Automá ca. Ejercicios Capítulo7.2.AnálisisFrecuencial(Parte2)

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1 Automáca Ejercicios Capítulo7..AnálisisFrecuencial(Parte) JoséRamónLlataGarcía EstherGonzálezSarabia DámasoFernándezPérez CarlosToreFerero MaríaSandraRoblaGómez DepartamentodeTecnologíaElectrónica eingenieríadesistemasyautomáca

2 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. EJERCICIO 7.7. Dada la respuesta frecuencial de lazo abierto de un sistema indicada en el diagrama de Bode (para el módulo): db -db/dec dB/dec rad/seg -6dB/dec. Obtener la función de transferencia G(s).. Dibujar el diagrama de la fase. 3. Indicar las condiciones de estabilidad del sistema de lazo cerrado con realimentación unitaria. 4. Si al sistema en lazo abierto se le aplica una señal senoidal de amplitud y frecuencia.6 rad/seg, calcular la amplitud y desfase de la señal de salida después de que cesa el transitorio.. Función de transferencia. Partiendo del punto en =rad/s hacia bajas frecuencias se calcula el valor correspondiente a la frecuencia de corte anterior: 4 db log (4+.94) db log -log ( 4.94)log 4(log log ) log.94 4 rad /s En el diagrama de Bode puede verse que el sistema parte de bajas frecuencias con una pendiente inicial de db/dec lo que corresponde con un polo en el origen en la función de trasferencia.

3 Análisis Frecuencial A la frecuencia rad / s la pendiente sufre una variación de otros db/dec lo que corresponde con un polo: T. Luego el polo será: j. A la frecuencia rad / s la pendiente sufre una nueva variación de otros db/dec lo que corresponde con un polo: T. Luego el polo será: j. Falta ahora ajustar la ganancia de la función de transferencia. La aportación del polo en el origen para la frecuencia rad / s es de db luego el valor del módulo a dicha frecuencia corresponde con la aportación debida a la ganancia: La caída de amplitud desde la frecuencia rad / s hasta la frecuencia rad / s es: x log 6.dB El valor del módulo para la frecuencia rad / s será.94+6.=7.96db log k k =. Por tanto la función de transferencia en frecuencia queda:. G(j) j( j.)( j.) Y en transformada de Laplace: G(s). s(.s)(.s) G(s) s(s )(s ). Diagrama de fase. Para el diagrama de fase las pendientes serán: Término: /j (+j/) - (+j/) - Pendiente acum. (,.] [.,.] -4-4 [., ] [, ] -4-4 [, ) -

4 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. Fases en los puntos de intersección de las asíntotas: (. rad / seg) 9º. (. rad / seg) 9º 4log 7.9º. ( rad / seg) 7.9º 9log 7.9º 44.8º -.9º Fase (Grados) rad/s ( rad / seg) -.9º 4log.9º-7.9º 7º 3. Condiciones de estabilidad del sistema de lazo cerrado con realimentación unitaria. Representación del diagrama de módulo y fase del sistema: Modulo (db) MG -9 - a f rad/s -9 Fase (Grados) MF a f rad/s 3

5 Análisis Frecuencial Cálculo de la frecuencia de amplitud crítica:.94 4log a Cálculo del margen de fase:.94 a 4 a.4rad / s La diferencia de fase en el tramo desde.rad / s hasta a.4rad / s.4 9log 8.6º. es: Por tanto la fase para el punto.4rad / s es: 7.9º 8.6º 66.3º a El margen de fase será: MF 8º 66.3º 3.47º Cálculo de la frecuencia de ganancia crítica: f 8º 7.9º 9log. 7.9 f 9. f 3.6rad / s La diferencia de módulo entre rad / s y f 3.6rad / s es: 3.6 4log 7.9dB Luego el margen de ganancia será: MG dB El margen de ganancia está por debajo de los db y el de fase por encima de los -8º, con lo que el sistema es estable. 4. Amplitud y desfase de la señal de salida del lazo abierto al aplicar una señal senoidal de amplitud y frecuencia.6 rad/seg. La señal de entrada al sistema será: x(t) sen(.6t) Buscamos en la respuesta frecuencial del sistema los valores de ganancia y desfase que corresponden para una entrada.6rad / s : Para el módulo: A(.6rad / s) A( rad /s) log db.4.4 log k k

6 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. La amplitud será: Para la fase:.6 (.6rad /s) (.rad /s) 9log 7.9º 7.3º.4º.rad. Luego la salida será: y(t).8sen(.6t ) EJERCICIO 7.8. Para el sistema del ejercicio 7.7. se ha calculado un regulador para mejorar su respuesta. Obtener en el Ábaco de Black la respuesta de lazo cerrado del sistema compensado cuando la realimentación es unitaria. Indicar el valor del pico de resonancia y la frecuencia a la que se produce así como el ancho de banda del sistema. La siguiente figura representa el diagrama de Bode del sistema compensado obtenido con el regulador. Modulo (db) Fase (Grados) rad/s rad/s Se toman valores de la gráfica del sistema compensado para distintos valores de

