Dar una breve semblanza sobre los Filtros Digitales, sus fundamentos y su principales características.

Transcripción

1 Filtros Digitales

2 Objetivo Dar una breve semblanza sobre los Filtros Digitales, sus fundamentos y su principales características. Revisar la convolución como fundamentos de los filtros digitales junto con algunas de las técnicas más simples de filtrado digital. Al final de la unidad el alumno deberá poder analizar cualquier filtro digitale básico y en su caso poder implementarlo en alguna plataforma digital. 2

3 Introducción Definición Un filtro digital es un operador el cual, mediante matemáticas, logra atenuar o mejorar ciertos aspectos de la señal en estudio. A diferencia de los filtros analógicos, que operan sobre señales analógicas de tiempo continuo, los filtros digitales trabajan sobre señales muestreadas, discretas en el tiempo.

4 Introducción Definición Un sistema de filtrado digital consta por lo general de un convertidor análogo-digital, seguido por un procesador digital y componentes periféricos tales como memorias para almacenar datos y los coeficientes de filtro, y finalmente un convertidor digital a analógico para completar la etapa de salida. Analog signal Anti-aliasing filter Sample-andhold circuit ADC DSP DAC Reconstruction filter Enhanced analog signal

5 Introducción Señales LTI Linear Time Invariant System «LTI» x[ n ] H y [n ] = H {x [n]} y[ n ]

6 Introducción Sistema LTI Linealidad H {α x1 [ n ]+ β x 2 [ n ]} = α H {x1 [ n] }+ β H {x 2 [ n ]}

7 Introducción Sistema LTI Invariante en el tiempo y[ n ] = H {x[ n ]} y [ n n 0 ] = H {x [ n n 0 ]}

8 Introducción Sistema LTI x[ n ] Adición H Multiplicación por escalar Causalidad y[ n ] Retrasos

9 Introducción Sistema LTI Causalidad y [ n] = H {x [n], x[ n 1],..., y [ n 1], y [ n 2 ],...} con H {.} como función lineal de sus argumentos

10 Introducción Filtros LTI Respuesta al impulso h[ n] = H {δ[ n]} La respuesta al impulso caracteriza de manera completa al sistema LTI

11 Introducción Filtros LTI Respuesta a una entrada

12 Introducción Filtros LTI Respuesta a una entrada Entrada : x [ n ] = 2 δ [n]+3δ [ n 1 ]+ δ [n 2] Respuesta al Impulso : h[ n ] = H {δ [ n]} Respuesta aprovechando Linealidad e In-varianza en el Tiempo : y [ n] = H {x [n]}

13 Introducción Filtros LTI Respuesta a una entrada y[ n ] = H {2 δ [ n ]+ 3 δ [ n 1 ]+ δ [ n 2 ]} y[ n ] = 2 H {δ [ n ]}+ 3H {δ [ n 1 ]}+ H {δ [ n 2 ] } y[ n ] = 2 h [ n ]+ 3h [ n 1]+ h [ n 2 ]

18 Introducción Filtros LTI Respuesta a una entrada : Convolución x[ n ] = x [ k] δ [ n k ] k = Por Linealidad e In-varianza en el tiempo y[ n ] = x [ k] h [ n k] k= = x[ n] h [ n ]

19 Introducción Filtros LTI Respuesta a una entrada : Convolución x[ n ] h [ n] = x [ k ] h [ n k ] k= Componentes Pasos 1er Secuencia x[m] Inversión en el tiempo de h[m] 2da Secuencia h[m] En cada paso n Centrar h[m] en n Calcular el producto interno

20 Introducción Filtros LTI Respuesta a una entrada : Convolución

32 Introducción Filtros LTI Propiedades de la Convolución Lineal e In-variante en el tiempo Conmutativa ( x h)[ n ] = (h x)[ n] H G G H

33 Introducción Filtros LTI Propiedades de la Convolución Lineal e In-variante en el tiempo Conmutativa Asociativa (secuencias acotadas) (( x h) w)[ n ] = ( x (h w))[ n ] x[n] h[n] w[n] y[n] x[n] Filtros en cascada (h*w)[n] y[n]

