Procesamiento Digital de Señales: Señales y Sistemas

Transcripción

1 Procesamiento Digital de Señales: Señales y Sistemas

2 Objetivo Exponer los principios y particularidades del tratamiento de señales, sus clasificaciones y su relación con su representación digital. El alumno aprenderá las características básicas de la señales y su impacto en el diseño de los sistemas digitales. Al finalizar esta unidad el alumno deberá tener una idea clara sobre la relación existente entre la representación digital de una determinada señal respecto a la señal analógica original. 2

3 Procesamiento de señales Definición El Procesamiento de Señales comprende la representación, transformación y manipulación de señales con especial énfasis en la información que contienen. El procesamiento de señales se lleva a cabo mediante distintos medios con los cuales se trata de identificar el comportamiento de un fenómeno con respecto a las variaciones de una o varias variables independientes. Siendo estas, por lo general, el tiempo o el espacio (distancias X, Y, Φ, etc. ).

4 Señales Descripción de fenómenos físicos CLIMA (Temperatura, Humedad, etc.) Sonido (Presión en un punto 3D) Grabación de Audio (Flujo Magnético) Fotografía (Intensidad de Luz/Color sobre papel)

5 Señales Monitoreo continuo vs discreto Sonido / Grabación de Audio

6 Señales Monitoreo continuo vs discreto Registro de Precipitación de lluvia

7 Señales Representación mediante una función:

8 Señales La señal analógica es aquella que presenta una variación o fluctuación continua con el tiempo, es decir, que para cualquier valor de la variable independiente existe un valor de la variable dependiente que le corresponde. Una señal digital es aquella que presenta una variación discontinua con el tiempo y que sólo puede tomar ciertos valores discretos. Las señales digitales no se producen en el mundo físico como tales, sino que son creadas por el hombre. 8

9 Señales Las señales pueden clasificarse a partir de sus características Según el dominio o comportamiento con respecto a la variable independiente: Continua en el tiempo : f(t), t [a,b] Discreta en el tiempo: f[t] {t₀,t₁,...,tn} Según el intervalo o variabilidad de la amplitud de la variable dependiente: Continua en amplitud Discreta en amplitud 9

10 Señales Dominio (variable Independiente) Se dice que una señal es: Continua: si es continua en todo t Continua a tramos: si presenta un valor finito o infinito numerable de discontinuidades siempre y cuando se produzcan saltos de amplitud finita

11 Señales Dominio (variable Independiente) Continua t >f (t) Discreta n > f [n]

12 Señales Intervalo (variable Dependiente) Sea t1 un instante de tiempo y e un número que pertenece a los reales positivo e infinitesimalmente + pequeño t =t +e 1 Y sean: t =t 1 e Si se cumple x (t + ) =x ( t ) =x ( t 1 ) Se dice que la señal es continua en t=t1 si no se dice que la señal es discontinua en t1.

13 Señales Intervalo (variable Dependiente) Se dice que una señal es de: Valor discreto si la variable dependiente solo toma valores de un conjunto numerable. Valor continuo si la variable dependiente toma valores en un conjunto en los reales

14

15 Señales Parámetros de las Señales Duración Periodicidad Amplitud Velocidad de cambio (Frecuencia) Fase

16 Modelado de Señales El modelado de una señal ( o sistema de control) se lleva a cabo mediante tres representaciones o modelos: Ecuaciones diferenciales, integrales, derivadas y otras relaciones matemáticas. Diagrama de bloques. Diagrama de flujo de análisis.

17 Modelado de Señales Herramientas Trasformada de Laplace Se aplica para la solución del modelado matemático de los Sistemas de Control de Tiempo Continuo. Esta se define para una señal X(t) de la siguiente manera: + X(s)= x(t )e dt st

18 Modelado de Señales Herramientas Trasformada Z Se aplica para la solución del modelado matemático de los Sistemas de Control de Tiempo Discreto. Esta se define para una señal X[n] de la siguiente manera: + X ( z )= n= x [ n] z n

19 Modelado de Señales Herramientas Una función de transferencia es un modelo matemático a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una señal de entrada o excitación (también modelada). Se determina por la siguiente expresión: Y ( s) H ( s) U (s)

20 Modelado de Señales Señales Finitas vs Acotadas Las señales Finitas son aquellas que están definidas por un punto de inicio y otro de fin. - Señales en el universo real Las señales acotadas son aquellas cuya relación permite definir un valor de convergencia a lo largo de los valores de la variable independiente. 1 x( t )= n = 1 n=1 2

