Diseño de sistemas de control. Teoría de control

Transcripción

1 Diseño de sistemas de control Teoría de control

2 Introducción Para iniciar el proceso de diseño de un sistema de control, es necesario realizar los siguientes pasos:... Determine que debe hacer el sistema y cómo hacerlo (especificaciones de diseño). Determine la configuración del controlador que depende de como está conectado el proceso controlado. Determine los valores de los parámetros del controlador para alcanzar los objetivos de diseño. 2

3 Especificaciones de diseño Se emplean para describir que debe hacer el sistema y como debe hacerlo. Entre las especificaciones se encuentran: La estabilidad relativa. Precisión en el estado de error estable. Respuesta transitoria. Características de respuesta en frecuencia. 3

4 Especificaciones de diseño El diseño de sistemas de control lineales, puede hacerse en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. La estabilidad relativa también se mide en términos del margen de ganancia, margen de fase y Mr. El diseño en el dominio del tiempo, se emplea para sistemas de segundo orden, los parámetros son el porcentaje de sobretiro, el tiempo de levantamiento y asentamiento (tr y ts).. Diseños en el dominio de la frecuencia se emplean para sistemas de un orden mayor a 2. 4

5 Especificaciones de diseño Generalmente el porcentaje de sobretiro, el tiempo de levantamiento y asentamiento, se usan como la medida final del desempeño del sistema. Para algunos controladores, existen procedimientos de diseño en la frecuencia que reducen el esfuerzo de prueba y error al mínimo. 5

6 Configuraciones del controlador Compensación en serie (cascada) 6

7 Configuraciones del controladores + Controlador GC(s) C K Se muestra un sistema que genera la señal del control mediante la realimentación de las variables de estado a través de ganancias constantes reales, y el esquema se conoce como realimentación de estado. 7

8 Configuración de controladores de dos grados de libertad Compensación serie-retroalimentación Compensación en serie 8

9 Configuración de controladores de dos grados de libertad Compensación en prealimentación 9

10 Controladores El PID es uno de los controladores más ampliamente usados en los esquemas de compensación. Los controladores PID se diseñan en el dominio del tiempo. Los controladores de adelanto, atraso, adelantoatraso y de muesca reciben estos nombres por sus características en el dominio de la frecuencia. 0

11 Características en el dominio del tiempo y la frecuencia. Los polos complejos conjugados producen una respuesta subamortiguada. Si los polos son reales, la respuesta al escalón es sobreamortiguada; sin embargo los ceros pueden causar sobretiros. La respuesta de un sistema está dominada por aquellos polos más cercanos al origen del plano s. Mientras más alejados a la izquierda, del plano s, estén los polos dominantes del sistema, el sistema responderá más rápido y mayor será el ancho de banda.

12 Características en el dominio del tiempo y la frecuencia. Mientras más alejados a la izquierda, en el plano s, estén los polos dominantes del sistema, más caro será y más grandes serán sus señales internas. Cuando un polo y un cero, de una función de transferencia de un sistema, se cancelan uno con el otro, la porción de la respuesta del sistema asociada con el polo tendrá una magnitud más pequeña. El tiempo de levantamiento y el ancho de banda son inversamente proporcionales. El margen de fase, el margen de ganancia, Mr, y el amortiguamiento son inversamente proporcionales. 2

13 Diseño con el controlador PD Considere el sistema prototipo de segundo orden: El controlador proporcional derivativo es: G p ( s) = K p + K D S El diagrama a bloques queda: 3

14 De manera que la señal de control aplicada al proceso es: e t u t = K p e t K d d dt La función de transferencia del siguiente circuito es: V0 ( S ) R2 Gc ( s ) = Vi ( S ) = R + SCR2 R R4 C k Vo 8 k k R3-2 + R2 TL082 - Vi k TL082 n UA U2A 0 4

