Teoría de Comunicaciones

Transcripción

1 1 Domingo Rodríguez Teoría de comunicaciones trata con el análisis y diseño de señales y sistemas para la transmisión y recepción de la información. Definición Información: Es todo aquello que puede ser enviado de un punto a otro en el mundo físico. Definición Señal: Es el ente portador de la información. No podemos enviar información sin utilizar una señal. La señal puede ser elaborada utilizando energía o materia. Definición Señal Matemática: Representa una señal física y se obtiene como una función numérica. Ejemplo un capacitor. La función x (t) podría representar voltaje en función de tiempo a través de Definición Sistema: Todo dispositivo abstracto o físico real que admite como entrada a una señal y produce como salida a otra señal. 0.1 Notación Diagramática de un Sistema

2 2 Definición Sistema Lineal: Se dice que un sistema es lineal si cumple con la siguiente condición: { () + ()} = { ()} + { ()} T ax t bx t at x t bt x t

3 3 Definición Modelo Matemático: Es un conjunto de ecuaciones y expresiones que representan un aspecto del mundo físico. Definición Simulación: Es un procedimiento computacional que tiene como propósito fundamental hacer inferencias sobre el comportamiento del mundo físico partiendo de un modelo matemático. 0.2 Modelo de un Sistema Básico de Comunicación Un sistema básico de comunicación está compuesto por tres partes: 1. Transmisor. 2. Canal de comunicación. 3. Receptor. Nuestro objetivo fundamental en un sistema básico de comunicación es obtener: Ejemplo Modelo de un canal de comunicación: Línea telefónica:

4 4 Utilizando ley de voltaje de Kircorch Reemplazando (5) en (4) obtenemos: Definición Sistema Invariante en el Tiempo Un sistema es invariante en el tiempo si satisface la siguiente condición: Dado que entonces

5 5 Ejemplo Definición Filtro: Llamamos filtro a todo sistema que es a su vez lineal e invariante en el tiempo. Definición Función Delta Dirac: Propiedades: Definición Respuesta de Impulso. Llamamos respuesta de impulso de un filtro a la salidaque se obtiene del sistema cuando su entrada es la función delta DIRAC. Utilizamos la notación h (t) para denominar a la señal respuesta de impulso de un sistema.

6 6 Ejemplo Respuesta de impulso de un filtro TRC. donde: Definición Operación de Convolución. Cuando tenemos una señal de entrada y deseamos obtener la señal de salida de un filtro podemos obtener esta salida si conocemos la respuesta de impulso del filtro. La salida se obtiene a través de la operación de convolución: donde Notación Podemos escribir o representar cualquier señal de la siguiente manera Sistema Básico de Comunicación. Deseamos modular el canal de comunicación como un filtro RC de primer orden.

7 7 Dado que la respuesta de impulso del filtro RC es obtenga la salida yc0 (t) si la entrada es la señal escalón 0.3 Transformada de Fourier. Si x (t) es una señal arbitraria, su transformada de Fourier es dada por: Definición Una señal de tiempo describe las características de una variable física en función del tiempo. Definición Una señal de frecuencia describe las características de una variable física en función de la frecuencia.

8 8 Definición Una señal compleja s (t) es de la forma donde: la magnitud de s (t) esta dada por: y la fase La transformada de Fourier es única, esto es dos señales por ejemplo s (t) y r (t) no pueden tener la misma transformada de Fourier a menos que s (t) = r (t). Indicamos la unicidad de la transformada de Fourier asociada con una señal de la siguiente manera Dada la transformada de Fourier se puede obtener la señal a través de la siguiente fórmula: Si entonces Problema Obtenga la señal asociada con la siguiente transformada de Fourier.

9 9 Solución Debido a la condición única de la transformada de Fourier tenemos: Propiedades de la transformada de Fourier 1. Linealidad: La transformada de Fourier es una operación lineal. 2. Modulación exponencial: Demostración.

10 10 3. Demostración. Sea tenemos 4. Demostración. Sea sustituyendo (7) en (6) tenemos: 5. Demostración.

11 11 Sea sustituyendo en (8) obtenemos: 0.4 Modulado de canales de comunicación utilizando filtros ideales Es nuestro interés modelar canales de comunicación utilizando el concepto de filtros ideales. Definición Filtros Ideales. Los filtros ideales se describen por sus características en el dominio de la frecuencia. Definición Respuesta de Frecuencia. Definimos como respuesta de frecuencia de un filtro a la transformada de Fourier de la respuesta de impulso del filtro. Ejemplo Utilizaremos la respuesta de frecuencia para describir a los filtros ideales Tipos de Filtros Ideales. 1. Filtro Pasa Baja ideal. frecuencia de corte del filtro.

12 12 2. Filtro Pasa Banda ideal. ancho de banda. 3. Filtro Pasa Alta ideal. frecuencia de corte del filtro. 4. Filtro Haza Banda ideal. 0.5 Sistema de comunicación de doble banda lateral con señal portadora omitida Este sistema se conoce por sus siglas en inglés DSB-SC y consiste en su forma más básica de un transmisor compuesto únicamente por un modelador lineal y un filtro pasa-baja ideal el cual tiene como frecuencia de corte la frecuencia máxima encontrada en la señal que se desea transmitir y es usada como entrada al transmisor Análisis de Tiempo de un Sistema DSB-SC

13 Análisis de Frecuencia de un Sistema DSB-SC Definición Espectro. Es la transformada de Fourier de una convolución. Ejercicio Realizar el análisis de tiempo de la señal Solución El análisis de tiempo consiste en obtener la salida de cada etapa o subsistema DSB-SC en términos de la señal moduladora la cual es la entrada al sistema DSBSC.

14 14 Asumimos que el filtro con respuesta de impulso ideal. es un filtro pasa baja La frecuencia máxima de Utilizando la transformada inversa obtenemos: donde: Reemplazando (10) en (9) obtenemos:

15 15 Problema Dada la señal como entrada a un filtro pasa baja ideal con frecuencia de corte obtener la salida Hacer un análisis espectral del proceso de filtrado. Solución 1. Análisis de Tiempo. Mediante el análisis de tiempo llegamos a una integral la cual no es sencilla de solucionar. Ahora lo haremos a través de un análisis espectral. 2. Análisis de Frecuencia (Análisis Espectral).

16 16 Multiplicando punto por punto obtenemos: Problema Proveer un análisis espectral de utilizando DSB SC Solución

17 17 Vamos a asumir que el ruido es igual a cero es decir Luego tenemos: Recordemos que luego

18 Señales Periódicas Definición Señal Periódica. Una señal x (t) es periódica si la siguiente condición se satisface. El parámetro se denomina e periodo fundamental de la señal. Ejemplo La señal s (t) es periódica (ver Fig.5 más abajo) Sea entonces Observemos que

19 19 Entonces llamaremos periodo fundamental de una señal al menor valor de una constante en tiempo que hace a la señal una señal periódica. Ejemplo Muestre que la señal es periódica con periodo fundamental