21 Modelado de Señales E.g. : Promedio Señales Lentas y Suaves b 1 f(t)dt x = b a a x

22 Modelado de Señales E.g. : Promedio Señales Lentas y Suaves N-1 1 x = x[n] N n=0 x =

23 Modelado de Señales E.g. : Promedio Señales Rápidas y Abruptas

24 Características de las Señales Error Diferencia entre los datos adquiridos y la función real (ideal) Imprecisiones del sistema de adquisición No linealidades (e.g.: offset) Ruido Velocidad de muestreo

25 Características de las Señales Velocidad de cambio (espectro de Frecuencias) Toda señal variable en el tiempo se puede representar en el ámbito de sus valores de frecuencia (espectro). Dicho espectro brinda información sobre la velocidad de la señal y se compone por una frecuencia fundamental y un conjunto de armónicos. El proceso matemático que permite esta descomposición se denomina análisis de Fourier.

26 Características de las Señales Representación de variables Representación cartesiana permite la representación de un sistema en coordenadas rectangulares, la posición de un punto se encuentra determinada por 2 o 3 magnitudes independientes que definen su relación con los llamados planos coordenados. El cálculo vectorial proporciona una notación para representar a través de ecuaciones matemáticas modelos de las distintas situaciones físicas y de las dinámicas que los afectan en diversas situaciones.

27 Características de las Señales Teorema de Muerstreo (Nyquist & Shannon) El teorema de muestreo sirve de puente entre las señales analógicas y las digitales, al relacionar ambos tipos de señales bajo la siguiente fórmula: sin (π(t nt S )/T S ) x(t )= x [n] π(t nt S )/T S n=-

28 Características de las Señales Teorema de Muerstreo (Nyquist & Shannon) El teorema de muestreo sirve de puente entre las señales analógicas y las digitales, al relacionar ambos tipos de señales bajo la siguiente fórmula: sin (π(t nt S )/T S ) x(t )= x [n] π(t nt S )/T S n=- Señal continua en el tiempo

29 Características de las Señales Teorema de Muerstreo (Nyquist & Shannon) El teorema de muestreo sirve de puente entre las señales analógicas y las digitales, al relacionar ambos tipos de señales bajo la siguiente fórmula: sin (π(t nt S )/T S ) x(t )= x [n] π(t nt S )/T S n=- Cada muestra discreta está multiplicada por una función sinc

30 Características de las Señales Teorema de Muerstreo (Nyquist & Shannon) El teorema de muestreo sirve de puente entre las señales analógicas y las digitales, al relacionar ambos tipos de señales bajo la siguiente fórmula: sin (π(t nt S )/T S ) x(t )= x [n] π(t nt S )/T S n=- Pre-requisito: que la señal no sea muy rápida

31 Características de las Señales Representación digital Importancia Almacenamiento Procesamiento Transmisión

32 Características de las Señales Representación digital Almacenamiento Independiente del medio Independiente del contenido Compatibilidad Inmune a la Evolución tecnológica

33 Características de las Señales Representación digital Procesamiento Multiplicidad de aplicaciones Dispositivos de propósito general (CPU, MCU o DSP) Alta flexibilidad Insensible al medio ambiente Independencia de la plataforma tecnológica

34 Características de las Señales Transmisión digital Mayor flexibilidad Simplicidad y re-uso de HW Reconstrucción de señales Compresión de datos Mayor aprovechamiento del canal Posibilidad de uso de repetidores regenerativos

35 Características de las Señales Transmisión digital Degradación de la señal Rx Tx Medio

36 Características de las Señales Transmisión digital Degradación de la señal Rx Tx Medio x(t) 1/G + σ (t) x (t)

37 Características de las Señales Transmisión digital x(t) 1/G x (t) + Degradación de la señal σ (t) x(t)

38 Características de las Señales Transmisión digital x(t) 1/G x (t) + Degradación de la señal σ (t) 1 x(t) G

39 Características de las Señales Transmisión digital x(t) 1/G + x (t) Degradación de la señal σ (t) 1 x(t) +σ(t ) G

40 Características de las Señales Transmisión digital x(t) 1/G x (t) + Degradación de la señal σ (t) x (t) G

41 Características de las Señales Transmisión digital x(t) 1/G + Degradación de la señal σ (t) x (t)

42 Características de las Señales Transmisión digital Degradación de la señal 1/G1 x(t) + σ 1 (t) 1/G2 x 1 (t) + σ 2 (t) x 2 (t)

