Clases 6 y 7 - Modulación. Eytan Modiano. Departamento de aeronáutica y astronáutica

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Catalina San Martín Navarro
hace 7 años
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1 Clases 6 y 7 - Modulación Departamento de aeronáutica y astronáutica Slide 1

2 Modulación Representación de señales digitales como formas de onda analógica Señales en banda base Señales cuyos componentes de frecuencia están concentrados en torno a cero Señales en banda pasante Señales cuyos componentes de frecuencia están centrados en cierta frecuencia fc lejos de cero Las señales en banda base se pueden convertir en señales en banda pasante mediante la modulación Multiplicación por un sinusoide con frecuencia fc Slide 2

3 Señales en banda base El sistema de señalización más sencillo es el de modulación de amplitud de pulso (PAM) Con un PAM binario se utiliza un pulso de amplitud A para representar un 1 y un pulso con amplitud -A para representar un 0 El pulso más sencillo es el rectangular, pero en la práctica se emplean otros tipos En las clases damos por sentado que hablamos del pulso rectangular Si g(t) es la forma del pulso básico, con PAM transmitimos g(t) para representar un 1 y -g(t) para representar un 0 Slide 3 1 => S(t) = g(t) 0 => S(t) = -g(t) A g(t) Tb

4 PAMM-ario Utiliza niveles de señal M, A 1 A M Cada nivel se puede utilizar para representar Log 2 (M) bits P.ej., M = 4 => A 1 = -3, A 2 = -1, A 3 = 1, A 4 = 3 S i (t) = A i g(t) Mapeo de bits a señales Si b1b2 S 1 00 S 2 01 S 3 11 S 4 10 Slide 4

5 Energía de señal T E m = ( S (t)) 2 dt = ( A m ) 2 ( ) 2 dt = ( A m ) 2 m g t E g 0 0 T La energía de señal depende de la amplitud E g es la energía del pulso de señal g(t) Para pulso rectangular con energía E g => T E g = A 2 dt = TA 2 => A = E g / 2 0 g(t) E t T gt g / 2 0 () = 0 de otro modo E g /2 Slide 5 T

6 PAM simétrico Las amplitudes de señal son igualmente distantes y simétricas en torno a cero A m = (2m-1-M), m=1 M E ave = M Eg (2m 1 M)2 =E g (M 2 1) / 3 M m =1 Slide 6

7 Código Gray Mecanismo para asignar bits a símbolos de modo que el número de errores de bit se minimice Los errores de símbolo más probables están entre niveles adyacentes Interesa establecer una correlación de bits con símbolos para que el número de bits entre niveles adyacentes se minimice El código Gray logra una diferencia de 1 bit entre niveles adyacentes Ejemplo M= 8 (se puede generalizar) A A A A A A A A Slide 7

8 Señales en banda pasante Para transmitir una señal en banda pasante S(t) a través de un canal de banda de cierta frecuencia central f c, multiplicamos S(t) por un sinusoide con esa frecuencia S m (t) U m (t)= S m (t)cos(2πf c t) = A m g(t) Cos(2πf c t) Cos(2πf c t) F[Cos(2πf c t)] = (δ(f-f c )+δ(f+f c ))/2 -f c f c Slide 8

9 Señales en banda pasante (cont.) F[A m g(t)] = depende de g() A m -w w F[A m g(t) Cos(2πf c t)] A m /2 A m /2 Slide 9 -f c f c Recuerde: multiplicación en el tiempo = convolución en frecuencia

10 Contenido de energía de señales moduladas E m = U 2 t dt = A m g 2 () m ( ) Cos 2 ( α ) = 1 + cos(2α) 2 A 2 A 2 2 t Cos 2 (2πf c t)dt m 2 m E () + g t Cos 2 m = g t 2 () (4πf c t)dt 2 2 A 2 m E m = E g La parte de coseno varía rápidamente y se integra a 0 La señal modulada tiene la mitad de energía que la señal en banda base Slide 10

11 Demodulación Cómo recuperamos la señal en banda base? U m (t)= S m (t)cos(2πf c t) = A m g(t) Cos(2πf c t) U(t) LPF S r (t) 2Cos(2πf c t) U(t)2Cos(2πf c t)= 2S(t)Cos 2 (2πf c t) = S(t) + S(t)Cos(4πf c t) Slide 11 El LPF rechaza el componente de frecuencia superior y nos quedamos con S(t).

