Procesamiento Digital de Señal

Transcripción

1 Procesamiento Digital de Señal Tema 6 : Diseño de iltros digitales Transformada Z Análisis de sistemas digitales unción de Transferencia Respuesta en recuencia Síntesis de Sistemas digitales Diseño de filtros IR e IIR La Transformada Z Una señal muestreada x[n]x(nt), está definida sólo para los instantes de tiempo nt, siendo T(/ s ) el período de muestreo. La transformada Z permite expresar la secuencia de muestras x[n] en forma de un polinomio en la variable z. + n X ( z) Z{ x[ n]} x( nt ) z El operador z está asociados al retraso o adelanto del tiempo en múltiplos del período de muestreo T. El dominio de la variable z es el plano complejo. n

2 Definición y Propiedades Transformadas Z de algunas secuencias ImpulsoUnidad Pulso Rectangular Escalon Unidad Exponencial X X X X [] n δ[ n] ( z) ROC : [] n u[] n [ n ] ( z ) ( z) z ( z ) [] n u[] n x x x ( z) [] n α u[] n x z ( z ) ( z ) ( z) α z ( α z) z z z ROC : z ROC : z > z ( z α ) ROC : z > α Definición y Propiedades Propiedades de la Transformada Z Superposicion ax[ n] + by[ n] ax ( z) + by ( z) Desplazamiento x[ n ] z X ( z) + x[ ] ( ) x[ n ] z X ( z) + z x[ ] + L+ x[ ] x[ n + ] z X ( z) z x[] z x[] L zx[ ] n Escalado α x[] n X ( z / α ) dx [] ( z) n nx n z dz d dx [] ( z) n n x n z z dz dz cos sin Convolucion Diferencia cos sin ( nωt ) x[] n [ { ( )} { ( )}] X z exp jωt + X z exp jωt ( nω T ) x[] n j [ X { z exp( jω T )} X { z exp( jω T )}] [ n] y[ n] X ( z) Y( z) [] n x[ n ] ( z ) X ( z) x x

3 Transformada Z La TZ de señales en tiempo discreto está relacionada con la DTT Transformada de ourier de la secuencia x[n] Transformada Z de la secuencia x[n] X ( e n Si se sustituye la variable compleja z por la variable compleja e jw, la TZ se reduce a la T Cuando la T existe, es simplemente X(z) con ze jw lo que implica restringir a la variable z a que tenga módulo unidad Para z la TZ equivale a la T jw X ( z) ) n x x jwn [] n e n [] n z Transformada Z Como la TZ es una función de variable compleja, es conveniente describirla e interpretarla en el plano complejo z El contorno correspondiente a z es una circunferencia de radio unidad La TZ evaluada en la circunferencia unidad es la DTT : z, w zj, wπ/ z-, wπ Se obtiene un comportamiento simétrico al evaluar la T desde wπ hasta wπ si la secuencia es real. Es periódica, con periodo π.

4 Región de Convergencia La DTT no converge para todas las secuencias (o existe). La TZ tampoco converge para todas las secuencias ni todos los valores de z: Dada una secuencia, el conjunto de valores de z para el cual la TZ converge se llama región de convergencia ( ROC ) La convergencia de la TZ depende sólo de z, o sea, la ROC está formada por todos los valores de z para los que se cumple la desigualdad: n x n [] n z < Ceros y Polos La TZ tiene toda su utilidad cuando la suma infinita se puede expresar con una fórmula matemática simple Entre las TZ más importantes están las que X(z) es una función racional en la región de convergencia: P( z) X ( z) Q( z) Los valores de z para los que X(z) se denominan ceros de X(z), o sea, las raices de P(z) Los valores de z para los que X(z) se denominan polos de X(z), o sea, las raices de Q(z)

5 Interpretación Geométrica Sistema lineal discreto Diagrama de polos y ceros h TZ [ n] H (z) La TZ Inversa Una de las aplicaciones de la TZ es el análisis de sistemas lineales en tiempo discreto, que puede requerir el cálculo de la TZ inversa (TZ - ) Dada una expresión algebraica y una ROC asociada, existen métodos formales que requieren la integración en un contorno del plano complejo para calcular TZ - Para el análisis de sistemas lineales existen métodos ad hoc : Reconocer por simple inspección ciertos pares de transformadas, que son mas frecuentes, mediante tablas de pares de transformadas Z, por ejemplo: n TZ a u[] n z > a az La TZ - se puede obtener fácilmente por inspección si la expresión de la TZ se reconoce en una tabla Aplicando linealidad, cuando X(z) no se encuentra explícitamente utilizando una tabla, pero puede ser expresada de forma alternativa como suma de términos más simples, cada uno de los cuales si aparece en ella.

