Diferencia entre análisis y síntesis

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1 Diferencia entre análisis y síntesis ANÁLISIS Excitación conocida Respuesta? Circuito conocido xt () y()? t SÍNTESIS Y DISEÑO Excitación conocida Circuito? Respuesta deseada valores elementos? xt () yt () R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -

2 Clasificación de circuitos Lineales ó no lineales Tiempo continuo ó discreto (analógicos o digitales) Pasivos ó activos Invariantes ó Variables en el tiempo Parámetros concentrados ó distribuidos R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -2

3 Relaciones de entrada-salida Características de punto it () + vt () - Elementos pasivos Fuentes controladas Nullators y norators Admitancia: xt () vt () yt () it () Impedancia: xt () it () yt () vt () Características de transferencia xt () Elementos pasivos Fuentes controladas Nollators y norators yt () En cortocircuito: yt () it () Transadmitancia: xt () vt () Transferencia de corrientes: xt () it () En circuito abierto: yt () vt () Transimpedancia: xt () it () Transferencia de tensiones: xt () vt () R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -3

4 Cómo relacionar la entrada y la salida? Descripción de un circuito LTI de parámetros concentrados de bajo nivel: Leyes de Kirchoff Ecs. constitutivas alto nivel: Operadores analógicos Grafos de flujo En ambos casos nos enfrentamos a: ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes N i dy bi dt i i 0 La solución dependerá: M j dx aj dt j j 0 de la entrada: respuesta a estado cero de las condiciones iniciales de los elementos reactivos: respuesta a entrada nula R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -4

5 En el dominio del tiempo Una excitación arbitraria puede expresarse como suma de excitaciones simples: por la propiedad de muestreo xt () x( τ)δ( t τ) dτ La respuesta del circuito puede expresarse como suma de las respuestas a a las componentes de la excitación: por la linealidad del sistema yt () x( τ)ht ( τ) dτ Esta es la integral de convolución que se obtiene a partir de la repuesta impulsiva ht () R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -5

6 En el dominio de la frecuencia Aplicamos la transformada de Laplace a: N i dy bi dt i i 0 M j dx aj dt j j 0 Respuesta a estado cero: Ys ( ) M j 0 N i 0 a j s j b i s i y( 0 ) y' ( 0 ) ( n ) y' ( 0 ) 0 x( 0 ) x' ( 0 ) ( n ) x' ( 0 ) Xs ( ) Hs ( )Xs ( ) Transformada de Laplace de la salida Función de red, ó de sistema ó de transferencia Transformada de Laplace de la excitación Transformada de Laplace de la respuesta inpulsiva Hs ( ) Lht [ ()] R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -6

7 En el dominio de la frecuencia Respuesta a entrada cero: introducir las condiciones iniciales en la expresión de la transformada de Laplace de las derivadas ó bien: introducir fuentes equivalentes en los elementos reactivos y aplicar el principio de superposición i L () t i L ( 0 ) 0 L L i L ( 0 )u o () t descargada + v C ( 0 )u o () t v c ( 0 ) 0 C v C () t + C descargado R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -7

8 Descomposición de la respuesta Ys ( ) Hs ( )Xs ( ) En un circuito LTI de parámetros concentrados es una función racional real Si la excitación es también función racional real Ys ( ) Ns ( ) Ds ( ) Ns ( ) ( s p )( s p 2 ) ( s p n ) Ys ( ) K n K 2 K i s p i i Expansión en fracciones simples K n s p s p 2 s p n en el dominio del tiempo: yt () K e p t K 2 e p 2t K n e p nt K i e p it k -- 2 yt () 2 K i e α it cos( β i t + ) + i R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -8 θ i K i n i i k + Ys ( )( s p i ) s Residuo del polo suma de exponenciales y cosenos modulados por exponenciales n K i e α it p i

9 Componentes de la respuesta Componente natural: debida a los polos del sistema Componente forzada debida a los polos de la excitación Ys ( ) Hs ( )Xs ( ) Ns ( ) ( s p n )( s p n2 ) ( s p f )( s p f2 ) expansión: Ys ( ) K n p n K n2 p n2 polos naturales polos forzados K f s s s s Y n ( s) + Y f ( s) p f K f2 p f2 componente natural componente forzada en el dominio del tiempo: yt () K n e p nt K n2 e p n2t + + K f e p ft K f2 e p f2t y n () t + y f () t R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -9

10 Polos y ceros de H(s) Hs ( ) Ns ( ) Ds ( ) a m s m + a m s m + + a s + a b n s n + b n s n + + b s + b 0 En un circuito LTI de parámetros concentrados es una función racional real de la frecuencia s frecuencias críticas raíces de N( s) ceros de H( s) raíces de D( s) polos de H( s) ó frecuencias naturales En forma factorizada: Hs ( ) Polos y ceros en infinito: m ( s ) z i Ns ( ) i K Ds ( ) n i ( s ) p i Hs ( ) s a m s m n b n R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -0

11 Estabilidad Respuesta acotada a una excitación acotada Condiciones para la estabilidad no puede haber frec. naturales en el semiplano derecho del plano s no puede haber polos múltiples sobre el eje imaginario Criterio de Routh-Hurwitz s n a 0 a 2 a 4 a 6 s n a a 3 a 5 a 7 s n 2 B B 3 B 5 s n 3 C C 3 C 5 condición necesaria: donde: B ( a )( a a 2 a 0 a 3 ) B 3 ( a )( a a 4 a 0 a 5 ) B 5 ( a )( a a 6 a 0 a 7 ) C ( B )( B a 3 a B 3 ) todos los coef. de D(s) existen y son del mismo signo condición suficiente: no hay cambios de signo en la primera columna de la tabla R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -

