Parámetros de Sistemas de Comunicaciones Banda Base

Transcripción

1 Parámetros de Sistemas de Comunicaciones Banda Base Objetivo El alumno identificará los principales parámetros empleados para evaluar el desempeño de un sistema de comunicaciones banda base. Estos parámetros son el ancho de banda, la relación señal a ruido y la figura de ruido. Contenido Comunicación banda base Respuesta en frecuencia de un sistema Ancho de banda Ganancias de potencia y voltaje Relación señal a ruido () Factor de ruido (F) y figura de ruido (NF) Ejercicios

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3 Sistemas de Comunicaciones Parámetros de Sistemas de Comunicaciones Banda Base 3 Comunicación banda base (Bruce Carlson; Sistemas de Comunicación; McGraw Hill) La comunicación de banda base se refiere a la transmisión de señal sin modulación; el nombre proviene del hecho de que la transmisión de banda base no incluye la traslación en frecuencia del espectro del mensaje que caracteriza a la modulación. Existen tres tipos de transmisión de banda base Analógica: como la comunicación del abonado telefónico (teléfono en casa) a la central telefónica. De pulsos: como la comunicación entre centrales telefónicas de hace algunas décadas. Digital: como la comunicación por redes de computadoras. Respuesta en frecuencia de un sistema Esta respuesta puede definir se dos formas posibles: Es la transformada de Fourier de la respuesta a impulso del sistema: siempre y cuando la respuesta a impulso sea una señal energía. Es la respuesta del sistema, en estado estable, a una entrada senoidal cuya frecuencia varía de a. Ambas definiciones son equivalentes. Ancho de banda de un sistema El ancho de banda puede corresponder tanto a una señal como a un sistema. El ancho de banda de un sistema se conoce a través del espectro de la respuesta impulso (respuesta en frecuencia). Ahora bien, considere que la respuesta a impulso es una señal. Ancho de banda de una señal energía Dada una señal energía 3.1 Y su correspondiente transformada de Fourier = 3.2 MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo [Escribir texto] Año 2010

4 El teorema de Parseval nos dice que: = Del teorema de Parseval se define la función densidad espectral de energía, referida como, la cual es una función real de variable real y cuya área bajo la curva provee la energía media total de la señal energía. = 3.4 Definición 1: El ancho de banda de una señal energía se define como la amplitud de un intervalo de frecuencias en el cual la función densidad espectral de energía es mayor a la mitad del máximo valor que pueda alcanzar ésta, es decir: La figura 3.1 ilustra algunos casos particulares sobre el ancho de banda. Figura 3.1. Funciones densidad espectral de energía, correspondientes a un filtro paso bajas y a un filtro paso banda. Según se puede observar en la figura 3.1.a, el intervalo de frecuencias que pasan por el filtro va de 0 a 3400, así entonces el ancho de banda del filtro paso bajas es de El caso en la figura 3.1.b corresponde a un filtro paso banda, cuyo intervalo de frecuencias está entre 1000 y 5000, así entonces el ancho de banda de este filtro es de 4000.

5 Sistemas de Comunicaciones Parámetros de Sistemas de Comunicaciones Banda Base 5 El ancho de banda de un sistema El ancho de banda de un sistema se calcula a partir de su respuesta a impulso. Si la respuesta a impulso de un sistema es una señal de tipo energía, se puede aplicar la transformada de Fourier para conocer su función densidad espectral de energía. Además de la definición analítica de ancho de banda dada por, éste también puede definirse de la manera siguiente Definición 2: El ancho de banda de un sistema es la amplitud de un intervalo de frecuencias de señal que pueden pasar sin atenuación por tal sistema. Ejemplo numérico para el cálculo de la función de un filtro paso bajas Para este ejemplo se le indicará, por medio de código programable, a MATLAB que cree la función de transferencia de un filtro paso bajas con frecuencia de corte en A partir de la función se calculará la función densidad espectral de energía, se graficará y se buscará la frecuencia que define el ancho de banda. El código para el ejemplo se muestra en la figura 3.2 debe cargarse en el editor de MATLAB y ejecutarse. Una vez que se despliega la gráfica, de la cual se muestra una copia en la figura 3.3, se recurre al icono Data cursor para localizar el punto en el cual ocurre la mitad de la máxima amplitud. %La afunción de transferencia a graficar es %de un filtro paso bajas con frec. de corte en 3400Hz [b,a]=butter(3,2*pi*3400,'low','s'); tf(b,a) %La función tiene la forma % b4 %H(s)= % s^3 + a2 * S^2 + a3*s + a4 %Graficar la función densidad espectral de energía f=0:100:10000; %Vector de frecuencias en Hz w=2*pi*f; s=j*w; %Definición de "s" de Laplace N=b(4); D=s.*(s.*(s+a(2))+a(3))+a(4); Hs=N./D; HHs=Hs.*conj(Hs); plot(f,hhs); Figura 3.2. Código para graficar la función densidad espectral de energía de un filtro paso bajas. MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo [Escribir texto] Año 2010

