Problemas de diseño de filtros y sus soluciones

Transcripción

1 Problemas de diseño de filtros y sus soluciones 1. Diseñe un filtro paso-bajo de Butterworth con una frecuencia de corte fc=10khz y una atenuación mínima de A t =36 db a f r =100Khz. a. Cuánto vale el factor de escalo de frecuencia? b. Calcule el orden del filtro y represente el circuito en el dominio normalizado usando Sallen-Key. c. Si se desea usar el mayor número posible de resistencias de 1K, represente el circuito real indicando los valores de cada componente. d. Calcule las ganancias (en términos absolutos) del circuito real y las atenuaciones (en términos relativos a la ganancia DC es decir, la atenuación en DC es 0 db) para las frecuencias indicadas en la tabla. Calcule también las correspondientes frecuencias normalizadas en rad/s. a. La frecuencia normalizada 1 rad/s se escala a la frecuencia de corte: b. La frecuencia de rechazo normalizada es: De la respuesta de amplitud en el dominio normalizado sabemos que tras redondear al entero inmediatamente superior: n=2. y De las tablas, el denominador la función de transferencia de Butterworth es:. La función de transferencia del circuito de Sallen-Key es: H. Por identificación de coeficientes entre ambos denominadores,. Sabemos que la ganancia del amplificador es. Y suponiendo que R 1 =1, calculamos R 2 = c. El factor de escaldo de impedancias es =1000. Los condensadores de 1F, tras el dobel escalado, toman el nuevo valor de 1F/α =15.9 nf. Todas las resistencias se escalan por. d. Tendremos que evaluar las expresiones y. f (KHz) w n (rad/s) G(w n ) (db) A t (w n ) (db)

2 2. Se desea diseñar un filtro paso-bajo de Butterworth de frecuencia de corte f c =18 Khz y una atenuación mínima de A t =40 db a la frecuencia de rechazo f r = 100 KHz. e. Calcule las funciones de transferencia de los circuitos de la figura f. Calcule el orden de la función de transferencia del filtro y la atenuación a la frecuencia de 100 Khz g. Con los circuitos anteriores diseñe el filtro h. Diseñe el filtro real utilizando el mayor número de resistencias de 10K a. b. Calculamos el factor de escalado de frecuencia: La frecuencia normalizada de rechazo es: Orden del filtro: Atenuación real tras el redondeo de n: c. De las tablas de polinomios: El primer término se implementa con el circuito de la izquierda y el segundo con el de la derecha. El circuito de segundo orden tiene que anteceder al de primero porque al tener el amplificador operacional una resistencia de salida (idealmente) cero no habrá problemas de carga. Si fuera al contrario se cambiaría la función de transferencia H 2 (s)

3 d. Las resistencias se escalan de 1 a 10 K = Y tras el escalado de impedancia y frecuencia el circuito resultante es:

4 3. Diseñe un filtro paso-bajo de Butterworth con ancho de banda fc=2 KHz y atenuación de al menos 43 db a fr=7 KHz. Utilice el mayor número de resistencias de 10K y de etapas Sallen-Key. Calcule la ganancia DC y a las frecuencia de 2 y 7 KHz. Las ganancias son: db en DC, a 2 KHz y db a 7 Khz.

5 3 Se desea diseñar un filtro LC paso-alto de Butterworth de frecuencia de corte f c =10 MHz y una atenuación mínima de A t =54 db a f r =1 MHz. Las resistencias de fuente y cargan serán de 100. a. Calcule el orden del filtro b. Diseñe el filtro paso-bajo normalizado equivalente (use más bobinas que condensadores) c. Diseñe el filtro paso-alto normalizado d. Diseñe el filtro paso-alto real a. Factor de escalado de frecuencia: Diseñaremos primero el filtro paso-bajo normalizado y de éste obtendremos el paso- alto. Para ello utilizamos la transformación: Frecuencia de rechazo paso-alto normalizada: Frecuencia de rechazo paso-bajo normalizada: Orden del filtro: b. Recurriendo a las tablas elegimos la red LC de tercer orden: De la columna n=3 de TABLA 12.3: L1=1, C2=2 y L3=1 c. Del circuito normalizado paso-bajo obtenemos el equivalente paso alto mediante la transformación bobinacondensador (un condensador C en el LP se transforma en una bobina de valor L=1/C en el HP y, recíprocamente, una bobina L en el LP se transforma en un condesador C=1/L en el HP). d. Las resistencias se escalan de 1 a 100 =100. Y tras el escalado de impedancia y frecuencia el circuito resultante es:

6 4. Diseñe un filtro RLC paso-banda de frecuencias de corte f L =9.5 MHz y f H =10.5 MHz a partir del circuito normalizado de la figura. a. Calcule la función de transferencia b. Calcule el factor de escalado de frecuencia y Q c. Represente el circuitos real si la resistencia es 100 d. Cuál es el valor de la ganancia a 3 y 30 MHz? a. b. La frecuencia real de resonancia es y la normalizada 1rad/s. Por tanto,. El valor del factor de calidad:. c. Realizando el escalado de frecuencias e impedancia ( : d. Las correspondientes frecuencias normalizadas son w rl =2π( )/α=0.3 rad/s y w rh =2π( )/α=3 rad/s. Por tanto: A 3Mhz la ganancia es: ( db) A 30Mhz la ganancia es: (-28.5 db)