7 Análisis Frecuencial frecuencia: Lazo abierto Frecuencia (rad/s) Módulo Fase Estos valores se representan en el Ábaco de Black: Ganancia de lazo abierto (db) = =4 db 3 db 6 db =3. db = =.. db =.4 db =.6 =.8 =. =. =.3 =.4 =. =.6 =.8 = Pico resonancia =.3 Ancho de banda =. - db -3 db -6 db - db - db Fase de lazo abierto (grados) Para la respuesta de lazo cerrado según se puede observar en el ábaco de Black el pico de resonancia se produce para 3dB par un valor de frecuencia de aproximadamente.3 rad/s. Para la respuesta de lazo cerrado el valor del módulo para bajas frecuencias es de 6

8 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. aproximadamente.3 db, luego una caída de 3dB corresponderá aproximadamente con el punto de corte de 3dB. Esto se produce para una frecuencia sobre. rad/s. Luego el ancho de banda será de. rad/s. EJERCICIO 7.9. A partir del diagrama de Bode incompleto de la figura, se pide:. Función de transferencia del sistema en lazo abierto y completar el diagrama de Bode.. Márgenes de amplitud y fase. 3. Representar el diagrama de Nichols sobre el ábaco de Black. 8 -db/dec Modulo (db) -.8-4dB/dec -9 Fase (Grados) rad/s -8-9º/dec -7.4 rad/s Analizando el diagrama de Bode se obtienen los siguientes datos: - El sistema parte con una pendiente de db/dec y una fase de 9º lo que indica la existencia de un polo en el origen: (j) - Para =.4rad/s en el diagrama de fase se tiene un cambio de pendiente debido a un polo, luego en =4rad/s, una década por encima de.4rad/s, estará la frecuencia esquina del polo. - Entre las frecuencias 4rad/s y rad/s caen 8+.8=3.8dB. Luego la pendiente de este tramo será: 3.8 p log p 6dB/ dec 4 - Luego para =4rad/s se produce en el diagrama de amplitud un cambio en la 7

9 Análisis Frecuencial pendiente de 4 db/dec, lo que indica la existencia de un polo doble. Y en el diagrama de fase a partir de =.4rad/ s se tendrá una pendiente de 9º/dec: j 4 - Para =rad/s en el diagrama de amplitud la pendiente aumenta db/dec pasando a ser de 4dB/dec. Esto corresponde con un cero para esa frecuencia y por tanto la fase una década por debajo reducirá su pendiente en 4º/dec pasando a ser de 4º/dec.: j - Para =rad/s la fase decrementa de nuevo su pendiente en 4º/dec, lo que corresponde con otro polo. Luego para =rad/s el diagrama de módulo decrementará nuevamente su pendiente en db/dec pasando a ser de 6dB/dec.: j 4 - Entre las frecuencias =rad/s y =4rad/s el módulo desciende: log db Luego para la frecuencia =rad/s corresponde un módulo: 8 3dB. A esa frecuencia el módulo se debe al término de ganancia de la función de transferencia: 3 log K 3 K 3.6 Por tanto la función de transferencia del sistema es: j (j) 3.6 j j j 4 G G (j) 3.6 j G (s) 3.6 j 3.6. (s).. s j. j. j..s.s.s G s s 4 s 8

10 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. G (s). s s s 4 s La representación completa del diagrama de Bode será: Modulo (db) -db/dec dB/dec -4dB/dec -6dB/dec 4 rad/s º/dec -4º/dec Fase (Grados) -9º/dec º/dec 4 rad/s Cálculo del módulo para =rad/s:.8 M( rad /s) 4log M( rad /s) 7.8dB Cálculo de los valores de la fase para los puntos de cambio de pendiente: ( rad / s) 9º 9log 9º 3.8º.8º.4 ( rad /s).8º 4log.8º 3.º 39.3º 4 ( 4rad /s) 39.3º 9log 39.3º 7.º 6.4º ( rad /s) 6.4º 9

11 Análisis Frecuencial ( rad /s) 6.4º 4log 6.4º 3.º 7º. Márgenes de amplitud y fase. Cálculo del punto de amplitud crítica: a 8 6log 4 a rad / s Cálculo del margen de fase: 8 ( 8rad / s) ( rad /s) 9log 39.3º 4.º 93.º MF=8º-93.º=-3.º INESTABLE Cálculo del punto de fase crítica: f 8º 39.3º 9log f rad / s Cálculo del margen de ganancia: M(.7rad /s) M( 4rad / s) 6log dB MG=8.7dB INESTABLE 4. Diagrama de Nichols. Tabla de valores del diagrama de Bode: Frecuencia M