34 Filtro Lineales basados en la DFT Uso de la DFT en el filtrado Lineal Descripción La DFT proporciona una representación discreta en frecuencia de una secuencia de duración finita en el dominio de la frecuencia. Si contamos con un sistema tipo FIR cuya respuesta al impulso está representado por H(w) entonces: Y [ ω ] = X [ ω ] H [ ω ]

35 Filtro Lineales basados en la DFT Uso de la DFT en el filtrado Lineal Descripción De la convolución: y [ n] = x [ k ]h [ n k ] k= con x[n] = 0, n<0 y n L y h[n] = 0, n<0 y n M Ya que h[n] y x[n] son señales en el tiempo de duración finita, su convolución también resultará de duración finita. De hecho la duración de y[n] es L + M - 1

36 Filtro Lineales basados en la DFT Uso de la DFT en el filtrado Lineal Descripción Por lo tanto para poder emplear la DFT y obtener la salida y[n] es necesario que ambas señales h[n] y x[n] tengan esa misma longitud: L + M - 1 En ese caso la transformación DFT deberá realizarse con una N = L + M - 1

37 Filtro Lineales basados en la DFT Uso de la DFT en el filtrado Lineal Ejemplo: Sea la respuesta al impulso de un filtro FIR : h[n] = { 1, 2, 3 } y la señal de entrada x[n] = { 1, 2, 2, 1 }. Por lo tanto ambas señales deberán añadir ceros para obtener una longitud > L + M - 1 e.g. N = 8, por lo tanto las señales quedarán: h[n] = {1,2,3,0,0,0,0,0} y x[n] = {1,2,2,1,0,0,0,0 }

38 Filtro Lineales basados en la DFT Uso de la DFT en el filtrado Lineal Ejemplo: h[n] x[n]

39 Filtro Lineales basados en la DFT Uso de la DFT en el filtrado Lineal Ejemplo: y[n] x[n] & y[n]

40 Filtro Lineales basados en la DFT Filtrado de secuencias Largas Descripción En aplicaciones prácticas que implican el filtrado lineal de señales a menudo la entrada x(n) corresponde a una trama larga de datos. Dado que el filtrado discreto con DFT's implica operaciones en bloques acotados (memoria), la señal de entrada deberá segmentarse en bloques más pequeños a fin de ser procesada.

41 Filtro Lineales basados en la DFT Filtrado de secuencias Largas Descripción Existen 2 métodos para llevar a cabo el filtrado lineal con un FIR de tamaño M. Método de solapamiento y almacenamiento Método de solapamiento y adición En ambos casos necesitaremos nuevamente de una DFT y su correspondiente IDFT para generar cada uno de los bloques de salida.

42 Filtro Lineales basados en la DFT Método de solapamiento y almacenamiento El tamaño del bloque con la secuencia de entrada será de: N = L + M 1 datos, por lo que las DFT e IDFT tendrán longitud N. Cada bloque se conformará al tomar los últimos M - 1 datos del bloque anterior y adjuntarles L nuevos datos de la secuencia original. Para esto requerimos que L >> M.

43 Filtro Lineales basados en la DFT Método de solapamiento y almacenamiento Señal de entrada L L L L L x1(n) M-1 ceros x2(n) M-1 x3(n) M-1 x4(n) M-1

44 Filtro Lineales basados en la DFT Método de solapamiento y almacenamiento Una vez formada la secuencia de L + M 1 elementos se aplicará la transformada DFT con longitud N. El resultado se multiplicará con la DFT de la función de transferencia del filtro h(n) (de también longitud N) dando como resultado: Y^ m (k ) = H ( k ) X m (k ), k =0,1,..., N 1

45 Filtro Lineales basados en la DFT Método de solapamiento y almacenamiento Luego de la IDFT de N puntos la salida obtenida por cada tramo será igual a : Y^ m (n) = ^y m (0), y^ m (1),..., ^y m (M 1), ^y m ( M ),..., ^y m (N 1) Dado que el registro de datos es de longitud N, los primeros M - 1 puntos de ym(n) se verán distorsionados por el aliasing y deberán ser descartados de la secuencia final de salida.