12 Ocupación de ancho de banda G( f ) G(f) = F[g(t)] 2π = g(t)e j ft dt = 0 Ae j 2πft dt T A g(t) G( f) j f = ( AT )Sinc(πfT)e π T T AT G(f) -2/T -1/T 1/T 2/T Primer nulo del ancho de banda = 2(1/T) = 2/T Slide 12

13 Eficacia del ancho de banda Rs = velocidad de símbolos = 1/T Log 2 (M) bits por símbolo => Rb = velocidad de bit = log 2 (M)/T bits por segundo BW = 2/T = 2Rs Eficacia del ancho de banda = Rb/BW = log 2 (M)/T * (T/2) = log 2 (M)/2 BPS/Hz Ejemplo: M=2 => eficacia del ancho de banda = 1/2 M=4 => eficacia del ancho de banda = 1 M=8 => eficacia del ancho de banda = 3/2 A medida que aumenta M, aumenta la eficacia del ancho de banda Sin embargo, a medida que aumenta M somos más propensos a errores ya que los símbolos están más cerca (para un nivel de energía dado) Necesidad de aumentar el nivel de energía del símbolo para superar errores Relación entre eficacia del ancho de banda y eficacia de la energía Slide 13

14 Utilización de energía E ave = M Eg (2m 1 M)2 =E g (M 2 1) / 3, E g = energía de pulso básico M m=1 Tras la modulación E u = Es g 2 ( 2 = E M 1 ) / 6 E b = energía promedio por bit = (M 2 1) Eg 6Log 2 ( M ) La energía promedio por bit aumenta con M Eficacia del ancho de banda Eficacia de la energía Slide 14 M

15 Señales bidimensionales S i = (S i1, S i2 ) S 4 =(-1,1) S 1 =(1,1) El conjunto de puntos de señal se denomina constelación S 2 =(-1,-1) S 3 =(1,-1) Las constelaciones bidimensionales se utilizan comúnmente Las constelaciones grandes se pueden utilizar para transmitir muchos bits por símbolo Mayor eficacia de banda ancha Mayor propensión a errores La forma de la constelación se puede utilizar para minimizar la probabilidad de error separando los símbolos lo más posible Constelaciones comúnes QAM: Quadrature Amplitude Modulation PAM en dos dimensiones PSK: Phase Shift Keying Slide 15 Constelación especial en la que todos los símbolos tienen la misma potencia

16 M-QAM simétrica x y x y S m = ( A m, A m ), A m, A m {+ / 1, + / 3,..., + / ( M 1)} M es el número total de puntos de señal (símbolos) M niveles de señal en cada eje Constelación simétrica M=K 2, para cierto K Los niveles de señal en cada eje son los mismos que para PAM x y.., 4 QAM A m, A m {+ / 1} Eg x y 16 QAM A m, A m {+ / 1, + / 3} 16-QAM Slide 16

17 Ocupación de ancho de banda de QAM Si usamos un pulso rectangular, la transformada de Fourier es una función Sinc A g(t) AT G(f) T -2/T -1/T 1/T 2/T El ancho de banda del primer nulo sigue siendo 2/T K = Log 2 (M) bits por símbolo Rb = Log 2 (M)/T Eficacia del ancho de banda = Rb/BW = Log 2 (M)/2 => Igual que para PAM Slide 17