6 Tabla de TZ TZ en fracciones simples En el caso de las funciones racionales, es posible realizar la descomposición en fracciones simples Se identifica de una forma simple las secuencias que se asocian a cada uno de los términos Expresar X(z) como un cociente de polinomios en z - X ( z) b a M ( c z ) ( p z ) c ceros distintos de cero de X(z) p polos distintos de cero de X(z)

7 TZ en fracciones simples TZ en fracciones simples M < y polos de primer orden z p A z X ) ( Coeficientes A ( ) d z z X z p A ) ( M y polos de primer orden + M r r r z p A z B z X ) ( B se obtiene mediante división polinómica... Análisis de sistemas Lineales e Invariantes en el tiempo ( LTI) Sistemas Digitales Sistemas Digitales

8 Sistemas Digitales Sistema LTI: unción de Transferencia. Sistemas Digitales Sistemas caracterizados por ecuaciones en diferencias finitas unción de transferencia. H(z):

9 Sistemas Digitales Análisis de sistemas caracterizados por su ecuaciones en diferencias unción de transferencia. H(z): unción de Transferencia unción de Transferencia H(Z) La función de transferencia se define sólo para sistemas LTI con condiciones iniciales nulas. Si la respuesta al impulso es h[n], la respuesta y[n] a una entrada arbitraria x[n] es la convolución y[n]x[n]*h[n]. Como la convolución se transforma en un producto, Y ( ) ( ) ( ) ( ) ( z) Y z X z H z H z X( z) Un sistema LTI también puede expresarse mediante una ecuación diferencia : y[ n] + A y[ n ] + A y[ n ] + L+ A y[ n ] B x[] n + B x[ n ] + L+ BM x[ n M ] Aplicando la Transformada Z a ambos miembros, tenemos la función de Transferencia discreta del sistema H(z), H B + B z + L+ B z + A z + L+ A z M ( z) M

10 unción de Transferencia Expresando la función de Transferencia de forma factorizada, M B + B z + L+ BM z z z L z zm H z K + A z + L+ A z ( z p ) L( z p ) Se denominan polos del sistema a los valores p,p,...,p. Determinan la forma de la respuesta del sistema (modos naturales del sistema). Los ceros del sistema (z,z,...,z M ) determinan las frecuencias bloqueadas por el sistema. El plano z y la estabilidad del sistema La estabilidad de un sistema LTI discreto requiere que la respuesta al impulso h[n] sea absolutamente sumable (integrable en continuo). Esto quiere decir que h[n] en n. Para ello es necesario que los polos de la función de transferencia H(z) estén todos dentro del círculo unidad en el plano z ( p i <). Esto evita que la respuesta tenga exponenciales crecientes. ( ) ( ) ( ) unción de Transferencia La estabilidad de una función de Transferencia puede determinarse simplemente inspeccionando los coeficientes del denominador de la función de Transferencia. Para ello, debe estar en forma de términos de º Orden, L ( ) ( ) + + +, ( ) z β iz β iz H z a L D z i + α iz + α iz int Para cada uno de los términos de º Orden se calcula las raíces (λ i y λ i ) del denominador, D i ( z) + α z + α z ( λ z ) ( λ z ) i i i Para las raíces del polinomio y los coeficientes se cumple, α i ( λ + λ ) α i λ i λ i La raíces deben estar dentro del círculo unidad, por lo que λ i < y λ i <. Esto implica que el coeficiente α i <. i i i

11 Sistemas Digitales Respuesta en recuencia: Cálculo analítico Sistemas Digitales Cálculo analítico: Ejemplo de evaluación de módulo