12 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. Diagrama de Nichols 4 =.4 = =. db - = =8 = =4 =.7 MG MF. db db 3 db 6 db db - db -3 db -6 db - db - db -4 =4-4 db -6 = -6 db = -8-8 db EJERCICIO 7.. Open-Loop Phase Dado un sistema con realimentación unitaria que tiene como función de transferencia en lazo abierto. 7, G(s) s (s ). A partir de las trazas asintóticas de Bode (Amplitud y Fase), hallar el margen de ganancia y el margen de fase (gráfica y analíticamente), del sistema. Comentar la estabilidad del sistema según los resultados obtenidos.. Determinar la ganancia adicional requerida para que el sistema presente, en régimen permanente, un error igual a la unidad ante una entrada: r(t),t,t Se pasa al dominio de la frecuencia cambiando s por j, quedando: 7. G( j) ( j) ( j )

13 Análisis Frecuencial Se obtiene G( j) ( j) 7. j ( j). j K Bode =. Frecuencia de corte: Tablas de pendientes: rad seg. DIAGRAMA DE AMPLITUD Factores que intervienen Intervalo Aportación (db) Pendiente (db/dec). (j). j (j) (., ] - * tipo = -4 [, ) - -6 Aportación = log K tipo log log. log db Bode i DIAGRAMA DE FASE Factores que intervienen Intervalo Aportación (º) Pendiente (º/dec). (j) (.,.] -9º * tipo = -9º * = -8º º. j (j). (j) [., ] -4º -4º [, ) +4º º Con estos datos, se puede dibujar los diagramas asintóticos de Bode que se representan en la siguiente figura.

14 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. Módulo (db) db/dec db/dec - rad/s Fase (Grados) -3 a -8 º/dec MF -4º/dec º/dec rad/s Cálculo analítico del margen de fase (MF): Del diagrama de amplitud, se tiene: 43.8 db 4log a. despejando obtendremos la frecuencia de cruce de ganancia: 43.8 a rad seg Y para esta frecuencia le corresponde una fase, según el diagrama de fase: a x 8 4log Luego el margen de fase del sistema será: MF Cálculo analítico del margen de ganancia (MG): El diagrama de fase es asintótico con 8 º, luego corte en el infinito, MG El sistema es inestable pues a > f. O bien, por los diagramas, también puede verse que el MG está por encima de la línea de db y el MF por debajo de la línea de -8. 3

15 Análisis Frecuencial. La entrada dada es r(t) = +.t+.t. Como el sistema es de tipo, sólo dará error ante entradas de tipo parábola, luego el único término que ha de tenerse en cuenta a la hora de calcular el error será.t, que corresponde a una parábola de coeficiente A:.t A t A. Se pide que el error ante dicha entrada sea, luego: pero: K a lim s s e ss A K K' GH(s) lims s a. K a K a K' lim K' K'.K' s (s ) s s Luego igualando ambos valores de K a, se obtiene la ganancia adicional K que se ha de introducir en la cadena directa del sistema para cumplir la especificación de error en régimen permanente que se piden:.. K' K'.367 Con lo que el sistema compensado en ganancia será: G'(s) K' G(s).367 s 7. (s ) Se dibujan las trazas de Bode para este sistema: De la función se obtiene: K Bode =. Frecuencia de corte: Tablas de pendientes: rad seg.. G'(j) j (j) DIAGRAMA DE AMPLITUD Factores que intervienen Intervalo Aportación (db) Pendiente (db/dec). (j). j (j) (., ] - * tipo = -4 [, ) - -6 Aportación = log K' tipo log log. log. 6.3 db Bode i 4

16 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. El Diagrama de Fase no se modifica por variar la ganancia. Se puede dibujar ahora el nuevo diagrama de Amplitud: db/dec Módulo (db) db/dec - a rad/s La frecuencia de cruce de ganancia: a la obtenemos de 6.3-4dB/dec ' 6.3 4log a.48. ' a rad seg a. Para esa frecuencia, en el diagrama de Fase, vemos que le corresponde un ángulo (fase) de -8, luego el margen de fase será cero: MF. Y el margen de ganancia: MG EJERCICIO 7.. Para el sistema definido en el ejercicio 3.9. representar la respuesta en frecuencia (diagramas asintóticos). Representar gráficamente el margen de fase (MF) y el margen de ganancia (MG). Sobre los diagramas asintóticos dibujar de la manera más exacta posible la respuesta real en frecuencia. R(s) + _. s s s..s 4. La función de transferencia de lazo abierto del sistema es: G(s) H(s) s (s s..s 4.)