15 Otra implementación de un PD: RD R k CD R 4 TL082 R k 4 3 Vo UA 4 Rd V0 ( S ) R 2 = + Rd Cd S Vi ( S ) R 2 R3 TL082 k k R k R TL082 UA 8 8 R3 R R2 2 Vi k n R3-2 - Cd UA donde K P = R2 / R y K D = Rd Cd 5

16 La función de transferencia de trayectoria directa del sistema compensado es: 2 ω n (K p + KDS ) Y ( s) G(S ) = = GC ( s)gp ( s) = E ( s) S ( S + 2ξ ω n ) El controlador PD equivale a añadir un cero simple en la función de transferencia de trayectoria directa. s = KP KD 6

17 Interpretación en el dominio del tiempo del controlador PD 7

18 Se supone que el sistema contiene un motor de alguna clase con su par proporcional a e(t). El desempeño del sistema de control proporcional se analiza de la siguiente manera: Durante el intervalo, 0<t<t. La señal de error e(t) es positiva. El par del motor es positivo y se incrementa rápidamente. El sobrepaso grande y la oscilación subsecuente en la salida y(t) se deben a la cantidad excesiva del par desarrollado por el motor y a la falta de amortiguamiento durante este intervalo. Intervalo, t<t<t3. La señal de error e(t) es negativa, y el par correspondiente del motor es negativo. Este par negativo tiende a reducir la aceleración de salida y eventualmente causa que la dirección de la salida y(t) se invierta y tenga un sobrepaso negativo. 8

19 Intervalo, t3<t<t5. El par del motor es otra vez positivo, por tanto, tiende a reducir el sobrepaso negativo en la respuesta causada por el par negativo en el intervalo previo. Ya que el sistema se supone estable, la amplitud del error se reduce con cada oscilación, y la salida eventualmente se establece en su valor final. Después del análisis anterior, es posible concluir que los factores que contribuyen al sobrepaso son: El par correctivo positivo en el intervalo 0<t<t es muy grande El par retardado en el intervalo t<t<t2 es inadecuado. 9

20 Interpretación en el dominio de la frecuencia del controlador PD KD Gc( s ) = K p + K D s = K p + s KP Kp= 20

21 Consideraciones en la frecuencia La propiedad de adelanto de fase se puede emplear para mejorar el margen de fase de un sistema de control. La característica de magnitud del controlador PD empuja la frecuencia de cruce de ganancia a un valor más alto. El diseño del PD consiste en localizar la frecuencia de corte del controlador, ω=kp/kd, tal que se logre un mejoramiento efectivo del margen de fase en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. 2

22 Resumen de los efectos de un controlador PD Mejora el amortiguamiento y reduce el sobrepaso máximo. Reduce el tiempo de levantamiento ye le tiempo de asentamiento. Incrementa el BW. Mejora el margen de ganancia, el margen de fase y Mr. Puede acentuar el ruido en altas frecuencias. No es efectivo para sistemas ligeramente amortiguados o inicialmente inestables. Puede requerir un capacitor muy grande en la implementación del circuito. 22

23 Ejemplo 0- Diseñe un controlador PD para la siguiente función de transferencia, la cual es el modelo de segundo orden de un sistema de control de altitud de una aeronave K G( s) = s ( s ) Las especificaciones en el dominio del tiempo son: Error en estado estable debido a una entrada rampa unitaria Sobrepaso máximo 5% Tiempo de levantamiento tr s Tiempo de asentamiento ts s 23

24 Obtenga el lugar de las raíces, considerando solamente la parte proporcional, elimine KD. Para KD 0, obtenga el lugar de las raíces con Kp=0.25 y Kp=. 24

25 Controlador: PI UTM Ingeniería en Electrónica Teoría de Control

26 El PD puede mejorar el amortiguamiento y el tiempo de levantamiento de un sistema de control a expensas del ancho de banda más alto y la frecuencia de resonancia, y el error en estado estable no es afectado a menos que varíe con el tiempo. 26