12 Sistemas Digitales Cálculo analítico: Ejemplo de evaluación de fase Sistemas Digitales Cálculo analítico: contribución de ceros y polos

13 Sistemas Digitales Cálculo analítico: contribución de ceros Sistemas Digitales Cálculo analítico: contribución de ceros

14 Sistemas Digitales Cálculo analítico: contribución de polos Sistemas Digitales Sistema LTI: Respuesta en recuencia.

15 Sistemas Digitales Respuesta en recuencia Respuesta en recuencia: Interpretación Sistemas Digitales Respuesta en recuencia: Propiedades

16 Diseño de iltros Digitales iltros IR Secuencias Simétricas: ase lineal Técnicas de Diseño de iltros IR Método de las Series de ourier Método de Muestreo en recuencia iltros IIR: De analógico a digital Sistemas Digitales Estructuras para la realización de un sistema IR: Sea un sistema LTI con ecuación (ED) característica La respuesta al impulso es h[n] b n para n M-, h[n], para el resto. SISTEMA no recursivo Diagrama de bloques

17 Secuencias Simétricas El diseño de filtros IR requieren la selección de la secuencia que mejor representa la respuesta a impulso de un filtro ideal. Los filtros IR son siempre estables y son capaces de tener una respuesta de fase que es lineal, lo que equivale a decir que su respuesta tiene un retraso constante. Un filtro IR de longitud M con entrada x[n] y salida y[n] se describe mediante la ecuación diferencia: M [] n b x[] n + b x[ n] + L+ b x[ nm + ] b x[ n] y M donde b son los coeficientes del filtro. Por otra parte podemos expresar la salida del filtro y[n] como la convolución de la entrada x[n] con la respuesta al impulso del filtro h[n]: y M [] n h[] x[ n ] Por tanto. como estas dos ecuaciones son idénticas, los coeficientes b h[]. Secuencias Simétricas El mayor problema de los filtros IR es que para unas especificaciones dadas requieren un filtro de orden mucho mayor que los filtros IIR. Se puede demostrar que la respuesta de un filtro IR es de fase lineal si los coeficientes h[n] cumplen : [ n] ± h[ M n] n,, L, M h Es decir los coeficientes tienen algún tipo de simetría. La función de Transferencia Z del filtro IR, aplicando esta condición es : H M ( M ) ( M ) ( z) h[ ] z h[ ] + h[ ] z + h[ ] z + L+ h[ M ] z + h[ M ] z z [ z ± z ] ( M 3) / ( M ) / M [] ( M ) / ( M ) / h z + n ( M ) / ( M ) / [] ( M ) / ( M ) / n h n h n [ z ± z ] M impar M par

18 4 Secuencias Simétricas La longitud de una secuencia simétrica puede ser par o impar. Esto significa que el punto medio cae en un punto de la secuencia si es impar y entre dos puntos si es par. Como hay dos tipos de simetría (par o impar), se tiene cuatro posibles tipos de secuencias simétricas, las cuales se muestran en la Tabla junto con la DT de cada secuencia. Secuencias Simétricas L½(-), M½, es la frecuecia digitalf/f s, donde f s es la frecuencia de muestreo Tipo Simetría H() H() H(½) L L L Par Impar h[ ] + h[ ] cos( π ) h[ ] + h[ ] h[ ] + ( ) h[ ] M Par Par h [ ] [ ( L cos π )] h [ ] L 3 Impar Impar j h[ ] sin( π ) M M 4 Impar Par j h[ ] sin[ π ( )] ( ) h [ ] Secuencias Simétricas Se pueden sacar las siguientes conclusiones acerca de la aplicabilidad de cada una de los tipos de secuencia. Para las secuencias del tipo H(½), por lo que sólo pueden ser utilizadas para filtros pasabaja y pasabanda. Las secuencias del tipo 3 ( H() H(½) ) sólo pueden ser utilizadas para filtros pasabanda. Las secuencias tipo 4 ( H() ) son apropiadas para filtros pasaalta y pasabanda. La secuencia tipo puede implementar cualquier tipo de filtro. Es el único tipo capaz de realizar filtros parabanda. Aplicaciones de las Secuencias Simétricas Tipo H() Aplicación Todo tipo de filtros H(½) Sólo LP y BP 3 H() H(½) Sólo BP 4 H() Sólo HP y BP

