los parámetros del controlador K p, τ D en función de los parámetros del sistema K, p, K p =,4765p K τ D =,53 p 3.3a 3.3b En la Figura 3.9 se muestra la curva de respuesta para este diseño del controlador P-D. 3

14 yt,5.3,.5 ζ =,569 β =,93.569, M p 4.993,.98 ν, pt pt r pt p pt s Figura 3.9: Salida con controlador P-D del ejemplo de diseño 4

15 A. Salida de sistemas libres de segundo orden con condiciones iniciales no nulas Consideremos el sistema de segundo orden continuo libre dado por la ecuación diferencial ÿt + αẏt + ω nyt = A. con las condiciones iniciales [y, ẏ ] y α, R +. Aplicando la Transformada de Laplace se obtiene s + αs + ω ny s = y s + ẏ + αy A. que puede escribirse en la forma Y s = T s P s donde T s es el polinomio de condiciones iniciales y P s el polinomio característico, T s = y s + α + ẏ P s = s + αs + ω n A.3 A.4a A.4b Nos interesará escribir Y s en la forma siguiente: Y s = y s + α s + α s + α + ẏ s + α s + α A.5 donde α, = α ± α ω n A.6 Podemos distinguir tres casos según que α <, α > o α = que analizamos a continuación por separado. Para caracterizarlos utilizaremos el coeficiente de amortiguamiento ζ donde α = ζ A.7 A.. Sistema de segundo orden subamortiguado: ζ < Cuando ζ < podemos hacer α = α + j α = α j A.8a A.8b donde = ζ. De la relación A.5 extraemos los factores de la derecha, y los escribimos en la forma de fracciones simples, s + α s + α s + α = [ α α ] A.9a j s + α s + α s + α s + α = j Por lo tanto calculando L {Y s}, se obtiene [ s + α s + α ] A.9b yt = y j [ α e α t α e α t ] + ẏ j [ e α t e α t ] A. que puede escribirse en la forma yt = y e αt α e jt α e jt j + ẏ e αt ejωdt e jωdt j A. 5

16 Por fin puede escribirse en la forma trigonométrica α yt = y e αt sin t + cos t + ẏ e αt sin t A. Podemos escribir la solución A. en las componentes trigonométricas. y α + ẏ yt = e αt sin t + y e αt cos t A.3 Comparando las relaciones A. y A.3 puede comprobarse que L { e αt sin t } = L { e αt cos t } = s + α + ωd s + α s + α + ωd A.4a A.4b A.. Sistema de segundo orden sobreamortiguado: ζ > Cuando ζ > α = α + α = α A.5a A.5b donde = ζ. Observando que = j podemos utilizar las relaciones entre las funciones trigonométricas y las funciones hiperbólicas: A.6 sin jx = j sinh x cos jx = cosh x A.7a A.7b Sustituyendo estas relaciones en A. se obtiene yt = y e α ω αt sinh t + cosh t d + ẏ e αt sinh t A.8 Este resultado conviene expresarlo en la forma de exponenciales, obteniéndolo fácilmente de las expresiones A.9a y A.9b, junto con A.5 α y + ẏ yt = e αt α y + ẏ e α t A.9 A.3. Sistema de segundo orden críticamente amortiguado: ζ = Cuando ζ = se cumple que α = y que =. Calculando el ĺımite cuando en la ecuación A. { y e t resulta yt = lim ωn sin t + cos t + ẏ e ωnt sin t yt = y e ω ωnt sin t n lim + + ẏ e ωnt sin t lim Aplicando la regla de L Hôpital, yt = y t + e ωnt + ẏ te ωnt } A. A. A. 6