17 Análisis Frecuencial Pasando al dominio de la frecuencia: cambiando s por j, queda: j. G( j)h( j) ( j) (( j). j 4.) j j.. j. j Se obtiene K Bode =. Frecuencias de corte:. y 4. rad seg. Tablas de pendientes: DIAGRAMA DE AMPLITUD Factores que intervienen Intervalo Aportación (db) Pendiente (db/dec). (.,.] - * n = - j j [., 4. ] ( j) ( j) j.. j. j [ 4., ) -4-4 Aportación = log K n log log. log db Bode i DIAGRAMA DE FASE Factores que intervienen Intervalo Aportación (º). (.,.] -9º * n = - j 9º Pendiente (º/dec) º j [.,.] +4º +4º.. ( j) 6

18 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. ( j) j.. j. j [.,.] -9º -4º. j. j ( j) [., ] -4º -9º. [, ) +9º º j Con estos datos, se pueden dibujar los diagramas asintóticos de Bode: db/dec Módulo (db) -4 db/dec a -3. rad/s Fase (Grados) º/dec º/dec -9 MF -9º/dec rad/s Para dibujar de manera aproximada la respuesta real en frecuencia, se tendrá en cuenta lo siguiente: j - En un factor de primer orden: ; el error máximo entre la curva de magnitud real. y la asintótica ocurre en la frecuencia de esquina y es aproximadamente igual a 3 db. Por lo que en este caso al tratarse de un cero, la curva real de magnitud estará por encima de la asintótica. 7

19 Análisis Frecuencial - Para el factor cuadrático: j. j, se tiene que: n y como: n 4. despejando, se obtiene:. que es un factor de amortiguamiento muy pequeño, lo que producirá en el diagrama de amplitud real un pico muy pronunciado. En cuanto al diagrama de fase real, para este valor de frecuencia n el cambio de pendiente es de - 9. EJERCICIO 7.. Para el sistema resultante del ejercicio.6. P, con K =, y utilizando el regulador proporcional calculado en el ejercicio 3.. G r =., representar los diagramas asintóticos de la respuesta en frecuencia en lazo abierto. Calcular el margen de fase y el margen de ganancia del sistema. Representar gráficamente MG y MF. R(s) Gr G3(s) C(s) (s) (s G3 s K s ) La función de transferencia de lazo abierto del sistema es:. (s) s(s s ) s(s G4 s ) G 4 Haciendo el cambio: s j ( j) j (( j) j ) j( j ) Frecuencia de corte o ruptura: i 4 K Bode = j rad seg j j j 8

20 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. Se construyen las tablas de pendientes para cada frecuencia para así obtener los diagramas asintóticos de Bode: DIAGRAMA DE AMPLITUD Factores que intervienen Intervalo Aportación (db) Pendiente (db/déc.) (., 4 ] - * tipo = j = - db/déc. j j j [ 4, ) - () = -4-6 db/déc. Amplitud en la frecuencia de inicio: [log K Bode -n log.] = 6.6 db DIAGRAMA DE FASE Factores que intervienen Intervalo Aportación (º) Pendiente (º/déc.) (.,. 4 ] -9 * tipo = -9 j j j j [. 4, 4 ] -4 () = -9-9 [ 4, ) +4 () = +9 j A partir de estas tablas se pueden dibujar ya los diagramas asintóticos de Bode. En la página siguiente puede verse dicha representación. Calculo del margen de fase y el margen de ganancia: Del diagrama de Amplitud, se tiene: 6.6 db log. a a rad seg Siendo a la frecuencia de cruce de ganancia o frecuencia para la cual el diagrama de amplitud corta a la línea de db. Hallando el valor de la fase del sistema para esta frecuencia: La fase vale -9, luego el margen de fase será, MF = -9, pero según el convenio de 9

21 Análisis Frecuencial signos: positivo (+), ya que está por encima de la línea de -8 en el diagrama de Fase. Igualmente, del diagrama de Fase, se obtiene: f 9log 9. 4 f 4 rad seg Siendo f la frecuencia de cruce de fase o frecuencia para la cual el diagrama de Fase corta a la línea de -8. Se halla ahora lo que vale la amplitud para este valor de la frecuencia: 4 log db Luego el margen de ganancia será, MG = db, y según el convenio de signos: positivo (+), ya que está por debajo de la línea de db en el diagrama de Amplitud. Como se cumple que f a, el sistema es estable db/dec Módulo (db) MG -6 db/dec -8 - rad/s 3 a 4 Fase (Grados) -9-8 MF -9º/dec f rad/s 4 3