27 Función de transferencia y diagrama a bloques del PI K i K p s + Ki Gc ( s ) = K p + = s s + + P 27

28 Implementaciones electrónicas R2 C2 R Vo(S) R UA 0 TL R - Vi(S) 4 TL082 U2A 0 4 Ci 3 R Ri R Vo(S) 8 R + R2 - Vi(S) R 0 28

29 Efectos del controlador PI Añade un cero en s=-ki/kp a la función de transferencia de la trayectoria directa. Añade un polo en s=0 a la función de transferencia de la trayectoria directa, de manera que sí el error en estado estable es constante lo reduce a cero. Un método para diseñar un PI es seleccionar el cero en s=-ki/kp cerca del origen y lejos de los polos significativos y los valores de KP y KI deben ser pequeños. 29

30 Interpretación en el dominio de la frecuencia 20 log 0Kp -20 log Kp Ki/0Kp Ki/0KpKi/0Kp Ki/Kp 0Ki/Kp 30

31 Pasos para el diseño del controlador PI en el dominio de la frecuencia Obtenga las trazas de Bode de L(s)=G(s)H(s). Buscar la frecuencia en la cual se encuentra el margen de fase deseado. Agregar la atenuación necesaria, mediante el controlador PI en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Es decir: de donde: G p ( jω ' g ) K p = 0 db = 20 log K p db, Kp < G p ( jω ) db / 20, con Kp < 3

32 32

33 Pasos para el diseño del controlador PI en el dominio de la frecuencia.. Ya que se desea que la fase original no sea afectada por el controlador PI, se selecciona una frecuencia del controlador para que el efecto de atraso de fase sea despreciable. En otras palabras: ω ' g = 0 Ki / K p. Se obtienen las respuestas del sistema compensado para ver si todas las especificaciones de desempeño se cumplen. 33

34 Ventajas y desventajas del controlador PI Mejora el amortiguamiento y reduce el sobrepaso máximo. Incrementa el tiempo de levantamiento. Disminuye el ancho de banda. Mejora el margen de ganancia, el margen de fase y Mr. Filtra el ruido de alta frecuencia. 34

35 Ejercicio: Diseñe un controlador PI para la siguiente función de transferencia, en el dominio de la frecuencia: G( s) = s( s ) requisitos: MP 65 35

36 36

37 Respuesta con controlador 37

38 Programa en Matlab clear num=833850; den=[ ]; w2=00:0:000;w3=000:00:0000; w=[w2 w3]; %pause [mag,phase,w]=bode(num,den,w); [a,b,c]=size(phase); for i=::a if phase(i)<=-5 phase(i) i break end end magn=20*log0(mag(i));kp=0^(-magn/20) ki=kp*w(i)/0 38

39 Ejercicio: Diseñe un controlador PI para la siguiente función de transferencia (en el dominio del tiempo): G( s) = s( s ) con los siguientes requisitos: e ss debido a una parábola 0.2 POS 5% tr 0.0 s ts 0.02 s 39

40 Teoría de Control Reglas de sintonización para controladores PID

41 Introducción La determinación de parámetros, la realizan los ingenieros en el sitio mediante experimentos sobre la planta. Con estos métodos se obtiene un 25% de sobrepaso máximo. Existen otros métodos pero sólo se verán estos. 4

42 Primer método (Ziegler-Nichols) Se obtiene la respuesta a una entrada escalón unitario de manera experimental. Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados, la curva de respuesta escalón unitario puede tener forma de S, si no es así el sistema, el método no es adecuado. 42

43 Cálculo de constantes (er método) Respuesta del sistema k L T Tiempo (t) 43

44 Función El sistema se puede aproximar a la siguiente ecuación: Ls ke G ( s) = Ts + El controlador con este método tendrá la forma: KI GC ( s) = Kp + + K D s = Kp( + + TD s) s TI s con: Kp=.2T/L, Ti=2L y Td=0.5L 44

45 Para diversos controladores Tipo de controlador Kp Ti Td P T/L 0 PI 0.9T/L L/0.3 0 PID.2T/L 2L 0.5L G ( s ) = Kp( + + T s) Ts C D I 45