19 Secuencias Simétricas Todos los filtros IR anteriores son de fase lineal El retardo introducido es el mismo para todas las frecuencias. La simetría presente en todos ellos reduce el coste computacional a la mitad. Un sistema de fase lineal satisface en general: H jw jw j ( β ) ( ) ( ) α w e H e e + Se define el retardo de grupo como: jw ( fase{ H( e ) α d τ ( w) )} dw Un retardo de grupo constante implica que el filtro retrasa por igual todas las componentes en frecuencia de la señal. M H ( z) z Un sistema que retarda M muestras: jw jwm H e e con τ M ( ) constante Técnicas de Diseño de iltros IR Hay diferentes métodos de diseño de filtros IR: Método de las Series de ourier. Método del Muestreo en recuencia. Método de las Series de ourier El método se basa en seleccionar la respuesta a impulso h [n] como una versión truncada de la respuesta a impulso h[n] de un filtro ideal con repuesta en frecuencia H(). Proceso de Diseño de iltros IR por este método: ormalización de frecuencias por la frecuencia de muestreo. Conversión de especificaciones a la de un Prototipo de iltro Pasobajo. Truncamiento de la respuesta a impulso de un filtro ideal h[n] C sinc(n C ) a h [n] de longitud. El orden del filtro es -. Selecionar una ventana w[n] de puntos para obtener h w [n]h [n] w[n] Convertir del Protipo de iltro Pasobajo al iltro deseado h [n]. Retrasar h [n] para asegurarse que el filtro es causal.

20 Técnicas de Diseño de iltros IR Técnicas de Diseño de iltros IR Se pretende realizar un filtro pasobajo ideal (digital) con una frecuencia de corte c, tal y como indica la figura y respuesta en fase lineal. c - c H().5.5 La respuesta en frecuencia deseada es : ( ) > )/ ( c c j d e H π Se calcula la Transformada inversa de ourier discreta de H d (): [] ( ) n n n n n j j e n j d e d e H n h c c c c c c n j n j n j d s c c c c sinc sin sin π π π π π π π π Técnicas de Diseño de iltros IR Técnicas de Diseño de iltros IR La función sinc(x) está definida para todo valor de x, y decae muy lentamente. Si se utilizan un subconjunto de los valores de h[n] definidos por la ecuación anterior como coeficientes del filtro IR, aparecerán sobreimpulsos en la respuesta del filtro. Debido a la lentitud de la función sinc(x), se necesita un filtro de elevado orden (gran número de coeficientes) para diseñar filtros con transiciones rápidas entre bandas

21 Técnicas de Diseño de iltros IR ecesidad de utilizar ventanas espectrales : El truncamiento de h[n] equivale a multiplicar h[n] por una ventana rectangular w[n] de longitud. El espectro de h [n]h[n] w[n] es la convolución de H() y W(). La función W() va a producir rizados y sobreimpulsos en la señal de salida. Para reducir los efectos de un truncamiento abrupto se utilizan ventanas espectrales que tienden a suavizar esos efectos. Las ventanas más comúnmente utilizadas en el diseño de filtros IR son vonhann, Hamming y Kaiser.. De los espectros de las ventanas se considera: El ancho del lóbulo principal y el de transición decrece al aumentar. La amplitud de los lóbulos de los lados permanece constante con. Idealmente el espectro de una ventana debe estar confinado en el lóbulo principal, sin casi energía en los lóbulos de los lados. Técnicas de Diseño de iltros IR Ejemplo: Diseñar un filtro IR pasobajo con una frecuencia de corte de 5KHz y una frecuencia de muestreo de KHz. h [n] C sinc(n C ) (5/) sinc(n5/).5 sinc(.5n). (a) Con 9, -4 n 4, y una ventana tipo Bartlett definida por: w[] n n /( ) { w[ n] } {,,,3,4,3,,, } 4 { h [] n } {,.6,,.383,.5,.383,,.6,} { []} { [][]} { } hw n h n w n,.65,,.387,.5,.387,,.65, Para que el filtro sea causal tendremos que retrasar 4 muestreos, por lo que el filtro a aplicar es: H ( z) z +.5z z.65 z Como el primer muestreo de h W [n], H( z).65z z +.5z +.387z +.65z z +.387z +.5z +.387z.65z (b) Con 6, -.5 n.5 y una ventana vonhann w [ n ] cos [ n π ( )] { w [] n } {,. 3455,. 945,. 945,. 3455, } { h [] n } {. 9,. 5,. 45,. 45,. 5,. 9 } { h W [] n } { h [][] n w n } {,. 58,. 47,. 47,. 58, } 3 H ( z ) z z z 7 +

