Práctica# 1 Teorema del muestreo Ph.D. César Martín Moreno II Término

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Práctica# 1 Teorema del muestreo Ph.D. César Martín Moreno II Término"

Víctor Manuel Poblete Gallego
hace 6 años
Vistas:

1 Práctica# 1 Teorema del muestreo Ph.D. César Martín Moreno II Término Objetivo Demostrar la validez del teorema del muestreo sobre un sistema que incluye un bloque muestreador y un retenedor de orden cero (ZOH) usando una simulación en MATLAB/SIMULINK. 2. Introducción Todo lo que nos rodea en el mundo es análogo ya que dependemos de una variable muy importante que es el tiempo, pero para realizar análisis y cálculos de ciertos modelos se necesita la toma de muestras. Las computadoras trabajan de manera digital pero la potencia y velocidad de muestro hace que el sistema discreto se asemeje a un sistema continuo, por lo que para nosotros todo esto pasa desapercibido. Al procesar los datos obtenidos por el muestreador, lo ideal es que las señales sean continuas en el tiempo por lo que se hace uso de un retenedor de orden cero, que como su nombre lo indica retiene o mantiene el valor de la señal por un período de tiempo de manera que siempre se tenga una señal a la salida del subsistema. Esto se ilustra en la figura 1. Señal analógica Muestreador Retener de orden cero (ZOH) x(t) T x s (t) y(t) Figura 1: Diagrama de una señal muestreada con un retenedor ZOH El teorema de muestreo indica que se debe cumplir una relación entre la frecuencia de muestreo y la frecuencia propia de la señal original para que sea posible la reconstrucción de la señal original a partir de la señal muestreada. El teorema de muestreo satisface con la condición: ω s > 2ω 1 Donde ω s = 2π/T s, y ω 1 es la máxima frecuencia presente en la señal original x(t). Debido a que cuando se muestrea una señal, en el dominio de la frecuencia, ocurren repeticiones desfasadas ω s de la señal original. 1

2 El retenedor de orden zero (ZOH) ayuda a que la información obtenida del muestreo se mantenga hasta recibir el siguiente dato; además el retenedor de orden cero actúa como un filtro pasa bajo aunque la respuesta en frecuencia no es la ideal. Figura 2: Respuesta en frecuencia de la función ZOH En el caso de que no se cumpla el teorema de muestreo ocurre el efecto de aliasing. Aliasing es el efecto que causa la superposición de señales en la frecuencia, lo que convierte a la señales en el tiempo indistinguibles. Por esta razón, la señal reconstruida será muy diferente a la original. 3. Especificaciones La señal de entrada es x(t) = A 1 Sen(ω 1 t) Esta señal tiene excitación únicamente en la frecuencia ω 1 El periodo de muestreo T s debe ser variable y manipulado por el usuario. El muestreador se debe representar por un tren de impulsos unitario con periodo T s. Generar tres escenarios de simulación mediante la selección de valores apropiados para el periodo de muestreo T s : 1. Muestreo suficiente: El teorema del muestreo se satisface con amplitud (ej. ω s = 10(2ω 1 )). 2. Muestreo ajustado: El teorema del muestreo se satisface con muy poca diferencia (ej ω s 2ω 1 ). 3. Muestreo insuficiente: El teorema del muestreo no se satisface. 2

4. Procedimiento 1. Armar en Simulink el esquema que se muestra en la figura 3. Figura 3: Esquema en Simulink 2. Configurar Simulink para que trabaje con tiempos de muestreo ( procesamiento) pequeños.