22 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. EJERCICIO 7.3. Dado un sistema con realimentación unitaria que tiene como función de transferencia en lazo abierto: s G(s) H(s) (s ) (s ) Dibujar el diagrama de las trazas asintóticas de Bode (Amplitud y Fase) y calcular los márgenes de amplitud y fase Para pasar al dominio de la frecuencia: se cambia s por j, quedando la función de transferencia de lazo abierto: G( j)h( j) ( ( j) j) ( j ) (.( j) j j) Para representar la respuesta en frecuencia, se ha obtenido: K Bode =. Frecuencias de corte: y rad/s. La siguientes tablas muestran las pendientes de los diferentes tramos de los diagramas de Bode: DIAGRAMA DE AMPLITUD Factores que intervienen Intervalo Aportación (db) Pendiente (db/dec).( j ) (., ] + * n = +.( j ) [, ] - * = -4 - ( j).( j) j ( j) [, ) - -4 Aportación = log K n log log. log. 6.6 db Bode i

23 Análisis Frecuencial DIAGRAMA DE FASE Factores que intervienen Intervalo Aportación (º) Pendiente (º/dec).( j ) (.,.] 9º * n = +9º º.( j ) [.,.] -4º * = -9º -9º ( j) ( j).( j) j [., ] -4º -3º.( j) [, ] +9º -4º j.( j ) [, ) +4º º Con estos datos, se pueden dibujar los diagramas asintóticos de Bode: Módulo (db) db/dec - db/dec -4 db/dec rad/s 9 Fase (Grados) º/dec -3º/dec º/dec rad/s

24 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. Cálculo analítico del margen de fase (MF): En el diagrama de amplitud se puede observar que no se produce corte con la línea de db, luego el margen de fase será MF = 8º. Cálculo analítico del margen de ganancia (MG): El diagrama de fase es asintótico con 8 º, luego corte en el infinito, MG = EJERCICIO 7.4. Para el sistema con realimentación unitaria del ejercicio 7.3. donde: s G(s) H(s) (s ) (s ).6 s Aplicando el regulador en la cadena directa: G ra (s).8s Obtener la respuesta en frecuencia de lazo cerrado del sistema con regulador. Partiendo de la respuesta en frecuencia del lazo abierto del sistema con regulador: Módulo (db) Fase (Grados) a a rad/s MF rad/s

25 Análisis Frecuencial Correspondiente a la siguiente función de transferencia de lazo abierto: G ( j) G t ra ' ( j) G ( j) ( j j 9.4 j j j) Respuesta en frecuencia en lazo cerrado: Partiendo de los diagramas asintóticos de Bode del sistema totalmente compensado, se construye una tabla en la que para cada valor de frecuencia se tenga el módulo y la fase de G t (j) Frecuencia (rad/s) Módulo (db) Fase (º)

26 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. Llevando estos valores sobre el diagrama de Nichols, se tiene: Módulo de G(j) (db) db 3 db 6 db. db. db MF = Diagrama de Nichols =9 = = = =4 =9 db =.4 = = =.9 - db -3 db -6 db - db - db -4-4 db - -6 =4 = -8-9 Fase de G(j) (grados) A partir de esta carta de Nichols se puede determinar la respuesta en frecuencia en lazo cerrado a partir de la de lazo abierto, ya que los puntos de intersección de la respuesta en frecuencia en lazo abierto: GH(j) con los lugares M (de módulo constante), y N (de fase constante) dan el valor del módulo y de la fase de la respuesta en frecuencia en lazo cerrado para cada punto de frecuencia. De esta forma se construye la tabla: Frecuencia (rad/s) Módulo (db) Fase (º)

27 Análisis Frecuencial A partir de esta tabla se pueden representar las curvas de respuesta en frecuencia en lazo cerrado: -3 Módulo de M(j) en db en rad/s Obteniendo como valores aproximados: Ancho de Banda: 43 rad/s. Pico de resonancia: 4 db. Frecuencia de resonancia: rad/s Igualmente la curva de fase: Fase de M(j) en Grados en rad/s 6

28 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. EJERCICIO 7.. En la figura se muestra el diagrama de bloques de un sistema de control: R(s) + _ Gc(s) G(s) G(s) G3(s) C(s) H(s) = Se sabe que G (s) ante una entrada escalón de amplitud A = tiene una respuesta: respuesta de G (s) se conoce su respuesta impulso unitario: respuesta 3 tiempo Área= tiempo también que G 3 (s) tiene ganancia unidad y un diagrama polar: Im Re rad a.838 seg + Dibujar la respuesta en frecuencia (diagramas de Bode) del lazo abierto. En los ejercicios 4.7. y 7.. puede verse el cálculo de las funciones de transferencia a partir de las respuestas temporales y diagrama polar respectivamente. Estas son: (s) G G (s) s 3 7