43 Características de las Señales Transmisión digital 1/G1 x(t) + Degradación de la señal σ 1 (t) 1/G2 x 1 (t) + σ 2 (t) x 2 (t) x 2 (t)

44 Características de las Señales Transmisión digital Regeneración de Pulsos

45 Tipos de Señales Señales discretas (tiempo) Secuencia unidimensionales (nivel básico) Notación: x[n] Secuencias bilaterales: x : ℤ ℂ -, x[-1], x[0], x[1],, El índice n carece de dimensiones (min, s, ms, ns,...) Análisis : Mediciones de secuencias periódicas Síntesis : Secuencia de muestras generadas numéricamente

46 Tipos de Señales Señales discretas (tiempo) Delta Dirac x[n] = δ [n]

47 Tipos de Señales Señales discretas (tiempo) Delta Dirac x[n] = δ [n]

48 Tipos de Señales Señales discretas (tiempo) Unit Step x[n] = u [n]

49 Tipos de Señales Señales discretas (tiempo) Unit Step x[n] = u [n]

50 Tipos de Señales Señales discretas (tiempo) Decremento Exponencial n x[n] = a u [n] a <1

51 Tipos de Señales Señales discretas (tiempo) Decremento Exponencial n x[n] = a u [n] a <1

52 Tipos de Señales Señales discretas (tiempo) Sinusoidal x[n] = sin (ω 0 n+θ)

53 Tipos de Señales Señales discretas (tiempo) Sinusoidal x[n] = sin (ω 0 n+θ)

54 Tipos de Señales Clases de Señales Duración-Finita Duración-Infinita Periódica Secuencia de intervalo (limitada)

55 Tipos de Señales De Duración-Finita Notación de una secuencia : x[n], n = 0, 1,, N-1 Notación vectorial : x = [x0, x1,, xn-1] Usadas en paquetes como: Matlab/Octave, Python ó Perl T x=linspace(0,4*pi,100); x = [0:0.1:2*pi]; for(i=1:15) % No es recomendable!!!! y(i)=i^2; end

56 Tipos de Señales De Duración-Infinita Notación de una secuencia : Abstracción Usadas en el análisis y desarrollo Matemático Propiedades Teoremas Transformaciones No existen en la realidad x[n], n ℤ (enteros)

57 Tipos de Señales Periódicas Secuencia periódica N: ã[n] = ã[n+kn], n, k, N ℤ La secuencia contiene la misma información que la secuencia «de duración finita» de longitud N Las señales periódicas son un puente natural entre las secuencias finitas e infinitas Elongación del período Copia y repetición de secuencias

58 Tipos de Señales Secuencia de intervalo Secuencia definida por: { x[n] if 0 n <N 1 x [n] = 0 otherwise } La secuencia contiene la misma información que la secuencia «de duración finita» de longitud N Otro puente entre las secuencias finitas e infinitas

59 Manipulación de Señales Operaciones básicas Escala y[n] = α x[n] Suma y[n] = x[n] + z[n] Producto y[n] = x[n] z[n] Corrimiento (retardo) y[n] = x[n - k]

60 Manipulación de Señales Corrimiento (retardo) [ x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 ]

61 Manipulación de Señales Corrimiento (retardo) x[n] =, x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7,...

62 Manipulación de Señales Corrimiento en Secuencia de intervalo x [n] = 0, x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, 0, 0, 0...

63 Manipulación de Señales Corrimiento en Secuencia de intervalo x [n-1] = 0, 0, x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, 0, 0...

64 Manipulación de Señales Corrimiento en Secuencia de intervalo x [n-2] = 0, 0, 0, x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, 0...

65 Manipulación de Señales Corrimiento en Secuencia de intervalo x [n-3] = 0, 0, 0, 0, x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7...

66 Manipulación de Señales Corrimiento en Secuencia Periódica x~ [n] = x6, x7, x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x0, x1...

67 Manipulación de Señales Corrimiento en Secuencia Periódica x~ [n-1] = x5, x6, x7, x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x0...