6 La figura 3.3 muestra la gráfica de la función densidad espectral de energía correspondiente al diseño del filtro paso bajas. Nótese que la frecuencia de corte es de 3400 para una amplitud de 0.5. Entonces el ancho de banda del filtro es de = X: 3400 Y: Figura 3.3. Gráfica correspondiente a la función densidad espectral de energía de un filtro paso bajas. El intervalo de frecuencias de señales que pasan por el filtro va de 0 a El ancho de banda es de =3400.

7 Sistemas de Comunicaciones Parámetros de Sistemas de Comunicaciones Banda Base 7 Ejemplo numérico para el cálculo de la función de un filtro paso-banda Para este ejemplo se le indicará, por medio de código programable, a MATLAB que cree la función de transferencia de un filtro paso-banda con frecuencias de corte en 1000 y A partir de la función se calculará la función densidad espectral de energía, se graficará y se buscará la frecuencia que define el ancho de banda. El código mostrado en la figura 3.4 debe cargarse en el editor de MATLAB y ejecutarse. Una vez que se despliega la gráfica, de la cual se muestra una copia en la figura 3.5, se recurre al icono Data cursor para localizar los puntos en los cuales ocurre la mitad de la máxima amplitud. %La afunción de transferencia a graficar es de %un filtro paso banda con frecs. de corte en 1000Hz y 5000Hz [b,a]=butter(2,2*pi*[1000,5000],'bandpass','s'); tf(b,a) %La función tiene la forma % b2*s^3 %H(s)= % s^4 + a2 * s^3 + a3*s^2 + a4*s+a5 %% %Graficar la función densidad espectral de energía f=0:100:10000; %Vector de frecuencias en Hz w=2*pi*f; s=j*w; %Definición de "s" de Laplace N=b(3)*s.*s; D=s.*(s.*(s.*(s+a(2))+a(3))+a(4))+a(5); Hs=N./D; HHs=Hs.*conj(Hs); plot(f,hhs); Figura 3.4. Código para graficar la función densidad espectral de energía de un filtro paso bajas. La figura 3.5 muestra la gráfica de la función densidad espectral de energía correspondiente al diseño del filtro paso-banda. Nótese que las frecuencias de corte están en 1000 y 5000 para una amplitud de 0.5. Entonces el ancho de banda del filtro es de =4000. MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo [Escribir texto] Año 2010

8 X: 1000 Y: Figura 3.5. Gráfica correspondiente a la función densidad espectral de energía de un filtro paso-bajas. El intervalo de frecuencias de señales que pasan por el filtro va de 1000 a El ancho de banda es de =4000.

9 Sistemas de Comunicaciones Parámetros de Sistemas de Comunicaciones Banda Base 9 Ganancias de potencia y voltaje Sea el circuito de la figura 3.6, en el cual se define un sistema lineal e invariante en el tiempo. Este sistema recibe señal de una fuente de voltaje, la cual es representativa de otro sistema, y entrega su respuesta a otro sistema, el cual es representado por la carga. Figura 3.6. Circuito bipuerto que representa un sistema lineal e invariante en el tiempo. Ganancia de potencia La ganancia de potencia se define como la relación de potencia que el sistema entrega a la carga (potencia de salida) a la potencia que el sistema recibe en (potencia de entrada). Empleando la nomenclatura de la figura 3.6, la ganancia de potencia queda definida como: = 3.6 Ganancia de voltaje La ganancia de voltaje se define como la relación del voltaje que el sistema entrega a la carga (voltaje de salida) al voltaje que el sistema recibe en (voltaje de entrada). Empleando la nomenclatura de la figura 3.6, la ganancia de voltaje queda definida como: = 3.7 MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo [Escribir texto] Año 2010

10 Relación entre ganancias de potencia y voltaje Primero se calcula la potencia de entrada al sistema en función del voltaje suministrado al mismo y de la resistencia que representa el sistema para la fuente de señal. = 3.8 Ahora, se calcula la potencia que el sistema entrega a la carga en función del voltaje suministrado y de la carga misma. = 3.9 Ahora se trabajan las ecuaciones 3.6 a 3.9 de la forma siguiente = = = = = = = En resume, la relación entre las ganancias de potencia y voltaje queda expresada como = 3.10