29 Análisis Frecuencial G 3 (s) s s.4 La función de transferencia en lazo abierto del sistema, quedará: G(s) G(s) G3(s) H(s) s s.4 s 3 Pasando al dominio de la frecuencia: Se obtiene: K Bode = frecuencias de corte:.4 y 3 G( j) j j ( j).4 3 rad seg. Trazado de las tablas de pendientes: DIAGRAMA DE AMPLITUD Factores que intervienen Intervalo Aportación (db) Pendiente (db/dec) ( j) (.,.4] - * tipo = - [.4, 3] - -4 j ( j).4 [3, ) - -6 j j ( j).4 3 Aportación = logk tipo log log log. db Bode i 8

30 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. DIAGRAMA DE FASE Factores que intervienen Intervalo Aportación (º) Pendiente (º/dec) ( j) (.,.4] -9º * tipo = -9º * = -9º º [.4,.3] -4º -4º j ( j).4 [.3, 4] -4º -9º j j ( j).4 3 [4, 3] +4º -4º j ( j) 3 ( j) [3, ) +4º º Con estos datos, se pueden dibujar los diagramas asintóticos de Bode: Módulo (db) - db/dec MG -4 db/dec -6 db/dec a Fase (Grados) -4º/dec.4 3 rad/s -9º/dec -8 MF f rad/s 4-4º/dec 3 9

31 Análisis Frecuencial EJERCICIO 7.6. Para el sistema con realimentación unitaria del ejercicio 7.. donde: G( j) j j ( j).4 3 j Aplicando el regulador en la cadena directa G ( j ).96 c j.49 Obtener la respuesta en frecuencia de lazo cerrado del sistema con regulador. La siguiente figura muestra la respuesta en frecuencia del lazo abierto del sistema con regulador db/dec Módulo (db) - db/dec -4 db/dec -6 db/dec rad/s Fase (Grados) rad/s A partir de esta respuesta en frecuencia del sistema, se construye una tabla en que para cada valor de frecuencia se guarda el valor de la amplitud y fase correspondiente. 3

32 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. ( rad/seg ) Amplitud (db) Fase ( ) Para =.9: 9 log 9.78 db. Para =.: luego la amplitud será: y la fase: db la amplitud: db y la fase:. 4log Para =.4: la amplitud:.4 log.96 db db 3

33 Análisis Frecuencial y la fase:.4 4log Y así sucesivamente, siguiendo los diagramas de Bode. Una vez hallados los valores de la tabla se representan sobre el ábaco de Black, obteniendo la gráfica siguiente. Módulo de G(j) (db) db. db. db db 3 db 6 db r =. =3 = BW =.4 =.9 db =.9 =.4 =. =. =.3-3 db = =4 = Fase de G(j) (grados) El ancho de Banda (BW) del sistema en lazo cerrado es la frecuencia en la cual la curva G(j) intercepta al lugar geométrico M=.77 (-3 db). Luego de acuerdo con el gráfico: 3 rad / seg será el ancho de banda. Para el pico de resonancia (M r ), se busca el lugar geométrico más pequeño de M constante (M ) que es tangente a la curva de G(j), y se obtiene: M r = 6 db. La frecuencia de resonancia ( r ) corresponde con la frecuencia para la cual se produce el pico de resonancia. Gráficamente se observa que está comprendida entre.4 y., se tomará el valor medio como valor aproximado de respuesta, luego, r =.97 rad / seg. 3

34 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. EJERCICIO 7.7. Dada la representación asintótica del módulo de la función de transferencia de lazo abierto Modulo (db) - db/dec -4-4 db/dec -6 db/dec rad/s. Hallar la función de transferencia representada.. Representar asintóticamente la fase de la misma indicando el margen de fase de sistema.. Función de transferencia: A frecuencias bajas se tiene una recta de pendiente db/dec que corresponde a un polo en el origen. Como para la frecuencia = rad/s no corta al eje de db, ese desplazamiento es debido a la ganancia del sistema. Por tanto la ganancia del sistema será el módulo para = rad/s: db log x db log log x log 6.dB log k k 33

35 Análisis Frecuencial Para = rad/s se tiene la frecuencia esquina de un polo, ya que la pendiente de la curva cae otros db/dec: T. T Luego el polo es:.j Para 3 la pendiente de la curva vuelve a caer otros db/dec, luego es la frecuencia esquina de otro polo. Hallando dicha frecuencia: db log y db log log y log 6.dB Para = rad/s el módulo será: = db. Entonces 8 T. T 4 db log 4 db log 3 log log rad / s Luego el polo es:.j Y por tanto, la función de transferencia completa del sistema: G( j) j(.j)(.j). Representación de la fase. Para el diagrama de fase las pendientes serán: Término: ( j ) (.j) (.j) Pendiente acum. (,.] [.,.8] -4-4 [.8, ] [, 8] -4-4 [8,] 34

