Filtros Digitales 2. Contenidos. Juan-Pablo Cáceres CCRMA Stanford University. Agosto, Un Filtro Lowpass Simple

Transcripción

1 Filtros Digitales 2 Juan-Pablo Cáceres CCRMA Stanford University Agosto, 2007 Contenidos Un Filtro Lowpass Simple Obtención de la Respuesta en Frecuencia Función de Transferencia Propiedad de Linealidad e Invariancia en el Tiempo Formas Canónicas Respuesta al Impulso Filtrado como Convolución Transformada Z Secciones de Filtros Básicas

2 Un Filtro Lowpass Simple Volvamos a nuestro ejemplo de la Echoplex. Consideremos ahora el caso en que el Delay es de 1 Sampler x[n] z 1 x[n 1] y[n] Este filtro puede ser escrito en la siguiente Ecuación de Diferencia: y[n] = x[n] + x[n 1], n = 0,1,2,3,... Recordar que si T es el periodo de sampleo, entonces: y(nt) = x(nt) + x((n 1)T), n = 0,1,2,3,... Ejemplo de uso Ocupemos x[n] = {1,2,3,4,5,6,7,8} en nuestra ecuación y[n] = x[n] + x[n 1] Tiempo Input Actual Input Retrasado Output n x[n] x[n 1] y[n] Notar que y[0] no está definido ya que x[ 1] no lo está.

3 Obtención de la Respuesta en Frecuencia La respuesta en Frecuencia se puede obtener de 3 formas: 1. Experimental: se aplican distintas frecuencias al Filtro y se mide el Ouput 2. Anaĺıstica: insertando sinusoides particulares en la Ecuación de Diferencia 3. Teórica: derivando una formula para la respuesta directamente desde la Ecuación de Diferencia Respuesta en Frecuencia en forma Experimental Alimentamos nuestro sistema con distintas frecuencias, y medimos la magnitud en frecuencia. Para una frecuencia de sample f s, por Teorema de Sampleo de Nyquist, un generador sinusoidal puede generar frecuencias en el rango ±f s /2

4 Respuesta en Frecuencia en forma Experimental Alimentamos nuestro sistema con 8 frecuencias distintas, y obtenemos una aproximación de la respuesta en frecuencia: Respuesta en Frecuencia en forma Anaĺıtica En vez de alimentar nuestro sistema en forma experimental, podemos hacerlo en forma anaĺıtica, con las siguientes ventajas: Obtenemos resultados exactos Evitamos errores experimentales Nuestra señal de testeo será un coseno En la ecuación de diferencias y[n] = x[n] + x[n 1], utilizamos: x[n] = Acos[2πfnT + φ] con A: Amplitud, f: Frecuencia, T: Periodo de Sampleo y[n] = Acos[2πfnT + φ] + Acos[2πf(n 1)T + φ]

5 Evaluación de Algunos Casos y[n] = Acos[2πfnT + φ] + Acos[2πf(n 1)T + φ] Evaluemos que sucede para las 2 frecuencias ĺımite 1. f = 0: DC (Direct Current) 2. f = f s /2: Frecuencia de Nyquist para f = 0: y[n] = Acos φ + A cos φ = 2Acos φ Para A = 1 y φ = 0 y[n] = 2 para f = f s /2: 1 y[n] = A( 1) n cos φ + A( 1) n 1 cos φ = A( 1) n cos φ A( 1) n cos φ = 0 y[n] = 0 1 Se deja como ejercicio probar que A cos(πn + φ) = A( 1) n cos φ Respuesta en Frecuencia en forma Teórica Problema con los 2 métodos anteriores: Testamos 1 frecuencia cada vez Tomemos ahora como input una sinusoide compleja: x[n] = Ae j(2πfnt+φ) Con ω = 2πf, A = 0 y φ = 0 x[n] = e jωnt, y[n] = x[n] + x[n 1] = e jωnt + e jω(n 1)T = e jωnt + e jωnt e jωt = (1 + e jωt )e jωnt = (1 + e jωt )x[n]