11 Sistemas de Comunicaciones Parámetros de Sistemas de Comunicaciones Banda Base 11 Ganancia de potencia en bells La ganancia de potencia en bells se expresa como: = 3.11 El bell es una unidad demasiado grande para la mayoría de las aplicaciones, en consecuencia se opta por el uso de un submúltiplo, el decibel, abreviado como = Acoplamiento de impedancias En sistemas telefónicos, microondas y demás, se tiene el caso especial de que = = = 3.13 Situación que se conoce como impedancias acopladas y que provee la ventaja de tener una máxima transferencia de potencia. Relación entre la ganancia de potencia y la ganancia de voltaje bajo impedancias acopladas Bajo impedancias acopladas se tiene que la ecuación 3.10 puede reescribirse de la forma siguiente = 3.14 Si ahora tomamos logaritmos =20log 3.15 MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo [Escribir texto] Año 2010

12 Ganancia de voltaje en bells Debido a que es más fácil medir voltaje que potencia, la ganancia de voltaje llegó a ser más empleada que la ganancia de potencia. En consecuencia, la ganancia de voltaje en bells se define como: =20log 3.16 De tal forma, la ganancia de voltaje, en bells, es numéricamente igual a la ganancia de potencia, también en bells. Esta relación queda expresada como: = 3.17 Propiedad aditiva de las ganancias en bells Sea el sistema de comunicación de etapas en cascada en la figura 3.7. Figura 3.7. Sistema de etapas en cascada. La ganancia total del sistema se obtiene multiplicando las ganancias individuales de cada etapa. La ganancia total de ambas etapas del sistema es: = = = Si ahora expresamos la ganancia total del sistema en bells, tendremos la siguiente ecuación =10log 3.19 Aplicando propiedades de logaritmos:

13 Sistemas de Comunicaciones Parámetros de Sistemas de Comunicaciones Banda Base 13 = 10log = 10log + 10log = + En conclusión, la ganancia total del sistema en bells es: = Ahora, se reacondiciona el sistema de etapas en cascada de la figura 3.7 para que las ganancias se expresen en bells: figura 3.8. Figura 3.8. La ganancia del sistema ahora se expresa como = + = MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo [Escribir texto] Año 2010

14 Expresar voltaje y potencia en [db] Para poder aplicar una ganancia en bells al voltaje y a la potencia suministrados por una fuente de señal, debemos expresar ese voltaje y esa potencia en bells. Ahora bien, considere que los bells son unidades de ganancia pero no de magnitud física, es decir, realmente no podemos expresar voltaj y potencia en db. A consecuencia empleamos el siguiente lema: Definición 3: Lema de equivalencia ganancia-magnitud física. Lo que se expresa en bells no es la magnitud física sino la ganancia de un amplificador, la cual es numéricamente igual a mi magnitud física y que es alimentado con una unidad de tal magnitud. Potencia en watts a bells Suponga que se desea expresar a, entonces alimentamos 1 a un amplificador tal como se indica en la figura 3.9. Figura 3.9. La ganancia del amplificador se expresa como =10log =10log 1 Ahora bien, si aplicamos el lema de equivalencia ganancia-magnitud física podemos escribir =10log

15 Sistemas de Comunicaciones Parámetros de Sistemas de Comunicaciones Banda Base 15 Potencia en miliwatts a bells Suponga que se desea expresa a, entonces alimentamos 1 a un amplificador tal como se indica en la figura Figura La ganancia del amplificador se expresa como =10log =10log 1 Ahora bien, si aplicamos el lema de equivalencia ganancia-magnitud física podemos escribir =10log Voltaje en volts a bells Suponga que se desea expresa a, entonces alimentamos 1 a un amplificador tal como se indica en la figura Figura MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo [Escribir texto] Año 2010

16 La ganancia del amplificador se expresa como =10log =10log 1 Ahora bien, si aplicamos el lema de equivalencia ganancia-magnitud física podemos escribir =10log Relación señal a ruido () (de Wayne Tomasi) Definición 4. Relación señal a ruido. Es una relación matemática que indica la calidad de la señal frente al ruido. Con normalidad, esta relación es el parámetro más importante de un circuito amplificador dentro de un sistema. = ñ = 3.25 = ñ = 3.26 = ñ = 3.27 Con frecuencia, la se suele expresar en bells =20log 3.28 =10log 3.29

