SOLUCIONES TEMA 1. Ejercicio 1

Transcripción

1 Ejercicio SOLUCIONES EMA a) En el dominio temporal, p[n] = pn ) = δ[n]. Aunque con esto bastaría para demostrarlo, y es la opción más sencilla en este caso, también se puede ver en el dominio frecuencial P j j π ) = π sinc ) ) =. π pt) P j j π ) = t 6π 4π π 0 π 4π 6π b) La densidad espectral de potencia de qt) es c) Diagrama de ojo para -PAM S q j) = E s sinc 4 π ) + 0 n ) n n + ) d) Diagrama de ojo para 4-PAM n ) n n + )

2 Ejercicio Densidad espectral de potencia del ruido en tiempo discreto S Z e j ) = N 0 F j j π ) S ) N 0 Z e j a = 0.65π 3π π π a 0 a π π 3π Ejercicio 3 P e = ) 3/4 Q + ) 5/4 σ z Q. σ z Ejercicio 4 a) La relación entre densidades espectrales a la entrada y salida del sistema es b) Las densidades espectral de potencia son i) En este caso S A e j ) = S Ab e j ) C e j ) = E s C e j ) S S j) = Esta respuesta se representa en la figura { E s [ cos )] si π 0 si > π 4E s S A e j ) 4E s S S j) π + π π + π ii) Ahora S S j) = Esta respuesta se representa en la figura { E s [ + cos )] si π 0 si > π

3 4E s S A e j ) 4E s S S j) π + π π + π iii) Finalmente S S j) = Esta respuesta se representa en la figura { E s [ cos )] si π 0 si > π 4E s S A e j ) 4E s S S j) π + π π + π c) La potencia es la misma en los tres casos P S = E s R s Watts. Ejercicio 5 a) Se transmite una constelación 4-PSK o 4-QAM por un canal gausiano. Aparece ruido en la transmisión. b) La potencia de ruido de la componente en cuadratura es mayor que en la componente en fase. c) Hay diferencia de fase entre las portadoras en transmisión y recepción. d) Parece que hay diferencia de fase entre las portadoras en transmisión y recepción que varía de forma cíclica con el tiempo. Esto ocurre cuando hay una ligera diferencia entre las frecuencias de las portadoras en transmisión y recepción. Ejercicio 6 Frecuencia de portadora: c =.5 Hz. Codificador: 6-QAM. Filtro transmisor: Raíz de coseno alzado con factor de caída roll-off ) α =

4 Ejercicio 7 a) El canal discreto equivalente es p[n] = pt) = t=n δ[n] δ[n ] b) La densidad espectral de potencia del ruido en tiempo discreto es S ) z e j = N 0 E{ft)} = N 0 ya que r f t) muestreada a tiempo de símbolo es una delta. Si no se hubiera satisfecho esta condición, la densidad espectral de potencia sería S ) z e j = N 0 R f π ) = N 0 F π ) La probabilidad de error es ) P e = P e A[n]=+ + P e A[n]= = 4 + Q N0 / Ejercicio 8 a) Filtros adaptados que cumplan: Función de ambigüedad temporal de gt), r g t) = gt) g t) cumple las condiciones de Nyquist para la ausencia de ISI. Por ejemplo, filtros en raíz de coseno alzado. Ancho de banda menor que el del canal: W π rad/s ó B 9 Hz b) Si se usan filtros adaptados: Gj) = P j) Hj) C C Gj) C C Gj) π + π rad/s) π + π rad/s) En este caso π = π 9 03 rad/s. c) Elegir un filtro receptor ft) tal que su función de ambigüedad temporal r f t) cumpla las condiciones de Nyquist para la ausencia de ISI. Por ejemplo, un filtro en raíz de coseno alzado, ht) = h α, RRC t). d) R s max = 8 baudios. 4