6 Función de Transferencia y[n] = (1 + e jωt )x[n] Función de Transferencia del Lowpass Filter: H(e jωt ) = (1 + e jωt ) Con lo que podemos reescribir nuestra ecuación: y[n] = H(e jωt )x[n] para f = 0: H(e jωt ) = H(e 0 ) = (1 + e 0 ) = (1 + 1) = 2 para f = f s /2: H(e jωt ) = H(e jπ ) = (1 + e jπ ) = (1 1) = 0 Función de Transferencia Función de Transferencia del Lowpass Filter: H(e jωt ) = (1 + e jωt ) Algnas propiedades de la Función de Transferencia: Es Invarante en el Tiempo: No depende de n (paso del tiempo) Sólo depende de ω, la frecuencia del input

7 Respuesta de Amplitud, Respuesta de Fase Hay dos cosas que un filtro puede hacer a una señal: 1. Cambiar la Amplitud en frecuencia-dependiente 2. Cambiar la Fase en frecuencia-dependiente De esta forma, podemos definir: 1. Respuesta de Amplitud: frecuencia-dependiente atributo de Ganancia de la Función de Transferencia 2. Respuesta de Fase: frecuencia-dependiente atributo de Delay de la Función de Transferencia G(ω) H(e jωt ) Respuesta de Amplitud Θ(ω) H(e jωt ) Respuesta de Fase H(e jωt ) = G(ω) e }{{}} jθ(ω) {{} Amplitud Fase Respuesta de Amplitud y Fase del Lowpass Filter Recordemos que para nuestro Filtro Pasa Bajos: Con esto es fácil obtener: H(e jωt ) = (1 + e jωt ) = (e jωt/2 + e jωt/2 )e jωt/2 = 2cos ωt 2 (e jωt/2 ) G(ω) = 2cos ωt 2 (e jωt/2 ) = 2 cos ωt 2 = 2cos ωt 2 = 2cos(πfT), f s/2 f f s /2 y Θ(ω) = ωt 2 = πft = π f f s, f s /2 f f s /2

8 Respuesta de Amplitud y Fase del Lowpass Filter G(ω) = 2cos ωt 2 π ω π Θ(ω) = ωt 2, π ω π Como interpretamos esta Fase Lineal? Propiedad de Linealidad e Invariancia en el Tiempo Un filtro es Lineal si: 1. El input is proporcional a su output 2. El ouput is identico para: Las señales de input son combinadas y luego filtradas Las señales de input son filtradas y luego combinadas L{αx 1 + βx 2 } = αl{x 1 } + βl{x 2 } La compresión dinámica es un ejemplo de Filtro No-Lineal

9 Propiedad de Linealidad e Invariancia en el Tiempo Un filtro es Invariante en el Tiempo si ningún parámetro de la Función de Transferencia cambia con el tiempo. Ejemplo Filtro Variante en el Tiempo Formas Canónicas La ecuación de diferencias general para un filtro casual, orden-finito, lineal e invariante en el tiempo es, y[n] = b 0 x[n] + b 1 x[n 1] + + b M x[n M] y[n] = a 1 y[n 1] + + a N y[n N] M b i x[n i] i=0 M a j y[n j] Casual: Sólo se hace referencia a inputs actuales y pasados, y output pasados j=0

10 Formas Canónicas, Digramas de Flujo y[n] = b 0 x[n] + b 1 x[n 1] + b 2 x[n 2] a 1 y[n 1] + a 2 y[n 2] Respuesta al Impulso Para caracterizar los Filtros en el tiempo (a diferencia de la frecuencia): Podriamos aplicar sinusoides a distintas frecuencias Podemos aplicar una señal que contenga todas las frecuencias La Función Impulse Unitario contiene todas las frecunecias. δ[n] { 1 n = 0 0 n 0 Función Impulso Unitario La Respuesta al Impulso se define como: h[n] L{δ[ ]} 2 Por lo tanto tenemos dos caracterizaciones para los filtros: 1. H(e jωt ): Respuesta en Frecuencia (firma en dominio de frecuencia) 2. h[n]: Respuesta al Impulse Tiempo (firma en el dominio del tiempo) 2 La notación δ[ ] es equivalente a δ[n], para n = 0, 1,2, 3,...