46 Filtro Lineales basados en la DFT Método de solapamiento y almacenamiento Por lo anterior, los últimos puntos de ym(n) son exactamente los mismos que el resultado de la convolución lineal, y por lo tanto ^y m (n) = y m (n), n=m, M + 1,..., N 1

47 Filtro Lineales basados en la DFT Método de solapamiento y almacenamiento Durante operaciones consecutivas y para evitar perder datos a causa del aliasing, los últimos M - 1 datos de cada bloque se almacenarán. Dichos datos pasarán a ser las primeras M - 1 muestras del siguiente bloque. Al no existir muestras previas durante el procesamiento del primer bloque, los primeros M - 1 puntos se les asignará como valor cero.

48 Filtro Lineales basados en la DFT Método de solapamiento y almacenamiento Los bloques de la secuencias de datos quedarán entonces como: x 1 ( n ) = {0,0,, 0, x( 0 ), x( 1),, x ( L 1)} M-1 muestras x 2 (n ) = {x ( L M 1 ),, x ( L 1), x ( L), x ( 2 L 1)} M-1 muestras de x1(n) L nuevas muestras x 3 (n ) = {x ( 2 L M 1),, x ( 2 L 1), x( 2 L), x ( 3 L 1)} M-1 muestras de x2(n) L nuevas muestras

49 Filtro Lineales basados en la DFT Método de solapamiento y almacenamiento Ya con los bloques de x(n) formados podemos hacer la transformación correspondiente y multiplicarlos contra la respuesta del filtro en la frecuencia. El resultado de la multiplicación será entonces transformado inversamente y añadido a la trama de salida eliminando de cada bloque los primeros M - 1 datos.

50 Filtro Lineales basados en la DFT Método de solapamiento y almacenamiento L M-1 ceros L L x1(n) M-1 L x2(n) M-1 Señal de Salida y1(n) Descartar N datos x3(n) M-1 y2(n) Descartar y3(n) Descartar x4(n) DFT IDFT y4(n) Descartar X(k)H(k)

51 Filtro Lineales basados en la DFT Método de solapamiento y adición En este método nuevamente el tamaño de cada bloque será de L datos y el tamaño de las transformaciones DFT e IDFT tendrán longitud N = L + M 1. Para completar cada bloque se añadirán M 1 muestras cuyo valor será igual a cero. Nuevamente requerimos que L >> M.

52 Filtro Lineales basados en la DFT Método de solapamiento y adición L L L L Señal de entrada x1(n) M-1 ceros x2(n) L M-1 ceros x3(n) M-1 ceros x4(n) M-1 ceros

53 Filtro Lineales basados en la DFT Método de solapamiento y adición Los bloques de la secuencias de datos para este método quedan como: x 1 ( n ) = {x( 0 ), x( 1 ),, x ( L 1), 0,0,, 0 } M-1 ceros x 2 (n ) = {x ( L), x ( L+ 1),, x( 2 L 1 ), 0,0,, 0 } M-1 ceros x 3 (n ) = {x ( 2 L), x ( 2 L+ 1),, x( 3 L 1 ), 0,0,, 0 } M-1 ceros

54 Filtro Lineales basados en la DFT Método de solapamiento y adición Las dos DFT's ahora de longitud N se podrá calcular la interacción de ambos espectros en frecuencia: Y m (k ) = H (k ) X m (k ), k =0,1,..., N 1 Con la IDFT de N elementos podremos entonces obtener bloques libres de aliasing gracias al zero-padding de M 1 elementos incluidos en cada segmento de x(n) y h(n).

55 Filtro Lineales basados en la DFT Método de solapamiento y adición Sin embargo, dado que cada bloque termina con M 1 ceros, los últimos M 1 datos de cada bloque deberán solaparse con los datos del bloque siguiente. Este proceso de solapamiento y adición produce la salida: y ( n) = y 1 (0 ), y 1 (1),, y 1 ( L 1 ), y 1 (L)+ y 2 ( 0), y 1 (L +1)+ y 2 (1),, y 1 ( N 1)+ y 2 ( M 1), y 2 ( M ),