3 4. Procedimiento 1. Armar en Simulink el esquema que se muestra en la figura 3. Figura 3: Esquema en Simulink 2. Configurar Simulink para que trabaje con tiempos de muestreo ( procesamiento) pequeños. Haga click en la opción Simulación, luego en Configuración de parámetros y luego en la opción Solver, o ingrese a este menú haciendo click en el botón. Figura 4: Ventana Solver Se coloca que el tiempo máximo al cual Matlab pueda simular sea de 0.01seg. No se coloca un tiempo fijo de muestreo debido a que el tiempo de muestreo del muestrador debe ser múltiplo de el tiempo de muestreo de Matlab y si no se cumple esta condición, pueden ocurrir errores de compilación. 3. Configurar los parámetros de la sinusoidal tal como se muestra en la figura 5, haciendo doble clik sobre el bloque. 3

Figura 5: Parámetros del Bloque Sinusoidal 4. Configurar los parámetros del Generador de Pulsos. Figura 6: Parámetros del Bloque Generador de Pulsos 5.

unificado el proceso. Observación: Si coloca valores distintos en los sincronizadores o los elimina, existe el riesgo de que no corra la simulación. 6.

4 Figura 5: Parámetros del Bloque Sinusoidal 4. Configurar los parámetros del Generador de Pulsos. Figura 6: Parámetros del Bloque Generador de Pulsos 5. Colocar rts como parámetro a todos los sincronizadores de la simulación para sincronizar la simulación con el tiempo de muestreo de Matlab y tener unificado el proceso. Observación: Si coloca valores distintos en los sincronizadores o los elimina, existe el riesgo de que no corra la simulación. 6. Colocar Ts como parámetro del ZOH. 7. En los bloques To Workspace tener en cuenta que se deben guardar las variables como Array, ya que por default están como estructura. 4

5 Figura 7: Parámetros del Bloque To Workspace 8. Crear un archivo.m en Matlab, donde se crearán las variables a utilizar en el sistema: ω 1 = 1 : frecuencia de la señal sinusoidal Tsim = 2seg : tiempo de simulación real de Matlab Ts: tiempo de muestreo (muestreador) Ts=1 muestreo suficiente Ts=0.5 muestreo alto Ts=4 muestreo insuficiente Ts=3 frecuencia múltiplo (Aliasing) rts = 0.01 : tiempo de muestro real de Matlab ω s = 2 π T s dω 1 = 2 ω 1 :Aplicando el teorema de muestreo fn = π T s : Frecuencia de Nyquist. tend = 200 Para mandar a correr el simulink desde el archivo.m se utiliza la siguiente línea de código. >> sim( Nombredelarchivosimulink, T sim) 9. Procedemos a graficar las señales que se obtuvieron, con el comando plot y con todas las especificaciones posibles. 5

6 Figura 8: Código graficar las señales 10. Se procede a hacer el análisis en el dominio de la frecuencia obteniendo el intervalo de frecuencias real. N=length(xt) k=1:n w=2*pi*(k-1)/(rts*n); w=w ; 11. Obtener la transformada de fourier con el comando fft (fast fourier transform) de cada una de las señales: continua, muestreada y retenida Figura 9: Código para obtener la transformada de Fourier 12. Graficar los datos obtenidos en el dominio de la frecuencia. 6

7 Figura 10: Código para graficar las transformadas de Fourier 5. Resultados Para cada uno de los escenarios de simulación se debe mostrar los siguiente: Gráficos en el dominio del tiempo para las señales x(t), δ T (t), x (t) y y(t). Todos los gráficos deben tener la misma escala en el eje del tiempo y deben mostrar al menos 10 periodos de la señal x(t). Gráficos de magnitud en el dominio de la frecuencia para X(ω), X (ω), y Y (ω). Todos los gráficos deben tener la misma escala de frecuencias (eje ω) con un valor máximo igual a 5 veces la máxima frecuencia presente en x(t). 6. Conclusiones y Recomendaciones 7

Documentos relacionados

SIMULACIÓN DE LA MODULACIÓN POR AMPLITUD DE PULSOS (PAM) EN MATLAB

SIMULACIÓN DE LA MODULACIÓN POR AMPLITUD DE PULSOS (PAM) EN MATLAB 1. OBJETIVOS: General: o Implementar en simulink un sistema de bloques que permita simular Modulación por Amplitud de Pulsos (PAM), a