71 Manipulación de Señales Energy & Power Diferencia entre las definiciones de energía y potencia Energía : E x = x[n] 2 n=- Potencia : Px =lim N 1 2N 1 N x[n] 2 n=-n Potencia = Energía instantánea = Etotal / Período

72 Manipulación de Señales Energy & Power Para señales Periódicas : Energía : Potencia : E x = 1 Px N N 1 x [n] 2 n=0 Potencia = Energía instantánea = Etotal / Período

73 Manipulación de Señales Representación de frecuencia Representación de exponenciales complejas Periodicidad Efecto de la periodicidad con respecto a la velocidad Frecuencias del ámbito digital respecto al mundo real

74 Manipulación de Señales Elementos que componen las oscilaciones Frecuencia de oscilación ω (radianes / s) Fase inicial Φ (radianes) Amplitud de las oscilación (unidades varias) Representación trigonométrica x [n] = Acos( ω n+ φ )

75 Manipulación de Señales Representación trigonométrica en DSP's Dentro del procesamiento digital de señales se emplean de manera extensiva las exponenciales complejas: x [n] = Ae Euler j( ω n+ φ ) x [n] = A [cos( ω n+ φ ) + j sen( ω n+ φ )]

76 Manipulación de Señales Por que usar exponenciales complejas? Los sistemas digitales pueden representar números complejos con gran facilidad Agrupa al seno y al coseno en una sóla expresión Simplifica la matemática, convierte los problemas trigonométricos en problemas algebraicos Notación más sencilla El corrimiento de fase se convierte en una simple multiplicación de exponentes

77 Manipulación de Señales Por que usar exponenciales complejas? Ejemplo: - Cambio de fase de un coseno puro. cos( ω n+ φ ) = a cos( ω n) + b sen( ω n) donde a = cos φ y b = sen φ cos( α ± β) = cos α cos β sen α sen β

78 Manipulación de Señales Por que usar exponenciales complejas? Ejemplo: - Cambio de fase de un coseno puro. cos( ω n+ φ ) = a cos( ω n) + b sen( ω n) donde a = cos φ y b = sen φ - En términos de exponenciales complejas el coseno representa la parte real del número complejo cos( ω n+ φ ) = j ( ωn +φ ) j ( ω n) j ( φ ) { } { ℜe e = ℜe e e }

79 Manipulación de Señales Por que usar exponenciales complejas? Ejemplo: - Cambio de fase de un coseno puro. cos( ω n+ φ ) = ℜe {e j ( ωn +φ ) } = ℜe { e j ( ω n) j ( φ ) e Las funciones seno y coseno siempre están relacionadas (trigonometría) El cambio de fase se reduce a una simple multiplicación La notación compleja es más simple. }

80 Manipulación de Señales Por que usar exponenciales complejas? e jα = cos α + j sen α Im Círculo unitario 1 Re α

81 Manipulación de Señales Por que usar exponenciales complejas? e jα = cos α + j sen α Im Círculo unitario 1 Re α cos α

82 Manipulación de Señales Por que usar exponenciales complejas? e jα = cos α + j sen α Im Círculo unitario 1 sen α Re α cos α

83 Manipulación de Señales Rotación z=e j ωn Im Círculo unitario 1 z Re

84 Manipulación de Señales Rotación z=e j ωn Im Círculo unitario 1 z` α -1 z 1-1 Re

85 Manipulación de Señales Rotación j ωn z=e j ωn j α z' = e e Im Círculo unitario 1 z` α -1 z 1-1 Re

86 Manipulación de Señales Rotación j ωn z=e e j ωn j α z' = e e jα = cos α + j sen α Im Círculo unitario 1 z` α -1 z 1-1 Re

87 Manipulación de Señales Rotación Cambio de Fase x [n] = e j ωn α x [n] = e j ωn j α e

88 Manipulación de Señales e Rotación recursiva x [n] = e j ωn ; jα = cos α + j sen α jα x [n+1] = e x [n];

89 Manipulación de Señales e Rotación recursiva x [n] = e j ωn ; jα = cos α + j sen α jα x [n+1] = e x [n]; Im Círculo unitario 1 z` α -1 z 1-1 Re

90 Manipulación de Señales e Rotación recursiva x [n] = e j ωn jα ; = cos α + j sen α jα x [n+1] = e x [n]; Im Círculo unitario 1 z` α -1 z 1-1 Re

91 Manipulación de Señales e Rotación recursiva x [n] = e j ωn jα ; = cos α + j sen α jα x [n+1] = e x [n]; Im Círculo unitario 1 z` α -1 z 1-1 Re