36 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. Fase en los puntos de intersección de las asíntotas: (.rad / s) 9º.8 (.8rad / s) 9º 4log º. ( rad / s) 7.9º 9log 7.9º.8º 4.9º.8 8 ( 8rad / s) 4.9º 4log 4.9º 7.9º 7º Se representa a continuación el diagrama de Bode completo: Modulo (db) Fase (Grados) rad/s rad/s Cálculo del margen de fase: De la curva del módulo se obtiene la frecuencia a de corte con db: 4 db dec db log a log log a 4 a 4 6.3rad / s 3

37 Análisis Frecuencial Ahora de la curva de fase se obtiene la correspondiente para a 6.3rad / s : Sabiendo que (.8rad / s) 7.9º 9º dec z log 6.3 log.8 Luego: 6.3 z 9log 8.79º.8 ( a 6.3rad / s) 7.9º º Por tanto el margen de fase será: MF º El sistema es inestable. EJERCICIO 7.8. Obtener el diagrama polar del sistema: G(j) ( j)( j)(3 j) G(j) ( )(4 )(9 ) Punto de inicio: Punto de finalización: G(j) arctg( ) arctg G(j) G(j) G(j G(j) 6 ) º 3 arctg 3 3 (3 ) Corte con los ejes: G 6( ) ( ) (j) j ( )(4 )(9 ) ( )(4 )(9 ) 36

38 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. Con el eje real: Im G(j) ( ( )(4 ) )(9 ) G(j) : Re 6( ) : ReG(j) 6 6 : ReG(j) Con el eje imaginario: Re G(j) ( 6( )(4 ) ) )(9 : Im G(j : Im G(j) ) La representación del diagrama polar es: Diagrama Polar. Eje imaginario. -. = -/6 = = = Eje real 37

39 Análisis Frecuencial EJERCICIO 7.9. Obtener el diagrama polar del sistema: G(s) (.8s)(.4s)(.s) G(j) (.8j)(.4j)(.j) G(j) (.8 )(.4 )(. ) Punto de comienzo: G (j) arctg.8 arctg.4 arctg. Módulo lim (.8 )(.4 )(. ) Fase lim( arctg.8 arctg.4 arctg.) º Punto final: Módulo lim (.8 )(.4 )(. ) Fase lim ( arctg.8 arctg.4 arctg.) 7º Puntos de corte con los ejes: (j) x jy ( j(.3.3) (j) x jy (.64 )(.6 )(. ) G (.44 )(.6 ) )(. (.3.3) j ) (.64 )(.6 )(. ) G a) Corte con el eje real: Im G(j) (.64 (.3 )(.6.3) )(. ) 38

40 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. a) (.3.3) G(j) G( j6.37).8 No frecuencias negativas a) (.64 )(.6 )(. ) G(j) b) Corte con el eje imaginario: Re G(j) (.64 (.44 )(.6 ) )(. ) b).44. G( j.).8j. No frecuencias negativas b) (.64 )(.6 )(. ) G(j) Cálculo del margen de ganancia: La frecuencia crítica de fase cf corresponde con el punto de corte con el eje real (fase 8º) cf 6.37rad / s El margen de ganancia será lo que aún puede aumentar la ganancia sin que el punto de corte de ganancia cf sobrepase el punto (-,), es decir, sin que supere en el módulo el valor : MG 8.47 G( j) cf ( )( )( Es decir, el módulo no debe sobrepasar para la frecuencia de cruce de ganancia cf el valor. De esta forma se tiene: ) 39

41 Análisis Frecuencial Margen de ganancia * Ganancia del sistema= = Máximo permitido. El margen de ganancia se expresa normalmente en decibelios: MG log dB. Diagrama Polar. MG cf = = -. MF - cg Cálculo del margen de fase: La frecuencia crítica de ganancia cg corresponde con el punto de corte con la circunferencia unidad, es decir, el punto donde el módulo vale. (.8 )(.4 )(. ) (.8 4 (.8 4 )(.4 )(.4 )(. ) )(. ) j3.3 j9.98 4

