MT227 Sistemas Lineales. Función de transferencia. Elizabeth Villota

Transcripción

1 MT227 Sistemas Lineales. Función de transferencia Elizaeth Villota 1

2 Sistemas Lineales Sistema no lineal, forma espacio de estados: Sea la salida correspondiente a la condición inicial y entrada escrita como Un sistema es lineal si: Sistema lineal, forma espacio de estados: donde 2

3 Invariancia en el tiempo Concepto importante usado para descriir aquellos sistemas cuyas propiedades p no camian en el tiempo. ENTRADA SALIDA -A UNA MISMA ENTRADA APLICADA EN UN TIEMPO POSTERIOR, MISMA SALIDA PERO DESFASADA - Un sistema lineal e invariante en el tiempo se denomina SLIT (sistema lineal invariante en el tiempo, LSI por sus siglas en inglés) 3

4 Sistema lineal invariante en el tiempo RELACION ENTRADA-SALIDA Para una entrada aritraria ésta se divide en pequeños escalones y los efectos de cada escalón contriuyen a la salida del sistema ENTRADA SALIDA 4 : respuesta al escalón unitario : respuesta al impulso unitario (integral de convolución)

5 Solución de la ecuación espacio de estados lineall Sistema lineal: Respuesta a las condiciones iniciales (entrada cero) + Respuesta a la entrada (condiciones iniciales cero) = Respuesta total 5

6 Solución de la ecuación espacio de estados lineall Respuesta a las condiciones iniciales: (entrada cero) Resolviendo la EDO: - : matriz de transición Respuesta a la entrada: (condiciones iniciales cero) Usando la integral de convolución: : respuesta impulsiva 6

7 Solución de la ecuación espacio de estados lineal Sistema lineal: Resolviendo la EDO: Si Re λ(a) < 0 la respuesta decrece en el tiempo (CONDICIÓN DE ESTABILIDAD!) Salida: 7 Respuesta total Respuesta a las condiciones i iniciales i i (entrada cero) = + Respuesta a la entrada (condiciones iniciales cero)

8 SLIT 2do orden (masa-resorte-amortiguador) ti Representación espacio de estados: o Ecuación de movimiento: dividiendo por la masa: Solución: y : factor de amortiguamiento : frecuencia natural 8 o plano-s ω o Autovalores: λ(a) Como Re λ(a) < 0 luego sistema estale!

9 Plano-s. Relación entre Re λ(a), estailidad y respuesta en el tiempo x SISTEMA INESTABLE SISTEMA ASINTÓTICAMENTE ESTABLE SISTEMA CRÍTICAMENTE ESTABLE 9

10 Respuesta transitoria y en estado estacionario 10 Respuesta total Respuesta transitoria = + Respuesta en estado estacionario Ocurre luego que se aplica la Refleja comportamiento t a entrada y refleja la diferencia largo plazo ajo ciertas entre la condiciòn inicial y la entradas solución en estado estacionario.

11 Respuesta en estado estacionario. Solución ENTRADA: Escalón unitario Respuesta transitoria Respuesta en estado estacionario 11

12 Respuesta en estado estacionario. SLIT 1er orden ENTRADA: Escalón magnitud u o u o y( t) [ ] uo 1 e t m uo 1 e 1 t u o : y( t Constante de tiempo, parámetro que caracteriza la respuesta de sistemas SLIT de 1er orden. Valor en el que la respuesta alcanza el 63.2% de su valor final. Respuesta transitoria m ) 12 uo 1 e 1 uo 63.2% m Respuesta en estado estacionario

13 Respuesta en estado estacionario. SLIT 1er orden ENTRADA: Escalón magnitud u o u o y( t) [ ] uo 1 e t m uo 1 e 1 t u o : y( t Constante de tiempo, parámetro que caracteriza la respuesta de sistemas SLIT de 1er orden. Valor en el que la respuesta alcanza el 63.2% de su valor final. Respuesta transitoria m ) uo 1 e 1 uo 63.2% m Respuesta en estado estacionario 13

14 Respuesta en estado estacionario. SLIT 2do orden ENTRADA: Escalón unitario o o e t y ( t ) ko (1 sin( t )) 2 d 1 Respuesta transitoria Respuesta en estado estacionario 14

15 Respuesta en estado estacionario. SLIT 2do orden y ss ENTRADA: Escalón unitario : Valor en estado estacionario. Valor final de la salida. M p : Soreimpulso. Porcentaje(%) que el valor pico excede al valor final. T r : Tiempo de suida. Tiempo requerido para que la señal pase del 10% a 90% del valor final. T s : Tiempo de estalecimiento. Cantidad de tiempo requerido para una señal permanecer dentro de un 2% de su valor final para tiempos futuros. 15

16 Respuesta en estado estacionario. Solución ENTRADA: Función senoidal Función de transferencia Fórmula de Euler: Respuesta transitoria Respuesta en estado estacionario Sea: y 16

17 Función de Transferencia (FT) RELACIÓN ENTRADA-SALIDA DE UN SISTEMA LINEAL EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA s s Forma espacio de estados Función de transferencia λ(a)={s / det(si-a) = 0} = 0 n( s) polos={ s / d(s) = 0} d( s) ceros: { s / n(s) = 0} λ(a) = polos sistema it polos : { s / d(s) = 0} 17

18 Función de transferencia sistemas varios s s 18

19 Matriz de transferencia más de una entrada o salida PÉNDULO INVERTIDO EN EL CARRITO Ecuación de movimiento no lineal Ecuación de movimiento lineal Usando transformada de Laplace Funciones de transferencia 19

20 Interpretación función de transferencia RELACIÓN ENTRADA-SALIDA DE UN SISTEMA LINEAL EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA : magnitud y : fase del número complejo. Cuando se dice que y son la ganancia y fase a una frecuencia de forzamiento dada. 20

21 Interpretación función de transferencia RELACIÓN ENTRADA-SALIDA DE UN SISTEMA LINEAL EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA 21

22 Función de transferencia: polos, ceros y ganancia Ganancia en la frecuencia cero ( ) : En un sistema lineal con función de transferencia racional: G( s) n( s) d( s) Ceros: { s / n(s) = 0} Si s el sistema se denomina de fase mínima, de lo contrario se denomina de fase no mínima. Polos: { s /d d(s) = 0} Si s se dice que el sistema es estale, caso contrario es inestale. En un sistema lineal con representation espacio de estados: Ceros (ceros de transmisión) : s/ A si C B D 0 22