Control Automático TAREA PROGRAMADA DISEÑO DE UN COMPESADOR DE FILTRO DE MUESCA

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1 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA ESCUELA DE INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA Control Automático TAREA PROGRAMADA DISEÑO DE UN COMPESADOR DE FILTRO DE MUESCA Alumnos: Johan Carvajal Godinez Vladimir Meoño Molleda José Augusto Mora Delgado Prof. Ing. Eduardo Interiano Semestre 1-003

2 INDICE Capítulo 1. Descripción del problema... Capítulo. Solución del problema... 4 Capitulo 3. Conclusiones Capitulo 5. Bibliografía Capitulo 6. Anexos... Error! Marcador no definido. CÓDIGO FUENTE... ERROR! MARCADOR NO DEFINIDO. 1

3 Capítulo 1. Descripción del problema El problema consiste en la inestabilidad que presentan los sistemas que cuentan con un par de polos complejos cerca del eje imaginario, para eliminar esta inestabilidad, se utiliza un compensador de filtro de muesca que consiste en un par de ceros complejos, que se ubican casi en el mismo lugar que los polos complejos del sistema; y un par de polos reales que se ubican de acuerdo a las características dinámicas requeridas. El sistema que se muestra a continuación tiene dos polos complejos, por lo que es un sistema inestable. Figura 1. Sistema sin compensar El lugar de las raíces para el sistema es el siguiente;

4 Figura. Lugar de las raíces para un sistema sin compensar Como se observa en la figura el sistema cuenta con polos complejos muy cerca eje imaginario, esto hace que la respuesta al escalón sea inestable, como se observa a continuación. Figura 3. Respuesta al escalón del sistema 3

5 Capítulo. Solución del problema Para solucionar el problema se diseñara y programará en MatLab una función que diseñe el compensador de filtro de muesca con base en los parámetros dinámicos requeridos y la función de la planta, la cual debe estar en forma de función de transferencia continua, además los parámetros dinámicos que debe ser introducidos son el tiempo de estabilización y el sobreimpulso; ya que con el compensador de filtro de muesca es imposible controlar el error de estado estacionario de la planta. El primar paso consiste en obtener una ecuación que nos permita calcular los polos del compensador para satisfacer las características dinámicas del sistema; con base dichos parámetros se elige un punto por el que se desee que pase el lugar de las raíces, una vez que se tiene ese punto se establece el lugar de los polos del compensador de tal forma que el ángulo del resultado de la multiplicación de la función del sistema y el compensador sea 180. El análisis se hace con base en el siguiente diagrama. Figura 4. Diagrama para la ubicación de los polos del compensador 4

6 De este gráfico se pueden obtener las siguientes ecuaciones; φ = 180 arg θ = 180 arg Po = x + ( ) ( ) (1) 1 () Sen( θ ) + x (3) φ Tan ( s1) y G s En la ecuación 1 se debe tomar G(s) sin los polos complejos de la planta, ya que el efecto de dichos polos es anulado por los ceros del compensador, por lo tanto no afectan el valor de dicho ángulo; para la función programada se tomará como s 1 el punto donde se intersecan la recta dada por ξ y el semicírculo dado por w n, por lo que dicho punto estará definido por; s 1 = ξ w + n jw Sen n ( Arccos( ξ )) (4 ) Además se debe tener en cuenta que los parámetros ξ y w n se obtienen de los parámetros dinámicos Ts y Mp, por medio de las siguientes ecuaciones; M p Ln 100 ξ = M p π + Ln wn = ξt s % (6) (5) Una vez obtenidos los polos y ceros del compensador se requiere calcular la constante Kc la cual se obtiene por medio de la siguiente ecuación; 5

7 Kc = 1 K s G s ( ) ( ) s1 (7) Una vez obtenidas las ecuaciones necesarias para el diseño del compensador de filtro de muesca se realiza el programa de acuerdo con el siguiente diagrama de flujo. Figura 5. Diagrama de flujo del software diseñado 6

8 El primer bloque se encarga de verificar que las condiciones de los datos introducidos permitan el diseño del compensador de filtro de muesca, las condiciones verificadas son las siguientes; 1- Verifica el numero de parámetros introducidos, si son más o menos de tres el programa desplegará un mensaje de error. - Verifica que la función introducida sea continua. 3- Revisa lo polos de la función de transferencia introducida, y se establecen los siguientes casos; a- Si no hay polos complejos, se muestra un mensaje de error y finaliza el programa b- Si hay polos complejos en el plano real positivo, se muestra un mensaje de error y finaliza el programa. c- Si hay más de un par de polos complejos se toman los polos más cercano al eje imaginario, osea los que tengan menos magnitud en la parte real; y el resto se dejan sin compensar, ya que no es necesario. Una vez verificadas las condiciones y obtenido el par de polos complejos que se van a compensar, se procede al calculo de compensador de filtro de muesca según las ecuaciones mostradas anteriormente. Cuando se obtiene el compensador se despliega el lugar de las raíces del sistema compensado y la respuesta al escalón del sistema sin compensar y el sistema compensado, además se mostrara la función de transferencia del compensador en la ventana de comandos del MatLab. 7

9 Si tomamos la figura 1 y le aplicamos la función knotch para obtener un Ts de s y un sobre impulso de 5%; para utilizar la función se debe de digitar knotch(sys,ts,mp). >> E1=tf([5],[ ]) Transfer function: s^3 +.5 s^ + 5 s + 8 >> knotch(e1,,5) Una vez introducidos los parámetros se obtienen los siguientes resultados; Figura 6. Resultados obtenidos por la función 8

10 Figura 7. Lugar de las raíces para el sistema compensado Por ultimo se obtiene en la ventana de comandos la función de transferencia del compensador diseñado por el software, que para este ejemplo sería; K NOTCH ( S ) s = s + 4 ( s + 4.1) 9

11 Capitulo 3. Conclusiones - Como se toma s1 como el punto donde se intersecan la recta dada por ξ y el semicírculo dado por w n, la compensación se realiza en el limite de la zona establecida por lo parámetros Ts y Mp, por lo que los parámetros dinámicos obtenidos después de aplicar el compensador son muy aproximados a los valores establecidos por el usuario. - El compensador de filtro de muesca no mejora el error de estado estacionario; por lo que para regular este parámetro se debe introducir un compensador PI o de atraso. - Si la planta tiene más de un par de polos complejos, se deben compensar los más cercanos al eje imaginario; si el resto de los polos se encuentra muy lejos de dicho eje puede ser despreciados, siempre y cuando se compense por medio de una constante. - Si la planta tiene polos complejos a la derecha del eje imaginario no puede ser compensado con un compensador de filtro de muesca. Capitulo 5. Bibliografía Interiano, Eduardo.Folleto de Control Automatico,

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