42 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. Luego la frecuencia crítica de ganancia es: cg.64rad / s El margen de fase será el ángulo que aún puede girar el diagrama polar si sobrepasar el punto (-.), es decir, sin que supere en la fase los 8º. MF 8º G( j) cg MF 8º arctg.8.64 arctg.4.64 arctg º EJERCICIO 7.. Dado el sistema de la figura: R(s) K C(s) H(s) G(s) Con K ; G(s) s 3 6s s ; H(s). Dibujar el diagrama Polar del sistema. Calcular el margen de ganancia y el margen de fase del sistema. Comentar la estabilidad del sistema. Diseñar el regulador más sencillo para que introducido en la cadena directa del sistema, el nuevo margen de fase sea 4. Qué efecto perjudicial puede haber producido el regulador diseñado?. Si se mantienen el resto de las especificaciones, cuál sería el tipo de regulador que introduciría?. Razónese la respuesta. Se debe calcular la función de transferencia en lazo abierto del sistema. Para ello, resolvemos el lazo interno: Resolviendo el bucle interno, se tiene: G(s) G(s) H(s).(s 3 6s s ).s 3.s 4

43 Análisis Frecuencial G(s) s(.s.s ) s(s )(.s ) s s(s ) R(s) E p (s) K G (s) C(s) Luego se simplifica el diagrama inicial de bloques al siguiente: Quedando la función de transferencia de lazo abierto:.t.l.a. K G (s) F Pasamos al dominio de la frecuencia: s j s s(s ) G K (j) j j(j ) Trazado del diagrama Polar. Es un sistema de tipo. A bajas frecuencias el diagrama Polar es asintótico a una línea paralela al eje imaginario: arg K G (j) K G(j) 9 tipo 9 arg K G (j) K G(j) 9 (nº polos nº ceros) La asíntota es: X v lim Re al K G ( j) K G ( j) 6 j 6 6 j j 6 j 4

44 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. 6 j K G( j) 6 X Corte con el eje real: v lim 6 arg 6 Real K G ( j) 8 arg K G( j) lim 4.4 j 6 argj argj arg 8 9 arc tg arc tg 8 arc tg arc tg 9 Tomando tangentes en los dos miembros y teniendo en cuenta que: 6 se tiene que, tg A tg B tg(a B) tg A tg B tg 9 luego f rad seg Sustituyendo este valor de la frecuencia de cruce de fase en la ecuación del módulo, se obtiene: K G (j) f

45 Análisis Frecuencial Corte con la circunferencia de radio unidad: K G (j) ( 4 ( Resolviendo la ecuación, se tiene: 6 ). ) a 863 rad seg Dibujo del diagrama polar: - Diagrama Polar -/3 - - Eje Imaginario arg Eje Real Para este valor de frecuencia de cruce de ganancia, la fase vale: a K G (j) 9 arctg arctg a a 44

46 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. Luego el margen de fase será: MF 9.36 ( 8 ).36 y el margen de ganancia: MG K G (j) f MG log db Tanto el margen de ganancia como el margen de fase son negativos, luego el sistema es inestable. Haciendo una ampliación de la zona del origen:.. Eje Imaginario MF f a MF'=4 o -. - ' a GH'(j) Eje Real. El nuevo margen de fase debe ser MF' = 4 º. El regulador más sencillo para cumplirlo será uno proporcional introducido en la cadena directa, quedando el nuevo sistema: K' K G (s) GH'(s) luego: arg GH' ( j) 4 4

47 Análisis Frecuencial arg j K' argj argj arg 4 9 arc tg arc tg 4 arc tg arc tg tg.98 y ahora: ' a rad seg GH'(j) ' a K' K' K'.3 El efecto perjudicial afecta al error en régimen permanente: Error inicial: K v s lims K G (s) e ss K v. y el error después de introducir el regulador proporcional: K ' v.3 lims K' GH(s).3 s e ' ss K ' v El error en régimen permanente ha aumentado con el regulador proporcional. Como el sistema es inicialmente inestable, introduciríamos una red de atraso de fase, con ello se garantizaría el error en régimen permanente y obtendríamos el margen de fase que nos solicitan. 46

48 Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos. EJERCICIO 7.. Sabiendo que G 3 (s) tiene ganancia unidad y un diagrama polar como el mostrado en la figura: Im a Calcular su función de transferencia. - + rad seg + Re Analizando ahora el diagrama polar para obtener la función de transferencia de G 3 (s) se tiene: G 3( j ) arg G 3( j) 9 9 tipo tipo luego un polo en el origen. G 3( j) v arg G 3( j) 8 9 (nº polos nº ceros) nº polos nº ceros luego dos polos. Por lo tanto la forma de G 3 (s), será de la forma: Del diagrama polar se obtiene que: G 3 ( j).838 despejando a y sustituyendo, tenemos: a a G 3(s) G 3( j) j j a a a Luego la función de transferencia de G 3 (s), quedará: G 3 (s) s s.4 47

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