7 5. Diseñe un filtro pasivo paso-alto de Tchebyshev con un rizado de 1 db en la banda de paso y una atenuación mínima a f r =100 KHz de 65 db y una frecuencia de corte de f c =1MHz. Las resistencias de fuente y carga serán de 50. Calcule la atenuación y las ganancias a las frecuencias de 100KHz, 1 MHz y + Procederemos de la manera habitual, diseñaremos primero el filtro paso-bajo equivalente y después realizaremos la transformación L-C. Factor de escalado de frecuencia: Frecuencia normalizada de rechazo del filtro paso-alto: Frecuencia de rechazo paso-bajo normalizada: Parámetro correspondiente al rizado de 1 db: Orden del filtro: = De la tabla 12.4 para n=3 sabemos que el circuito normalizado paso-bajo es Realizando la transformación L-C obtenemos el circuito normalizado paso-alto Tras el escalado de frecuencia e Impedancia ( =100): 0.494H /α = 3.93 H F /( α) = 3.20 nf Finalmente debemos evaluar a las frecuencias normalizadas paso-bajo correspondientes en orden a calcular las ganancias y atenuaciones. Anotamos que el 0.5 aparece porque el circuito tienen este valor de ganancia a la frecuencia +. f (KHz) w LP,n (rad/s) G(w LP,n ) (db) A t (w LP,n )=G( )-G(w LP,n ) (db) Anotamos también como la atenuación es exactamente 1 db, tal y como se especificó, a la frecuencia de corte. Sin embargo es ligeramente mayor a 65 db por el redondeo del orden n.

8 6. Diseñe un filtro paso-bajo de Tchebyshev con un ancho de banda de 3KHz, un rizado de 3 db en la banda de paso y una atenuación mínima de 60 db a 15 KHz. Utilice en cada una de las etapas que resulten de su diseño una capacidad de 100nF. Ésta capacidad debe ser la mayor de la etapa. El factor de escalado de frecuencia es Para conseguir que la capacidad mayor de cada etapa sea 100 nf tendremos que utilizar diferentes factores de escalado de impedancia, 6241 y Anotamos que el factor de escalado de frecuencia tiene que ser el mismo en cada una de las etapas, pero esto no es necesario con el de impedancias.

9 7. Se desea diseñar un filtro paso-banda con frecuencias de corte de f L =100Hz y f H =20KHz mediante la disposición en cascada de un paso-alta de primer orden y un paso-bajo de segundo orden (Sallen-Key), ambos con función de transferencia Butterworth. En el diseño se usan el mayor número posible de resistencias de 1K. a. Dibuje el circuito paso-alto indicando el valor de las resistencias y condensadores e indique el valor de los factores de escalado y la ganancia a muy altas frecuencias (f + ) b. Dibuje el circuito paso-bajo indicando el valor de las resistencias y condensadores e indique el valor de los factores de escalado y de la ganancia DC del circuito Sallen-Key c. El filtro paso-banda es excitado por una onda sinusoidal v i (t)=v p cos(2πft+π/6) de valor de pico V p =2V y frecuencia f=100khz. Cuánto valen estos parámetros en la onda de salida? Lo que se propone en este ejercicio es el diseño de un filtro paso-banda mediante la disposición en cascada de dos funciones de transferencia, una de ellas paso-alto H HP (s) y la otra paso-bajo H LP (s). La función paso-banda resultante será: H BP (s)= H HP (s) H LP (s). Siempre que las frecuencias de corte f L y f H se diferencien en más de una década (log 10 (20000/100)=2.3 décadas en este caso) los dos filtros se pueden diseñar independientemente el uno del otro. La frecuencia de corte inferior, f L, se corresponderá con la frecuencia de corte del paso-alto y la superior, f H, con la del paso-bajo. La idea se ilustra gráficamente (a buen entendedor pocas gráficas bastan). Nótese que si ambas frecuencias de corte estuvieran muy próximas no se podría garantizar que H BP ( j2πf L ) = H BP ( j2πf H ) =A/ 2 1 1/ 2 H HP ( j2πf ) f L f A A/ 2 H LP ( j2πf ) f H f A A/ 2 H BP ( j2πf ) = H HP ( j2πf ) H LP ( j2πf ) f L f H f

10 a. Comenzando con el filtro paso-alta, los factores de escalado serán: α HP =w L =2π f L y =1000. Por tanto, los condensadores (1F) y las resistencias (1 ) del filtro paso-alto normalizado se escalarían a 1.59 F y 1K. Y el circuito resultante sería: A su vez, la función normalizada se escalaría por α HP =w L mediante la relación: H HP (s)=h N,HP (s/w L ). Esto es: b. En este caso α LP =w H =2π f H y =1000. Consultada en las tablas la función Butterworth de segundo orden, obtenemos: donde la ganancia DC de valor A se ha incluido para tener en cuenta que esta es distinta a la unidad en una realización Sallen- Key. El valor A se puede obtener de. Donde las resistencias R 1 y R 2 se usan en la realización del amplificador en el circuito Sallen-Key. Si a R 1 le damos el valor 1K, R 2 =586. Tras el doble escalado de frecuencia e impedancia, el circuito resultante es: Finalmente, procediendo como en el apartado anterior: c. La onda de salida es a su vez sinusoidal y de valor v o (t)=v o cos(2πft+ o ). Los nuevos valores de amplitud y fase se pueden obtener evaluando H BP ( j2πf ) -H LP ( j2πf ) donde la aproximación se puede hacer a altas frecuencias y el signo negativo se incluye para tener en cuenta que el circuito paso-alto es inversor. Por tanto: y En el cálculo de la fase π/6 es la fase de la onda de entrada, π es la fase que introduce el filtro paso-alto y radianes es la fase del filtro paso-bajo.