22 Técnicas de Diseño de iltros IR Selección de la longitud del filtro: Se suele tomar de acuerdo a la siguiente fórmula, donde W S es la mitad de la anchura del lóbulo principal y p y s la frecuencias digitales de pasabanda y parabanda. Transformaciones Espectrales : Se trata de convertir diseños de filtros pasobajo a otras formas y viceversa. Transformaciones de iltros pasobajo S ( ) s W p Tipo H() ideal Respuesta a Impulso h[n] H h n sinc n Pasobajo ( ) rect LP ( C ) [ ] ( ) LP C C Pasoalto HHP( ) - HLP ( ) h [ n] δ [ n] h [ n] Pasoalto H ( ) H ( ) rect ( - ) rect Pasabanda HBP( ) rect hlp n [ ] ( + ) C + cos( πnc) hlp [ n] ( ) C δ [ n] h [ n] HP LP C [ ] [ ] Parabanda H ( ) H ( ) BS BP HP ( ) n [ ] BP LP Técnicas de Diseño de iltros IR Método del Muestreo recuencial Se trata de reconstruir el espectro continuo X() de una señal discreta a partir de los muestreos de la función X(). El espectro reconstruido X () será igual a X() sólo en las frecuencias de muestreo. Se puede considerar el DT de la señal h [n] de longitud como muestreos de su DTT (H()) en /,,,...,-. H h n exp jπ n d H h n exp jπ n La respuesta a impulso h [n] se calcula con el IDT, Proceso de diseño ( ) [] ( ) [] [] ( ) h Los muestreos deben hacerse en un periodo (,) de la extensión periódica de H(). La fase de H() es lineal y por tanto cada uno de los muestreos tiene una fase dada por φ()-π(-)/,,...,. [] n H [] exp( jπn )

23 Técnicas de Diseño de iltros IR Se combinan las ventajas del diseño con ventanas y el método de muestreo en frecuencia para tener un método de diseño de filtros de respuesta en frecuencia arbitraria. Se muestrea la respuesta frecuencial deseada con un número alto de puntos (M5). Hacemos el IDT y obtenemos la respuesta h[n]. h[n] es demasiado largo, así que se trunca a una secuencia más pequeña con una ventana. Si el diseño no cumple las especificaciones se cambia, se cambia el ancho de pasabanda o se ajustan los muestreos en la zona de transición. Sistemas Digitales Comparación IR/IIR

24 iltros IIR- Del diseño Analógico al Digital Técnicas de diseño de filtros IIR Mediante métodos de diseño analógico, seguido de una transformación del plano s (dominio de Laplace) al plano z Diseñar un prototipo de filtro pasobajo digital y hacer las oportunas transformaciones Diseño analógico Ejemplo de este método para el diseño de filtros pasobajo. El proceso se basa en el diseño de filtros analógicos para luego transformarlo al dominio discreto. El diseño analógico se realiza a partir de unas especificaciones como las dadas en la figura. δ es el rizado de pasabanda. δ es el rizado de parabanda f p es la frecuencia límite de pasabanda. f s es la frecuencia límite de parabanda. iltros IIR- Aprox. Butterworth H(f) δ Pasabanda Banda de Transición Parabanda δ f p Se parte de un prototipo de filtro pasobajo normalizado en el que se usa una frecuencia ν normalizada. Para otro tipo de filtro se requerirá la consiguiente transformación de frecuencia. Para ese filtro pasobajo normalizado la función de Transferencia es H( ν ) + L n ( ν ) donde L n (ν ) es un polinomio de grado n. f s f