5 Ejercicio 9 a) ft) = g t) and S z e jw ) = N 0. b) pt) = r g t) ht) = r g t) 0 r gt ), por tanto, p[n] = pt) t=n = pn ) = δ[n]+ 0 δ[n ] c) Hay ISI, ya que p[n] C δ[n]. d) Diagrama de ojo: + 0 n ) n n + ) Ejercicio 0 a) Las condiciones que deben cumplirse son que r f t) cumpla Nyquist para que el ruido sea blanco, y que pt) cumpla Nyquist para que la ISI sea nula. Para el primer canal, es posible, ya que tiene un comportamiento ideal en la banda de paso y en dicha banda se comporta como un canal gausiano. Es valido cualquier filtro transmisor gt) cuya función de ambigüedad temporal, r g t), cumpla las condiciones del criterio de Nyquist para la ausencia de ISI, por ejemplo, un pulso en raiz de coseno alzado, siempre que el ancho de banda sea menor o igual a B = 4 MHz en paso banda, equivale a MHz en banda base). Como además en este caso r f t) = r g t), el ruido será blanco. R s max = B = 4 Mbaudios Para el segundo canal, al no tener un comportamiento ideal en la banda de paso, se comportará como un canal lineal, por lo que no será posible conseguir de forma simultánea las dos cosas con los diseños convencionales, utiliando filtros diseñados para transmitir a la tasa de símbolo dada por el ancho de banda del canal. Sin embargo, la peculiar forma del canal, con su respuesta triangular, permitiría conseguir las dos cosas de forma simultánea con un diseño atípico: transmitir utilizando como filtro transmisor un filtro con respuesta al impulso sinc, de un ancho de banda igual al del canal, pero transmitiendo a la mitad de la tasa de símbolo asociada a dicho ancho de banda. Es decir gt) = h 0,/ RRC t) = sinc ), y transmitiendo a una tasa R s = = Mbaudios. Se trata de una anomalía muy específica, que no es el caso general tratado en sistemas de comunicaciones realistas. b) m min = R b R s max = 3 bits/símbolo, y M min = 8 símbolos. c) B = R s + α), así que α = 0.. Buscamos el mayor valor posible de α para minimizar la sensibilidad del receptor a errores en el instante de muestreo. 5

6 Ejercicio a) El ruido es blanco si r f t) cumple las condiciones del criterio de Nyquist para la ausencia de ISI. b) R s max = B = 8 baudios, y se obtiene para α = 0. c) DEP: i) Si A[n] es blanca: E s S S j) π 0 π ii) Si S A e j ) = + cosw): S S j) π + π d) R s = B +α = 6.4 baudios, así que m = R b R s = 3 bits/símbolo y M = m = 8 símbolos. Ejercicio a) pt) = gt) g t) ht) = r g t) + r 4 gt ), así que p[n] = δ[n] + δ[n ]. 4 b) ransmisión con M-PAM en banda base: i) R s max = B, m min = R b R s max = 3 bits/símbolo y M = m = 8 símbolos. ii) R s = R b = 8 baudios. m iii) α = B R b = 0.. c) ransmisión con M-QAM en paso banda: i) R s max = B, m min = R b R s max = 6 bits/símbolo y M = m = 64 símbolos. ii) R s = R b m = 9 baudios. iii) α = B R b = 0.. 6

7 Ejercicio 3 a) En el primer escenario, con ft) = g t) En el segundo escenario, con ft) = m t) p[n] = 3 4 δ[n] δ[n ]. 4 p[n] = δ[n]. b) Como ft) = m t) dura menos de segundos, su función de ambigüedad temporal tiene un soporte menor que [, ], por lo que se cumple que r f [n] = r f n ) = Cδ[n], en este caso con C =, por lo que el ruido muestreado z[n] es blanco. c) Con la segunda opción no hay ISI. Dado que en ambos casos el ruido es blanco cuando ft) = g t), de nuevo r f [n] = r f n ) = δ[n]), la mejor opción es la segunda. Ejercicio 4 a) La máxima tasa, que se obtiene para α = 0, es R s max =0 Mbaudios. b) El orden mínimo de la constelación es M = 6 símbolos. c) Se representa en ambos casos únicamente la parte correspondiente a las frecuencias positivas de las densidades espectrales de potencia i) Si A[n] es blanca S X j) 5 30 ii) Para la secuencia con la R A [n] especificada S X j) 40 MHz π MHz π Ejercicio 5 a) En el caso del canal ideal 7