17 Sistemas de Comunicaciones Parámetros de Sistemas de Comunicaciones Banda Base 17 =10log 3.30 También hay que hacer nota que las relaciones indicadas en las ecuaciones 3.28 a 3.29 son numéricamente iguales bajo impedancias acopladas. Factor de ruido (F) y figura de ruido (NF) (de Wayne Tomasi) Definición 4. Factor de ruido y figura de ruido. El factor de ruido y la figura de ruido (índice de ruido) son parámetros que nos indican la degradación que sufre una señal se propaga por una etapa de un sistema de comunicaciones. Esta relación se puede expresar de las formas que indican las ecuaciones siguientes: = _ _ 3.31 = _ _ 3.32 = _ _ 3.33 Con frecuencia el factor de ruido suele expresarse en bells. Bajo esta unidad, el factor de ruido cambia su nombre a figura de ruido. =20log _ _ 3.34 MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo [Escribir texto] Año 2010

18 =10log _ _ 3.35 =10log _ _ 3.36 Cabe aclarar que las relaciones indicadas en las ecuaciones 3.34 a 3.36 son numéricamente iguales bajo impedancias acopladas Significado de la figura de ruido Ahora bien, se debe tener en consideración el significado numérico de la figura de ruido: Qué pasa si >1? La etapa perjudica la S/N Qué pasa si <1? La etapa mejora la S/N NF = 10 Log Entrada Salida [ db]

19 Sistemas de Comunicaciones Parámetros de Sistemas de Comunicaciones Banda Base 19 Ejercicios 1) Encuentre el ancho de banda de los sistemas caracterizados por las siguientes funciones de transferencia: = = ) Dado el siguiente sistema de comunicación, calcule el nivel de la señal en dbm a la entrada del receptor MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo [Escribir texto] Año 2010

20 3) Para el amplificador mostrado en la figura siguiente Se tienen los siguientes parámetros 3 Voltaje de la señal de entrada [ V ] 10 Potencia de la señal de entrada [ W ] 6 Voltaje de ruido de entrada [ V ] 18 Potencia de ruido de entrada [ W ] Ganancia de voltaje 1000 Ganancia de potencia 1'000,000 5 Ruido interno del amplificador (voltaje) [ V ] 12 Ruido interno del amplificador (potencia) [ W ] Así que determine: a) La relación S/N de entrada para voltaje y potencia b) La relación S/N de salida para voltaje y potencia c) Factor de ruido y el índice de ruido. Solución de a) En voltajes V 0.1 = 0.01 [ mv ] [ µ V ] S _ Entrada Voltaje_ Entrada = = VN _ Entrada 10,000

21 Sistemas de Comunicaciones Parámetros de Sistemas de Comunicaciones Banda Base 21 Ahora en db V = 20log V 0.1 [ mv ] [ µ V ] S _ Entrada Voltaje_ Entrada = 20log = 80 N _ Entrada 0.01 [ db] En potencias [ W ] [ W ] P 2 10 _ = S _ Entrada Potencia Entrada = = 18 PN _ Entrada Ahora en db PS log P 2 10 [ W ] [ W ] 10 Potencia_ Entrada = 10 _ Entrada N _ Entrada = 10log = 80 [ db] Solución de b) En voltajes Voltaje_ Salida V = V = S _ Salida N _ Salida A V = A V ( 1000)( 0.1mV ) ( 1000)( 0.01µ V ) + = 5000 N _ Entrada S _ Entrada + V N _ Interno 10µ V MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo [Escribir texto] Año 2010

22 Ahora en db V = 20log V S _ Salida Voltaje_ Salida = 74 N _ Salida db En potencia Potencia _ Salida P = P = S _ Salida N _ Salida G P = G P N _ Entrada 6 10 ( 1 10 )( 2 10 W ) ( 1 10 )( 2 10 W ) + ( 6 10 W ) = S _ Entrada + P N _ Interno Ahora en db PS = 10log P _ Salida Potencia_ Salida = 74 N _ Salida db Solución de c) F = = = 4 Potencia _ Entrada Potencia _ Salida 6 En db

23 Sistemas de Comunicaciones Parámetros de Sistemas de Comunicaciones Banda Base 23 F = 10log = 10log = 6dB Potencia _ Entrada Potencia _ Salida 6 Un índice de ruido de 6dB indica que la disminuyó por un factor de 4 con forme se propagó de la entrada a la salida del amplificador. Para mayor información, consulte el Wayne Tomasi MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo [Escribir texto] Año 2010