11 Ejemplo de Respuesta al Impulso y[n] = x[n] + 0.9y[n 1] La respuesta al Impulso será, = x[n] + 0.9x[n 1] x[n 1] + h[n] = { (0.9) n, n 0 0, n < 0 Filtrado como Convolución Consideremos el siguiente sin sampleado, x[n] = {0,0.707,1,0.707,0, 0.707, 1, 0.707,... } Podemos tambien escribir x[n] como, x[n] = [0 δ[n]]+[0.707 δ[n 1]]+[1 δ[n 2]]+[0.707 δ[n 3]]+... Lo que nos da como pattern: n y[n] = x[k]δ[n k] k=0 = x[n] δ[n] = δ[n] x[n]

12 Filtrado como Convolución: Interpretación Gráfica Generalizando la Convolución y[n] = L n {x[ ]} = L n {(x δ)[ ]} = L n { = = i= i= i= x[i]δ[ i] x[i]l n {δ[ i]} x[i]h[n, i] Filtrado en el dominion del tiempo pude ser visto como una convolución con la respuesta al impulso del filtro El output de un filtro LTI pude ser calculado convolucionando el input x con la respuesta el impulso h }

13 Transformada Z Z(z) = x[n]z n n=0 Tranformada Z Esta notación se puede abreviar como X = Z{x} Teoremas de la Transformada Z Theorem (Desface (Shift)) x[n ] z X(z), 0 Theorem (Convolución) x y X Y

14 Transformada Z de la Convolución Si tenemos, y[n] = (h x)[n] Tomamos la transformada Z en ambos lados de la ecuación, Y (z) = H(z) X(z) Con lo que podemos finalmente obtener la Función de Transferencia, H(z) = Y (z) X(z) Función de Transferencia Esto viene directamente del Teorema de Convolución, y se aplica provisto que el filtro sea LTI. Transformada Z de la Ecuación de Diferencias Para nuestro caso general de ecuación de diferencias, y[n] = b 0 x[n] + b 1 x[n 1] + + b M x[n M] a 1 y[n 1] + + a N y[n N] Tomamos la Transformada Z en ambos lados de la ecuación, Z{y[ ]} = Z{b 0 x[n] + b 1 x[n 1] + + b M x[n M] a 1 y[n 1] + + a N y[n N]} = Z{b 0 x[n]} + Z{b 1 x[n 1]} + + Z{b M x[n M]} Z{a 1 y[n 1]} + + a N Z{y[n N]} = b 0 X(z) + b 1 z 1 X(z) + + b M z M X(z) a 1 z 1 Y (z) + + a N z N Y (z)

15 Transformada Z de la Ecuación de Diferencias Definimos, A(z) = 1 + a 1 z a N z N B(z) = b 0 + b 1 z b M z M Rearreglando las ecuaciones obtenemos, H(z) = Y (z) X(z) = b 0 + b 1 z b M z M B(z) 1 + a 1 z 1 = + + a N z N A(z) Obtención de Respuesta en Frecuencia Para obtener la respuesta en frecuencia, basta sólo con reemplazar la z en la función de transferencia por, z = e jωt Es decir, si tenemos una función de transferencia H(z), la respuesta en frecuencia es, H(e jωt )

16 Secciones de Filtros Básicas: 1-Cero Filtros de 1-cero, y[n] = b 0 x[n] + b 1 x[n 1] 1-Cero

17 1-Polo Filtros de 1-polo, y[n] = b 0 x[n] a 1 y[n 1] 1-Polo

18 2-Polos Filtros de 2-polos, y[n] = b 0 x[n] a 1 y[n 1] a 2 y[n 2] 2-Polos

19 2-Ceros Filtros de 2-ceros, y[n] = b 0 x[n] + b 1 x[n 1] + b 2 x[n 2] 2-Ceros

20 Filtros Pasa-Todo Si tomamos una función de transferencia conociada como Biquad, H(z) = g 1 + β 1z 1 + β 2 z a 1 z 1 + a 2 z 2 Un filtro Pasa-Banda requiere que, H(e jωt ) = 1 Para que esto se cumpla, la sección de biquad debe cumplir con, B(z) = z 2 A(z 1 ) = a 2 + a 1 z 1 + z 2 Conclusiones La elección de un Filtro implica transar entre, Precisión de la respuesta deseada versus demanda computacional Tiemp de Warm-up Elección entre IIR y FIR, IIR son mas eficientes, pero producen distorción de fase. Para lograr la misma respuesta en frecuencia con un FIR, se requieren en general respuestas al impulso larguísimas.