8 i) Las tasas de transmisión máximas son R s max = 4 Mbaudios, R b max = 6 Mbits/s. ii) La densidad espectral de potencia para una secuencia A[n] blanca es S X j) = E s [ ] H α, RC j j c) + H α, RC j + j c), donde E s = 0 J. En la figura se muestra para las frecuencias positivas f = π MHz) b) Para el canal de la figura i) Hay ISI. Es más fácil de ver en el dominio frecuencial, donde la suma de las replicas de la respuesta conjunta entre transmisor, canal y receptor, P j), no suman una constante P j j π ) C) Para ilustrar el resultado, y teniendo en cuenta que P j) = H α, RC j) H eqj), se representan por un lado Hα, RC j j π ), en azul, y por otro H eq j j π ), en rojo. La suma P j j π) es el producto de ambas componentes f = π MHz) f = π MHz) ii) El ruido es blanco porque la función de ambigüedad temporal del filtro receptor, muestreada a tiempo de símbolo es una delta o la suma de las réplicas de su respuesta en frecuencia cada π rad/s es una constante). Hay que tener en cuenta que como ft) = hα, RRC t), r f t) = h α, RC t) c) Si ahora se utilizan filtros adaptados i) En el dominio de la frecuencia Gj) = H α, RC j) H eq j) Para el caso α = 0, se representa en la figura 8

9 Gj).5.5 MHz π ii) En este caso el ruido no es blanco, ya que réplicas de la respuesta en frecuencia de la función de ambigüedad del filtro receptor no suman una constante. Ahora, dado que ft) = g t), R f j) = F j) = Gj), respuesta que se muestra en la siguiente figura. R f j).5.5 MHz π La suma de las réplicas se representa a continuación R f j j π ) MHz π Ejercicio 6 a) La respuesta conjunta entre el filtro transmisor y el filtro receptor, en este caso coincide con la función de ambigüedad temporal del filtro transmisor pt) = r g t) = gt) g t). gt) r g t). t. t El canal discreto equivalente se obtiene muestreando a tiempo de símbolo pt), es decir p[n] = pt) t=n = δ[n], por lo que sí se cumple el teorema de Nyquist para la ausencia de ISI. 9

10 b) El canal discreto equivalente es p[n] = Los valores de la constelación recibida son + j ) δ[n] + j δ[n ]. A[n] A[n ] o[n] j + +j + + j +j + + j 3 +j +j + j c) En este caso, es fácil ver que el canal discreto equivalente es p[n] = jδ[n ], por lo que no hay interferencia intersimbólica, aunque sí hay un retardo y un escalado en la secuencia recibida. En concreto, hay un retardo de un símbolo, y la constelación recibida es la original multiplicada por j, con lo que pasa a ser o[n] {+j, }. Ejercicio 7 a) Para α = 0 en ambos casos: i) R s = 40 baudios. ii) R s = 0 baudios. b) Para α = 0.5: i) Banda base, -PAM: S S j) E s ii) Paso Banda, 4-QAM: S X j) E s. Hz π Hz π 0

11 c) i) c = π rad/s. ii) Orden constelación: M = 6 símbolos. iii) asa de símbolo: R s = 6 baudios. Ejercicio 8 a) Frecuencia de portadora: c = π 875 Mrad/s. asa de símbolo: R s = 0 Mbaudios. asa binaria: R b = R s m = 480 Mbits/s. b) La densidad espectral de potencia S X j) tendrá la forma S X j) E s A B D c E F G. rad/s) donde A = π 800Mrad/s, B = π 85Mrad/s, D = π 830Mrad/s, E = π 90Mrad/s, F = π 935Mrad/s, G = π 950Mrad/s. c) i) pt) = r g t) = r f t) es un coseno alzado que cumple el criterio de Nyquist. NO existe ISI y el ruido z[n] SÍ es blanco. ii) SÍ existe ISI porque P ) j j π 0 6π 4π π 0 + π Por otro lado, el ruido SÍ es blanco porque la función de ambigüedad temporal de ft) = f b t) es un triángulo entre y, que cumple el criterio de Nyquist. + 4π + 6π