56 Filtro Lineales basados en la DFT Método de solapamiento y adición L x1(n) L M-1 ceros x2(n) L M-1 ceros x3(n) IDFT M-1 ceros DFT y2(n) Suma de M-1 ptos. Señal de Salida M-1 ceros x4(n) y1(n) Suma de M-1 ptos. L y3(n) Suma de M-1 ptos. y4(n) X(k)H(k)

57 Filtros Digitales Tipos de Filtrado Moving Average Filter Promediador de ventana Leaky Integrator Filtro con olvido exponencial

58 Filtros Digitales Tipos de Filtrado Filtrado de señales ruidosas

59 Filtros Digitales Filtro promediador 1 y [n ] = ( x [n]+ x[ n 1]) 2 De manera más general: 1 y [n ] = M M 1 k =0 x [n k ]

60 Filtros Digitales Filtro promediador

63 Filtros Digitales Filtro promediador Retardo

64 Filtros Digitales Filtro promediador Respuesta al impulso del filtro promediador 1 h[ n] = M h[ n] = 1/ M 0 M 1 δ [n k ] k=0 para 0 n< M para cualquier otro caso

65 Filtros Digitales Filtro promediador Respuesta al impulso

66 Filtros Digitales Filtro promediador Respuesta al impulso La magnitud del suavizado es proporcional al tamaño M de la ventana de filtrado. El número de operaciones y el almacenamiento también son proporcionales al tamaño del filtro M.

67 Filtros Digitales Filtro promediador Objetivo Proponer un algoritmo de filtrado el cual permita obtener el mismo resultado que el filtro promediador PERO con una menor cantidad de recursos. Memoria Operaciones, etc.

68 Filtros Digitales Filtro promediador Ecuación recursiva 1 y M [ n] = ( x [ n] +x [ n 1] +x [ n 2 ]+... +x [ n M +1 ]) M Promedio móvil de M muestras 1 1 y M [ n] = x [ n] + ( x [ n 1] +x [ n 2 ]+... +x [ n M +1] ) M M y M 1 [ n 1] Promedio de M-1 muestras del tiempo anterior n-1

69 Filtros Digitales Filtro promediador Ecuación recursiva 1 ym[n] = M M 1 1 y M [ n 1] = M M 1 1 y M [ n 1] = M M 1 Promedio móvil I) x[ n k] k= 0 x [(n 1) k ] k=0 k=0 x [ n ( k +1 )]

70 Filtros Digitales Filtro promediador Ecuación recursiva I) 1 y M [ n 1] = M M 1 1 y M [ n 1] = M M x [ n ( k +1 )] k=0 x [ n k ] k=1

71 Filtros Digitales Filtro promediador Ecuación recursiva Promedio móvil II ) 1 ym[n] = M M 1 x[ n k] k= 0 1 y M 1 [ n ] = M 1 M 2 k =0 x [ n k ]

72 Filtros Digitales Filtro promediador Ecuación recursiva 1 y M 1 [ n ] = M 1 M 2 1 y M 1 [ n 1] = M 1 M 2 1 y M 1 [ n 1] = M 1 M 1 II ) x [ n k ] k =0 x[ (n 1) k] k= 0 k= 1 x [ n k ]

73 Filtros Digitales Filtro promediador Ecuación recursiva 1 ym[n] = M I y II ) 1 y M [ n 1] = M M 1 x[ n k] k= 0 M x [ n k ] k=1 1 y M 1 [ n 1] = M 1 M 1 k= 1 x [ n k ]

74 Filtros Digitales Filtro promediador Ecuación recursiva y M [ n ] = x [ n] + y M 1 [ n 1] 1 ym[n] = M 1 M M 1 k= 0 M 1 k= 0 x[ n k] 1 y M 1 [ n 1] = M 1 1 x[ n k] = x [ n ]+ M 1 M 1 x [ n k ] k= 1 M 1 x [ n k] k=1

75 Filtros Digitales Filtro promediador Ecuación recursiva 1 M M 1 k=0 1 x[ n k] = x [ n ]+ M 1 M 1 x [ n k] k=1 (M ) y M [n ] = x [ n]+( M 1) y M 1 [ n 1] ( M 1) 1 y M [ n] = x [ n]+ y M 1 [ n 1] M M