92 Manipulación de Señales e Rotación recursiva x [n] = e j ωn ; jα = cos α + j sen α jα x [n+1] = e x [n]; Im Círculo unitario 1 α -1 z 1-1 Re z`

93 Manipulación de Señales Rotación recursiva x [n] = e j ωn M e periodic α = 2π N jα ; jα x [n+1] = e x [n]; Im Círculo unitario donde M, N ℕ 1 α -1 z 1-1 Re z`

94 Manipulación de Señales Rotación 0<α<π Señal de 200Hz muestreada a 2000Hz

95 Manipulación de Señales Rotación x [n] = e j ωn jα ; x [n+1] = e x [n]; 0<α<π Im Círculo unitario 1 α -1 z 1 z` -1 Re

96 Manipulación de Señales Rotación x [n] = e j ωn jα ; x [n+1] = e x [n]; 0<α<π Im Círculo unitario 1 α1 z -1 1 z` -1 Re 2 α1 = π 3

97 Manipulación de Señales Rotación x [n] = e j ωn jα ; x [n+1] = e x [n]; 0<α<π Im Círculo unitario z` 1 α1 z Re α1 = π

98 Manipulación de Señales Rotación α=π

99 Manipulación de Señales Rotación x [n] = e j ωn jα ; x [n+1] = e x [n]; 0<α<π Im Círculo unitario α1 1 z Re -1 1 z` -1 α1 = π

100 Manipulación de Señales Rotación α=π Señal de 1000Hz muestreada a 2000Hz

101 Manipulación de Señales Rotación x [n] = e j ωn jα ; x [n+1] = e x [n]; π < α < 2π Im Círculo unitario 1 α z -1 1 z` -1 Re

102 Manipulación de Señales Rotación π < α < 2π Señal de 2200Hz muestreada a 2000Hz

103 Manipulación de Señales Rotación en sentido inverso (CW) π < α < 2π Im Círculo unitario 1 α z -1-2π+α1 z` -1 1 Re

104 Manipulación de Señales Rotación en sentido inverso (CW) Im Círculo unitario z` 1 α1 z π+α1-1 Re α1 = π = π

105 Manipulación de Señales Rotación en sentido inverso (CW) 0<α<π Im Círculo unitario 1 z` -2π+α α -1 z 1-1 Re

106 Manipulación de Señales Rotación x [n] = e j ωn jα ; x [n+1] = e Im Círculo unitario 1 z` z α -1 Re x [n];

107 Elementos constructores en DSP's

108 Elementos constructores Filtro Digital x[n] + a b z-1 + e c z-3 y[n] + d z-2

109 Elementos constructores x[n] Sumador z[n] y[n] + x[n] z[n] y[n]

110 Elementos constructores Multiplicador x[n] α y[n] y[n] = ½ (x[n]) x[n] α=1/2

111 Elementos constructores Corrimiento x[n] x[n] z-1 x[n-1] x[n-1]

112 Elementos constructores Corrimiento x[n] z-n x[n] x[n-n] x[n-n] N=3

113 Elementos constructores Ejemplo: Promedio de 2 elementos a+b m= 2

114 Elementos constructores Ejemplo: Promedio de 2 elementos a+b m= 2 x[n] + x [n 1] y [n] = 2 moving average = promedio local

115 Elementos constructores Ejemplo: Promedio de 2 elementos x[n] + x [n 1] y [n] = 2

116 Elementos constructores Ejemplo: Promedio de 2 elementos x[n] + x [n 1] y [n] = 2 x[n] 1 z-1 + 1/2 y[n]

117 Elementos constructores x [n] + x[n 1] y[n] = 2 Ejemplo: Promedio de 2 elementos x[n] y[n]

118 Elementos constructores x [n] + x[n 1] y[n] = 2 Ejemplo: Promedio de 2 elementos x[n]=δ[n] y[n]

119 Elementos constructores x [n] + x[n 1] y[n] = 2 Ejemplo: Promedio de 2 elementos x[n]=δ[n] y[n]

120 Elementos constructores x [n] + x[n 1] y[n] = 2 Ejemplo: Promedio de 2 elementos x[n]=u[n] y[n]

121 Elementos constructores x [n] + x[n 1] y[n] = 2 Ejemplo: Promedio de 2 elementos x[n]=u[n] y[n]

122 Tareas para Matlab : Im Círculo unitario Tarea 1 1 α -1 z 1 z` -1 Tarea 2 x [n] + x[n 1] y[n] = 2 Re