12 Ejercicio 9 a) E s = p A. b) S s j) tiene la forma de la figura: S s j) π p A p p) A c b a +a +b +c. Las frecuencias de la figura toman los valores a = π α), b = π, c = π + α), El ancho de banda de la señal modulada es W = π.5 rad/s, o lo que es lo mismo B = 65 Hz. Ejercicio 0 a) Criterio de Nyquist para ausencia de ISI: Escenario a): p[n] = pt) t=n = pn ) = C δ[n] P = t 0 y para t 0 R s max = min = t 0 baudios. Escenario b): infinitas réplicas de P j) cada π b) En el caso del canal ideal, ht) = δt): i) Pulso conformador: π = W R s = = W 4π baudios. j j π ) = C. deben sumar una constante. pt) = gt) ht) ft) = gt) δt) ft) = gt) ft) = gt) g t) r g t). Por lo tanto, el filtro transmisor será aquel cuya función de ambigüedad temporal sea la de la respuesta conjunta dada en la figura o cualquier versión retardada de la misma).

13 t0 gt) t 0 t 0 0 t 0 t 0 t ii) Ruido muestreado: apartado. r f [n] = C δ[n], se cumple para valores de como en el primer Ejercicio a) i) Si α = 0: f c = 7.5 Hz, P X = R s E s = 0 Watts, B = R s = 5 Hz, y M = 4 símbolos. ii) Si α = 0.75: f c = 7.5 Hz, P X = R s E s = 5 Watts, B = R s + α) = Hz, y M = 6 símbolos. b) La densidad espectral de potencia es la de la figura: = c πr s + α) = c πr s 3 = c πr s α) E s 4 = c + πr s α) 5 = c + πr s 6 = c + πr s + α) 3 c Las frecuencias equivalentes en Hz son f = 5.35, f = 6.5, f 3 = 7.875, f c = 7.5, f 4 = 7.85, f 5 = 8.75, f 6 = Hz c) Hay ISI. En este caso, es más sencillo trabajar en el dominio de la frecuencia. En este dominio el canal discreto equivalente es P e j) = = P j j π ) C donde P j) es la transformada de Fourier de la respuesta conjunta de transmisor, receptor y canal. P e j) o 4π π π 4π rad/s 3

14 Ejercicio a) La frecuencia de portadora es f c = MHz El filtro transmisor que permite la máxima tasa de símbolo sin ISI es un raíz de coseno alzado con α = 0, o lo que es lo mismo, una función sinc gt) = h α=0, RRC t) = ) t sinc, con = R s = B = 5 0 7, es decir = 0.5µs. La tasa binaria es R b = 8 Mbits/s. El ruido z[n] es blanco ya que la función de ambigüedad temporal del filtro receptor ) t r f t) = r g t) = h α=0, RC t) = sinc es una función que muestreada a tiempo de símbolo es una delta, r f [n] = δ[n]. b) La frecuencia de portadora es El filtro transmisor es f c = MHz gt) = h α=0.6, RRC t), con = R s = = 0.8 µs c) El filtro transmisor es, expresado en el dominio de la frecuencia, el que se muestra en la figura Gj) MHz π El ruido z[n] no es blanco, ya que R f ) j π MHz π 4

15 Ejercicio 3 a) El mínimo orden de la constelación es M = 8 símbolos constelación 8-PSK). El máximo factor de caída α = 0.5. La potencia es b) La frecuencia de portadora es P S = 448 Watt f c = 56 Hz El mínimo orden de la constelación es M = 64 símbolos. Y el máximo factor de caída La densidad espectral de potencia α = c rad/s) Las frecuencias equivalentes en Hz son f = 50, f = , f 3 = 5.333, f c = 56, f 4 = , f 5 = 6.333, f 6 = 6 Hz c) El ruido z[n] es blanco ya que r f t) = r g t) = h α, RC t) es una función que muestreada a tiempo de símbolo es una delta, r f [n] = δ[n], o equivalentemente como se ilustra en la figura R f j π ) = 3R s R s R s 0 R s R s 3R s Hz) π En cuanto a la ISI, existe interferencia intersimbólica, ya que P j j π ) es la suma del producto de las distintos componentes mostradas en la figura anterior con las de la siguiente 3R s R s R s 0 R s R s 3R s Hz) π 5