17 En este caso, la ecuación diferencial dada por A. puede escribirse en la forma Aplicando la transformada de Laplace se obtiene La ecuación A. puede escribirse en la forma ÿt + ẏt + ω nyt = A.3 s + Y s = y s + ẏ + y A.4 yt = y + ẏ te t + y e t Aplicando ahora la Transformada de Laplace a la ecuación A.5 se obtiene Y s = y + ẏ { L te t } + y s + Comparando las expresiones A.4 y A.6 se obtiene L { te t } = A.5 A.6 s + A.7 B. Resumen de ecuaciones de la salida con controladores P y P-D Escribiremos la salida de un sistema de segundo orden con una entrada escalón unidad como ỹt = yt + y t B. donde yt es la salida bajo condiciones iniciales nulas e y t la contribución en la salida de las condiciones iniciales. Las ecuaciones de yt y y t son las siguientes e αt ζ sin t + cos t ζ < B.a ζ yt = ζ + ζ e αt + ζ + t e t ζ ζ ζ e α t ζ > ζ = B.b B.c e αt ζy + ẏ ω n ζ sin t + y cos t ζ < B.3a donde y t = ζ + ζ y + ẏ ω n ζ e α t ζ ζ y + ẏ ζ e α t ζ > y e ωnt ẏ + + y te ωnt ζ = α = ζ = ζ α = ζ + ζ α = ζ ζ B.3b B.3c B.4a B.4b B.4c B.4d La expresión de yt condiciones iniciales nulas y de la derivada con respecto al tiempo ẏt para ζ < puede escribirse en la forma yt = ζ e αt sin t + ϕ B.5a ẏt = ζ e αt sin t B.5b 7

18 donde sin ϕ = ζ cos ϕ = ζ B.6a B.6b La expresión de ỹt y de la derivada con respecto al tiempo ỹt para ζ <, puede escribirse en la forma ỹt = a + b ζ e αt sin t + ϕ B.7a a ẏt = + b ω n e αt sin t + ϕ ϕ ζ B.7b donde sin ϕ = cos ϕ = b a + b a a + b a = ζ y ẏ b = ζ y B.8a B.8b B.8c B.8d C. Ecuación de la sobreelongación máxima M p, del tiempo de pico t p y del tiempo de subida t r de los sistemas de segundo orden subamortiguados en su primera forma canónica En el Apéndice B, expresiones B.5, se recogen las expresiones de yt y de su derivada con respecto al tiempo, ẏt, en al caso subamortiguado, yt = ẏt = ζ e αt sin t + ϕ ζ e αt sin t C.a C.b donde sin ϕ = ζ cos ϕ = ζ C.a C.b Igualando a cero la expresión C.b se obtiene el conjunto de instantes de tiempo en que se producen máximos y mínimos en yt, t p = nπ C.3 con n Z. El tiempo de pico se define como el instante de tiempo t p en el que se produce el máximo de los máximos. Se dará para n =, por lo cual t p = π C.4 Sustituyendo t p en la ecuación C. se obtiene la sobreelongación máxima M p = yt p, M p = e ζ ζ π C.5 8

19 Para el caso sobreamortiguado, ẏt = ζ e αt sinh ζ t C.6 Las únicas soluciones posibles de ẏt = son t = y t =, por lo que no se producen sobreelongaciones. Para el caso críticamente amortiguado, ẏt = te t por lo que tampoco se producen sobreelongaciones. Podemos observar también que, en todos los casos, la pendiente de yt en el origen es nula, C.7 ẏ = C.8 El tiempo de subida se define como el primer instante de tiempo t r tal que yt r =. Resolviendo esta ecuación con la expresión C.a se obtiene el conjunto de instantes de tiempo siguiente, con n Z. Por lo tanto, t r = nπ ϕ t r = π ϕ C.9 C. D. Ecuación del tiempo de establecimiento t s de los sistemas de segundo orden subamortiguados en su primera forma canónica Las envolventes de la curva yt son las curvas ỹt tangentes a ella por el exterior, ỹt = ± ζ e ζωnt D. La diferencia entre las dos envolventes en el instante de tiempo de establecimiento t s define aproximadamente el doble del margen de tolerancia ν, por lo que + ζ e ζωnts ζ e ζωnts ν D. De aquí que t s ln ν ζ ζ D.3 De hecho, t s es menor o igual que el valor del término de la derecha, ya que los puntos de las envolventes están en el exterior de la curva yt o son tangentes a ella. El valor exacto cumple que yt s = ν. Para una tolerancia del %, ν =, suele definirse el tiempo de establecimiento como t s 4 ζ y para una tolerancia del 5 %, ν =,5 suele definirse el tiempo de establecimiento como t s 3 ζ Estas definiciones siguen aproximadamente la fórmula ln ν t s ζ D.4 D.5 D.6 9