46 Segundo método (Ziegler-Nichols) Haga Ti= y Td=0. Usando solo el controlador proporcional incremente KP hasta que se obtengan oscilaciones sostenidas (si el sistema para cualquier valor de ganancia no presenta oscilaciones sostenidas, este método no se aplica). r(t) y(t) + KP Planta - 46

47 Pcr Cálculo de las constantes Tipo de controlador Kp Ti Td P 0.5Kcr 0 PI 0.45Kcr /.2 Pcr 0 PID 0.6Kcr 0.5Pcr 0.25Pcr 47

48 Controlador G ( s ) = Kp( + + T s) Ts C D I Ejercicio: Diseñe un controlador PID mediante el segundo método de sintonización para la siguiente función de transferencia de la trayectoria directa: G ( s) = s( s + )( s + 5) p 48

49 Controlador PID KI K I2 G C = K P K D = K DI s K P2 s s Calcule la KD que satisface la estabilidad relativa deseada (POS). Ahora selecciona Kp y Ki para que sea satisfecho el requisito de estabilidad relativa. 49

50 Ejercicio Diseñe un controlador PID para el siguiente sistema:.5x0 7 G s = 2 s s s e ss Las especificaciones en el dominio del tiempo son: ess (rampa unitaria) Sobrepaso máximo 5% Tiempo de levantamiento tr s Tiempo de asentamiento ts s 50

51 Diseño con el controlador de adelanto de fase El diseño de controladores se puede ver como un problema de diseño de filtros. El PD es un filtro, el PI es un filtro y el PID un filtro. El filtro pasa altas se denomina controlador de adelanto de fase, y el pasa bajas de atraso de fase. 5

52 Función de transferencia del controlador y diagrama electrónico. S+ Z G (S ) = K S+ P C C donde p > z R2 C2 R R Vo(S) C - Vi(S) 4 4 R 0 52

53 Se obtiene: S + CR Vo ( s ) C = Vi ( s ) C2 S + C2 R2 Donde: K = C /C C z = RC 2 p = RC

54 Simplificación Haciendo C=C2 S+ ( V0 ( S ) SCR + ) CR2 R 2 ( SCR + ) ( + ats ) CR = = = = ( SCR2 + ) CR R ( SCR2 + ) a ( + TS ) Vi ( S ) S + CR 2 Donde: R a= y R2 T = RC 2 Para que sea un controlador de adelanto de fase a> ó p>z. 54

55 Interpretación en el dominio del tiempo at. Al mover el cero en hacia el origen se deben mejorar los tiempo de levantamiento y asentamiento. Si el cero se acerca demasiado al origen, el sobrepaso máximo se puede incrementar.. Al mover el polo en -/T lejos del cero y el origen, se debe reducir el sobrepaso máximo, pero si el valor de T es muy pequeño, los tiempos de levantamiento y asentamiento se incrementarán otra vez. 55

56 Interpretación en el dominio de la frecuencia 20 log 0 a m Φm /(at) m /T) 56

57 Frecuencia ωn y Φm log0 wn = 2 log0 + log0 2 T at 2 log0 wn = log0 + log0 log w = log wn = 0 0 n 2 2 at T at at + ats + jatω + TS + jtω G ( jω ) = tan ( atω ) tan ( Tω ) = φ m ( jω atω ω T tan φ ( jω ) = + ( ω at )( Tω ) ) 57

58 atω ω T tan φ ( jω ) = + ( ω at )( Tω Sustituyendo n= T a ) en la ecuación anterior se tiene: de donde se tiene que: tan Φ m= a 2 a al conocer Φm, el valor de a se determina de: sin Φ m= a a 58