25 iltros IIR- Aprox. Butterworth El objetivo del diseño de un filtro es encontrar L n (ν) que mejor cumple las especificaciones. Para ello se utilizan algunas aproximaciones (Butterworth, Chebyshev, etc). Etapas del diseño. ormalizar la frecuencia de acuerdo a las especificaciones.. Determinar el orden del prototipo de filtro pasobajo. 3. Determinar la función de Transferencia normalizada. 4. Desnormalizar a través de las transformaciónes de frecuencia en y 3. Aproximación de Butterworth Consiste en hacer L n (ν)εν n. Esta aproximación es tal que n Ln( ), Ln ( ), L, Ln ( ) Por tanto, H( ν ) n + ε ν. ormalizamos las frecuencias por la frecuencia límite de pasabanda f p, de forma que ν p y ν s f s /f p. iltros IIR-Aprox Aprox.. Butterworth. A partir de δ (en ν ) y δ (en ν ν s ), se calculan los valores de ε y n.. δ δ log H( ν) log log( + ε ) ε ν + ε δ log H log log ν νs + εν. δ log. δ n logν n ( ν) ( + εν s ) s n s H(f) δ Pasabanda Banda de Transición Parabanda δ f p f s f

26 iltros IIR-Aprox. Butterworth 3. iltro de Butterworth ormalizado : se normaliza con respecto a la frecuencia ν 3 ( H(ν 3 ) ½). unción de Transferencia ormalizada. Se trata de determinar H (s) a partir de H (ν) H( s) H( s) H ( ν ). ν s n + ( s ) Reemplazado ν por -s. n n n n + Los polos ( s ) se calculan ( s ) ( ) p de n exp( jπn) p exp [ j( ) π],, L, n π ( ) π p exp [ j( θ + )] donde θ,, L, n π π p σ jω cos( θ ) jsin( θ ) sin( θ ) jcos( θ ) σ sin( θ ) ω cos( θ ) ( ) p σ + ω iltros IIR-Aprox. Butterworth Estos resultados muestran que: Los polos normalizados están sobre un círculo de radio en el plano s. Los polos están equiespaciados π/n radianes con θ (-)π/n, donde θ se mide con respecto al eje positivo del eje jω. Los polos nunca estarán sobre el eje jω (- nunca puede ser par). Si n es impar, siempre hay un par de polos reales en s±. Polos de Butterworth : n4 Polos de Butterworth : n5 jω jω.5.5 σ σ

27 iltros IIR-Método I-Aprox. I Butterworth 4. Desnormalización : Si H(ν) H (ν/ν 3 ), entonces H(s)H (s/ν 3 ). Si desnormalizamos H(s) a H A (s)h(s/ω p ), H A (s) cumple las especificaciones dadas. Estos es equivalente a desnormalizar directamente H (s) a H A (s)h (s/ω p ν 3 ). iltro Pasoalto de Butterworth Se hace la transformación ν /ν, lo que da lugar a H HP (ν) H LP (/ν). También equivale a hacer - H LP (ν) n ν HLP( ν) ( H ) + n + n n LP ν ν ν + ( ν) iltros IIR Una vez diseñado el filtros analógicos se transforma las funciones de Transferencia de los filtros del plano s al plano z. Hay varios métodos para transformar una función de s en otra función de z. Son de especial interés las transformaciones que hagan que la función en z sea también racional. Esto hace que las transformaciones sean sólo aproximaciones. Otros métodos de diseño de filtros IIR : Igualar las respuestas temporales como un impuso, un escalón, una rampa, etc. (Transformación Invariante a la Respuesta). Igualar términos en una H(s) factorizada (Transformada Z Pareada). Conversión de ecuaciones diferenciales a ecuaciones diferencia utilizando operadores diferencia. Integración numérica de ecuaciones diferenciales usando algoritmos de integración. Aproximaciones racionales a z exp(st s ) o s (/t s )ln(z).

28 Referencias transparencias de Andoni Irizar Apuntes en WEB : Digital Signal Processing and Spectral Analysis by Abdhelha Zoubir Introduction to Digital ilters Julius O. Smith III UDAMETALS O SIGALS AD SYSTEMSUSIG THE WEB AD MATLAB SECOD EDITIO, EDWARD W. KAME AD BOIE S. HECK By Prentice-Hall, Inc.