12 Respuesta forzada en régimen sinusoidal estacionario Ae αt sen( ωt + θ) y n () t + y f () t polos en semiplano izquierdo Ys ( ) Hs ( )Xs ( ) Hs ( ) As ( α )senθ + Aω cos θ ( s α) 2 + ω 2 transformada de la excitación la respuesta natural se desvanece y permanece la forzada Y f ( s) con ka s α jω ka s α + jω k H( α + jω) ω cosθ + jωsenθ 2jω ( + ) H ( α + jω ) ej θ θ H j o sea: Y f ( s) π -- j θ θ H H ( α + jω ) 2 A e s α jω + j π θ + θ H e s α + jω Y en el dominio del tiempo: y f () t AH( α + jω) e αt sen( ωt + θ + θ H ) modificación de la amplitud modificación de la fase R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -2

13 Diagrama de Bode Representación de la contribución total de las frecuencias críticas como nuna suma de contribuciones i m ( jω ) z i Hjω ( ) K ( jω ) j Si consideramos una representación modulo-argumento de los factores: ( jω z i ) ó ( jω p i ) α i + j( ω β i ) M i e jθ i donde: 2 M i α i + ( ω β i ) 2 θ i arctg ω β i y α i Hjω ( ) K M z ejθ z M z2 e jθz2 M zm e jθ zm M p e jθp M p2 e jθp2 M pn e jθ M( ω)e jθω pn La fase total es una suma de contribuciones: M N θ H i θ zi i Para que la magnitud total sea una suma de contribuciones, tomamos el logaritmo: M N i p j θ pi Hjω ( ) db 20log 0 K + 20log 0 M zi i ( ) 20log 0 M pi R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -3

14 Diagrama de Bode Cuatro factores diferentes Término constante H ( s) K Polo (o cero) en el origen H 2 ( s) -- s Polo (o cero) real H 3 ( s) s + ó normalizando: H 3 ( s) Par de polos (o ceros) complejos conjugados s H 4 ( s) s s + ω Q o normalizando de nuevo: H 4 ( s) s s Q 2 R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -4

15 Término constante Hs ( ) K Hjω ( ) K Magnitud Hjω ( ) db 20log 0 K Fase θ H π -- [ sgnk ( )] 2 R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -5

16 Polo ó cero en el origen Hs ( ) -- Hjω ( ) j s ω --- Magnitud Hjω ( ) db 20log 0 ω Fase θ H π dB década 6dB octava Hs ( ) s Hjω ( ) jω Magnitud Hjω ( ) db 20log 0 ω Fase θ H π -- 2 R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -6

17 Polo real (negativo) Hs ( ) s Hjω ( ) j ω Magnitud Fase Hjω ( ) db 20log 0 θ H arctg ω ω o + ω Comportamiento asintótico: Magnitud 0 ω «M db 20log 0 ω + 20log 0 ω» Fase θ 0 ω «π 2 ω» mientras que en M db ( ) 3dB θω ( o ) π 4 R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -7

18 Polo real (negativo) Otros puntos de interés: ω 0 para el que M db 0,043dB θ 5,7 ω 0 para el que M db 20,043dB θ 84,2 s s Fig.2. Darianani Fig.2. Darianani 0, 0 0, s s R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -8

19 Polo real (negativo) Polo real positivo Hs ( ) s el mismo diagrama de magnitud signo contrario en la fase Cero real negativo Hs ( ) s diagrama de magnitud inverso signo contrario en la fase Cero real positivo Hs ( ) s diagrama de magnitud inverso mismo diagrama de la fase R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -9

20 Polos complejos conjugados p 2, α ± jβ (en el semiplano izquierdo) Hs ( ) ( s p )( s p 2 ) s 2 + 2αs + α 2 + β s 2 s ω Q o Significado geométrico de estos parámetros Im(s) β θ (0,0) Re(s) α frecuencia de polo α 2 + β 2 factor de calidad Q α 2 + β α cosθ R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -20

21 Polos complejos conjugados p 2, α ± jβ (en el semiplano izquierdo) Hs ( ) s s 2 Hjω ( ) Q ω ω + j ω o Q Magnitud M db 20log 0 ω ω Q 2 Fase θ ω Q arctg ( ω ) 2 Comportamiento asintótico: Magnitud 0 ω «M db 40log 0 ω + 40log 0 ω» Fase θ 0 ω «π ω» R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -2

22 Polos complejos conjugados p 2, α ± jβ (en el semiplano izquierdo) Máximo de magnitud: d d Hjω ( ) dω dω ω ω 2 + j Q 2 Posición ω máx Q 2 si Q > ω máx 0 en cualquier otro caso Si Q 2 «entonces ω máx Máximo aproximado Magnitud en ω M db ( ) 20log 0 Q Fase en ω θω ( o ) arctg Q 90 0 R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -22

23 Polos complejos conjugados p 2, α ± jβ (en el semiplano izquierdo) 20logQ p 0 Fig.2.2a Darianani R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -23

24 Polos complejos conjugados p 2, α ± jβ (en el semiplano izquierdo) R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -24

25 Polos complejos conjugados p, 2 α ± jβ (en el semiplano izquierdo) Para las frecuencias: s jω jω o ± Q Q 20log 0 Hjω ( ) 20log j 20log Q Q log 0 Hjω ( ) 20log 0 Q 3dB Definimos: Ancho de banda de 3dB bw Q R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -25

26 Ceros complejos conjugados z, 2 α ± jβ (en el semiplano izquierdo) 0 20logQ p R. Carmona, F.V. Fernandez y S. Espejo, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US -26