59 Procedimiento de diseño del controlador de adelanto de fase en el dominio de la frecuencia. Obtener las trazas de Bode del proceso no compensado, con la ganancia K que satisfaga el error en estado estable. El valor K debe ser ajustado una vez determinado el valor de a (para implementación con operacionales). Determinar el margen de fase y el margen de ganancia del sistema no compensado y calcular la cantidad de adelanto de fase adicional necesario. Se estima el valor de Φm y se calcula a. y, Para determinar las frecuencias de corte at T encuentre la frecuencia m donde la magnitud del sistema no compensado es 0 log0 (a), y ahora emplee la ecuación. n= T a 59

60 Ejemplo Diseñe un controlador de adelanto de fase para el sistema rastreador solar mostrado. 60

61 Requisitos ess debido a una rampa < % PM>45 La función tiene la forma: G s = 2500 K s s 25 6

62 Respuesta del sistema M agnitude db Hz Phase degrees Hz 62

63 Controlador de atraso de fase R2 C2 R R Vo(S) C - Vi(S) 4 4 R 0 V0 ( S ) ( + ats ) = con a < Vi ( S ) a ( + TS ) 63

64 Controlador de atraso de fase 0dB -20log0 a Φm -90 /T) /(at) 64

65 Procedimiento de diseño del controlador de atraso de fase en el dominio de la frecuencia. Obtenga las gráficas de Bode, con la K que satisface el ess. Determine los margenes de fase y ganancia. Localice la frecuencia en la que se obtiene el margen de fase deseado, ω'g, el controlador de atraso de fase debe proveer la cantidad de atenuación igual al valor de la curva de magnitud en ω'g. Utilice la fórmula G p j g ' a=0 / 20 Para que la fase no afecte de manera significativa al sistema seleccione T de la ecuación g ' = at 0 65

66 Diseñe un controlador de atraso de fase, para el sistema seguidor solar G s = 2500 K s s 25 ess debido a una rampa < % POS < 5 % 66

67 Ejercicio: Diseñe un controlador para el sistema mostrado. 67

68 Efectos del controlador de adelanto de fase Señal de un cero y un polo, con el cero a la derecha de un polo, a la función directa. El efecto general es añadir más amortiguamiento y reducir los tiempos. La fase de la función de transferencia de la trayectoria directa en la vecindad de wn se incrementa, este mejora el margen del sistema en lazo cerrado. La pendiente de la curva de magnitud en las trazas de Bode se reducen la frecuenta de cruce de ganancia, esto mejora la estabilidad relativa del sistema. El ancho de banda de lazo cerrado en el sistema se incrementa. Esto corresponde a un tiempo de respuesta más rápido El error en estado estable del sistema es afectado 68

69 Limitaciones del control de adelanto de fase de una etapa Si el sistema original es inestable o tiene un margen de inestabilidad bajo el adelanto de fase, puede requerirse un valor grande de a, que como resultado incrementa el ancho de banda del sistema compensado y se introduce ruido de alta frecuencia. Este valor grande de a puede obtenerse empleando un amplificador de alta ganancia que puede resultar costoso. El máximo adelanto de fase margen de fase disponible de este controlador de una etapa es de 90o. Si se requiere un adelanto de fase de más de 90 pueden emplearse etapas múltiples. 69

70 Controlador de adelanto-atraso G C s = a T s T s a 2 T 2 s T 2 s a, a 2 S tep R es p o n se 0.9 Adelanto Adelanto 0.8 Adelanto atraso 0.7 A m p lit u d e 0.6 Atraso T im e (s e c )

71 Filtro de muesca: cancelación de polos y ceros Considere el sistema: G p s = K s s p s p al cual se agrega un controlador de la forma 2 s s 0 G p s = 2 s a s b para cancelar los polos del sistema. 7

72 Cancelación inexacta 72

73 Lugar geométrico 73

74 Filtro de muesca:cancelación de polos y ceros G c s =K s 2 b s b2 s2 a s a 2 74

75 Respuesta en frecuencia G c s = s 2 2 z n s 2n 2 s 2 p n s 2 n con a 2 =b 2 z G c j n = p 75

76 Ejercicio: Diseñe un controlador de muesca para el siguiente sistema de control de velocidad. 76