18 Eficacia de la energía x E sm = [( A m ) 2 + ( A m ) 2 ]E g y [( x [( y E A m ) 2 ] = E A m ) 2 ] = K 2 1 M 1 =, K = 3 3 M E = 2(M 1) s E 3 g energía transmitida = E s = (M 1) E g 2 3 (M 1) E b (QAM) = Energía / bit = 3Log 2 ( M ) E g Comparar con PAM: Eb aumenta con M, pero no tan rápido como PAM (M 2 1) E b (PAM) = Eg 6Log M 2 ( ) Slide 18

19 QAM banda pasante Module la señal bidimensional multiplicando mediante portadores ortogonales (sinusoides): seno (Sin) y coseno (Cos) Esto se logra multiplicado el componente A x por Cos y el componente A y por Sin Generalmente, estos componentes no se conocen como x,y sino más bien como A c o A s para cos y sin o a veces como A Q, y A I para los componentes de cuadratura o de señal en fase La señal transmitida, corespondiente al símbolo m th es: x Um () t = A m g () t Cos(2πf c t) + A m g () t Sin(2πf ct), m = 1...M y Slide 19

20 Modulador g(t) Datos binarios Mapear k bits con uno de los símbolos 2 k A m =(A x, A y ) Cos(2πf c t) Sin(2πf c t) U m (t) g(t) Slide 20

21 Demodulación: recuperación de las señales en banda base U(t) LPF S x r (t) 2Cos(2πf c t) U(t) LPF S y r (t) 2Sin(2πf c t) Sobre una duración de símbolo, Sin(2πf c t) y Cos(2πf c t) son ortogonales Con tal de que la duración de símbolo sea un número entero de ciclos de la onda portadora (fc = n/t) para cierto n Si se multiplica por un seno, el componente coseno de U(t) desaparece lo mismo que el componente seno al multiplicarlo por coseno Slide 21

22 Demodulación, cont. Ut ()2Cos(2πf c t) = 2 A x g () t Cos 2 (2πf c t) + 2 A y g ()cos(2πf t c t)sin(2πf c t) Cos 2 ( α ) = 1 + cos(2α) 2 x x x x => U()2Cos(2πf t c t) = S () t + S () t cos(4πf c t) S ( t) = A g(t) Del mismo modo, U(t)2Sin(2πf c t) = 2 A x g(t)cos(2πf c t)sin(2πf c t) + 2 A y g(t)sin 2 (2πf c t) Sin 2 ( α ) = 1 cos(2α) 2 y => U()2Sin(2πf t c t) = S y y () t S () t cos(4πf c t) S ( t) = A y g(t) Slide 22

23 Phase Shift Keying (PSK) Señales bidimensionales donde todos los símbolos tienen los mismos niveles de energía P.ej., están en un círculo o radio E s E s Los símbolos se pueden espaciar unívocamente para minimizar la probabilidad de errores P. ej., PSK binario E s E s s 1 s 2 4-PSK (arriba) igual que 4-QAM Slide 23

24 M-PSK A i x = Cos(2πi / M), A i y = Sin(2πi / M), m = 0,..., M 1 x Um ( t ) = g () t A () y m Cos(2πf c t) g t A m Sin(2πf c t) + Observe : Cos(α ) Cos( β ) = Cos(α β) + Cos(α β) 2 Sin ( α ) Sin(β) = Cos(α β) Cos(α + β) ) 2 De ahí, U m (t) = g(t)cos(2πf c t + 2πm / M) φ m = 2π m/ M = cambio de fases del símbolo m th Um () t = g () t Cos(2π f c t + φ m ), m = 0...M 1 Slide 24

25 Resumen de M-PSK Constelación de M símbolos desplazados de fase (M Phase shifted symbols) Todos tienen los mismos niveles de energía K = Log 2 (M) bits por símbolo Modulación: g(t) Datos binarios Mapear k bits con uno de los símbolos 2 k A m =(A x, A y ) Cos(2πf c t) -Sin(2πf c t) U m (t) g(t) Slide 25 Observe que para PSK restamos el componente Sin del componente Cos Únicamente a efectos de anotación. Si sumásemos, el desplazamiento de fase habría sido negativo, pero el resultado final sería el mismo La demodulación es la misma que para QAM

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