76 Filtros Digitales Filtro promediador Ecuación recursiva ( M 1) 1 y M [ n] = x [ n]+ y M 1 [ n 1] M M M 1 λ= M y M [ n] = λ y M 1 [n 1]+(1 λ ) x [n ]

77 Filtros Digitales Resultado del Filtro Promediador Ecuación recursiva Cuando M es grande: y M 1 [ n 1] y M [n ] y λ 1 Probar: y [ n] = λ y [n 1]+(1 λ ) x [n ] El filtro es recursivo ya que ahora utiliza el resultado de la salida anterior

78 Filtros Digitales Resultado del Filtro Promediador

81 Filtros Digitales Resultado del Filtro Promediador y [ n] = λ y [ n 1] +( 1 λ ) x [ n ]

82 Introducción Filtro de olvido exponencial Respuesta al impulso y [ n] = λ y [n 1]+(1 λ ) δ [n] y [ n] = 0 para todo n<0 y [ 0 ] = λ y [ 1 ]+(1 λ ) δ [ 0] = (1 λ ) y [ 1 ] = λ y [ 0 ]+(1 λ ) δ [1 ] = λ (1 λ ) 2 y [ 2] = λ y [1 ]+(1 λ ) δ [ 2] = λ (1 λ ) 3 y [ 3] = λ y [ 2]+(1 λ ) δ [ 3] = λ (1 λ )...

83 Introducción Filtro de olvido exponencial Respuesta al impulso n h[ n ] = (1 λ ) λ u [n ]

84 Introducción Filtro de olvido exponencial Integrador discreto : Acumulador ( ) n y [ n] = x[k] k = Se puede rescribir como: y [ n] = y [n 1 ]+ x [n ]

85 Introducción Filtro de olvido exponencial Integrador discreto y [ n] = y [n 1 ]+ x [n ] Muy parecido a nuestro filtro ponderado y [ n] = λ y [n 1]+(1 λ ) x [n ] λ<1 100% Se conserva sólo parte del acumulado (olvido) Se añade una fracción del valor actual (ponderación)

86 Estabilidad Clasificación según respuesta al impulso Finite Impulse Response (FIR) Infinite Impulse Response (IIR) Causal No causal

87 Estabilidad Filtro de respuesta finita (FIR) La respuesta al impulso genera una respuesta Finita Sólo un número finito de muestras está involucradas en el cálculo de cada muestra o valor de salida

88 Estabilidad Filtro de respuesta finita (FIR) Filtro promediador

89 Estabilidad Filtro de respuesta infinita (IIR) La respuesta al impulso genera una respuesta Infinita Un número potencialmente infinito de muestras está involucradas en el cálculo de cada muestra o valor de salida En muchos casos el cálculo puede realizarse con un número finito de cálculos / pasos

90 Estabilidad Filtro de respuesta infinita (IIR) Filtro olvido exponencial n h[ n ] = (1 λ ) λ u [n ]

91 Estabilidad Filtro Causal vs No Causal Causal La respuesta al impulso es cero para n<0 Después del cero sólo las muestras anteriores (respecto a la muestra actual) son involucradas en el cálculo de cada muestra. Los filtros causales pueden trabajar en línea (sólo requieren datos anteriores)

92 Estabilidad Filtro Causal vs No Causal No Causal La respuesta al impulso es distinta a cero para algunos (todos) n < 0 Puede ser implementado en modo fuera de línea (cuando toda la información está guardada en memoria, e.g. Procesamiento de imágenes)

93 Estabilidad Ejemplo Causal

94 Estabilidad Ejemplo No Causal

95 Estabilidad Descripción El concepto clave es el evitar «explosiones» o derivaciones extremas si la entrada es suave Una señal suave está acotada para toda x[n] < M para toda n Bounded-Input Bounded-Output (BIBO) es un concepto de estabilidad donde el resultado es estable si la entrada lo es.

96 Estabilidad Descripción Un filtro es considerado como BoundedInput Bounded-Output (BIBO) si su respuesta al impulso es absolutamente sumable Los filtros FIR siempre son estables Hay que estudiar a los filtros IIR para saber si son estables

97 Respuesta en frecuencia Como responde un sistema LTI? x[ n ] e jω0 n H y[ n ]

98 Respuesta en frecuencia Como responde un sistema LTI? y[ n ] = e j ω0 n h [ n ] y[ n ] = h [ n ] e j ω0n y[ n ] = k= y[ n ] = e j ω0 n h[k ]e j ω 0 (n k ) h[k ]e k = y[ n ] = H (e j ω0 )e j ω0 n j ω0 k

99 Respuesta en frecuencia Como responde un sistema LTI? x[ n ] H H (e j ω0 )e Exponenciales complejas son eigen-señales de sistemas LTI (e.g.: Filtros lineales) y por lo tanto no pueden cambiar la fase de sinusoidales Una DTFT de la respuesta al impulso del filtro determina sus características en frecuencia. j ω0n

100 Respuesta en frecuencia Como responde un sistema LTI? H (e H {e jω0 ) = Ae jθ } = Ae j (ω 0 n+ θ) jω0n A = Amplitud : Amplificación (A>1), Atenuación (0<A<1) Θ = Corrimiento de fase : Retardo (θ<0), Adelanto (θ>0)

101 Respuesta en frecuencia Teorema de Convolución DTFT { x [ n] h[ n] } =? Intuición : La fórmula de la DTFT nos dice como construir la señal x[n] a partir de un conjunto base de funciones exponenciales complejas y relaciones lineales.

102 Respuesta en frecuencia Teorema de Convolución DTFT { x[ n ] h [ n] } = = ( x h )[ n ] e n= j ωn x[ k ] h [ n k] e n= k= = k= (n-k)+k j ω(n k ) x[ k ] h [ n k] e n= k= = jω n x[ k ] e jω k n= h [ n k ] e e j ω k j ω( n k)

103 Respuesta en frecuencia Teorema de Convolución = x[ k ] e k= jω k h [ n k ] e j ω( n k) jω ) n= DTFT { x[ n ] h [ n] } = H (e jω ) X (e H (e ) = DTFT { h [ n ] } jω

104 Respuesta en frecuencia Teorema de Convolución H (e jω ) = DTFT { h [n] } Dos efectos principales Magnitud : Amplificación o Atenuación H (e ) >1 jω H (e ) <1 Fase : Retraso y Cambio de forma jω

105 Respuesta en frecuencia Teorema de Convolución

106 Respuesta en frecuencia Teorema de Convolución 1 sin ( M ω/ 2 ) H ( e ) = M (ω/ 2) jω

107 Respuesta en frecuencia Teorema de Convolución 1 sin ( M ω / 2 ) H ( e ) = M ( ω/ 2 ) jω

108 Respuesta en frecuencia Teorema de Convolución 1 sin ( M ω / 2 ) H ( e ) = M ( ω/ 2 ) jω

117 Respuesta en frecuencia Fase y forma de la señal Considere : H ( e ) = 1 Fase cero : jω jω H (e ) = 0 jω H (e ) = d ω Fase Lineal : Fase No-lineal : Todas las otras opciones

118 Respuesta en frecuencia Fase y forma de la señal 1 x [ n] = sin( ω0 n)+cos( 2ω 0 n ) 2 2π ω0 = 40

119 Respuesta en frecuencia Fase y forma de la señal : fase lineal 1 x [ n] = sin( ω0 n+θ 0 )+cos(2 ω0 n+2 θ 0) 2 8π θ0 = 5

120 Respuesta en frecuencia Fase y forma de la señal : fase no-lineal 1 x [ n] = sin( ω0 n)+cos( 2ω 0 n +2θ 0 ) 2 8π θ 0= 5

121 Respuesta en frecuencia Fase Lineal D x[ n ] x[ n d ] y[ n ] = x [ n d ] jω Y (e ) = e jω d jω j ωd Xe jω H (e ) = e Término de fase lineal (retardo d en el tiempo)

122 Respuesta en frecuencia Fase Lineal jω jω En general, si H (e ) = A( e ) e jω d jω con A ( e ) ℝ x[ n ] jω A(e ) Retardo d y[ n ]

123 Respuesta en frecuencia Fase Lineal H (e jω j M 1 ω 2 1 sin ( M ω/ 2 ) )= e M ( ω /2 ) M 1 d= 2 0