Para qué se modula? Técnicas de Modulación Digital Pasabanda. Comunicación Digital Fabio G. Guerrero Universidad del Valle

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1 Comunicación Digital Fabio G. Guerrero Universidad del Valle Para qué se modula? Para obtener tamaños de antena razonables en una radio transmisión. (Ej: las antenas para teléfonos celulares tienen típicamente longitud λ/4). Para compartir un mismo medio de transmisión, por ejemplo, el espectro electromagnético (FDM). Para minimizar los efectos de la interferencia. Para poner una señal en una banda de frecuencia donde los requerimientos de diseño (e.g. filtrado y amplificación) puedan cumplirse con mayor facilidad. Para aumentar la eficiencia espectral y aprovechar al máximo la capacidad de un canal. Técnicas de Modulación Digital Pasabanda La modulación pasabanda se puede definir como el proceso mediante el cual la amplitud, frecuencia, o fase de una portadora de RF, o una combinación de estas, es variada de acuerdo a la información a transmitir.

2 Coeficiente de Amplitud El coeficiente de amplitud que aparece en las expresiones analíticas siguiente se deriva así: A es valor pico de la onda, por tanto A 2 r m s representa la potencia normalizada. Así: Detección Coherente vs No coherente Detección coherente: cuando el receptor explota el conocimiento exacto de la fase de la portadora para detectar las señales. Entre los esquemas de este tipo están: PSK, FSK, ASK, CPM, y combinaciones híbridas. Detección no coherente: cuando la demodulación se realiza sin usar el valor de la fase de la señal de entrada. Entre los esquemas de este tipo están: DPSK, FSK, ASK, CPM, e híbridos. Amplitude Shift Keying La expresión analítica general para ASK es: ASK binario (a.k.a OOK) fue una de las primeras formas de modulación digital empleadas.

3 Frequency Shift Keying La expresión analítica general para la modulación FSK es: Phase Shift Keying PSK se desarrolló a los inicios del programa deep-space. Hoy en día es ampliamente utilizado en sistemas de comunicaciones comerciales y militares.

4 Q Amplitude Phase Keying Es una combinación de ASK y PSK. La expresión analítica general es: I Detección de señales en AWGN El modelo pasabanda del proceso de detección es virtualmente idéntico al modelo banda base. Esto se debe a que una onda pasabanda recibida se transforma primero en una onda bandabase antes de que tenga lugar el paso final de detección. Para sistemas lineales, las matemáticas de la detección no cambian por un desplazamiento en frecuencia. Muchos sistemas de comunicación digital se describen y analizan como si fueran bandabase. Mínima separación y BW en MFSK El BW de la señal en FSK significa la cantidad de espectro que debe estar disponible para el conjunto M- ario completo de tonos (f i ). Para tonos adyacentes el espectro de un tono tiene ½ 1/T de espectro en los tonos a cada lado. Por lo tanto el BW de señalización es igual al espectro que separa el centro de los tonos más ½ 1/T a cada lado. Para el caso M-ario entonces el BW para MFSK ortogonal con detección no coherente es M/T.

5 Separación entre tonos FSK coherente Se puede probar que el mínimo espaciamiento entre tonos para FSK coherente es Por lo tanto para la misma rata de símbolos FSK con detección coherente puede ocupar menos BW y mantener todavía una señalización ortogonal. El conocimiento de la fase de la señal hace menos exigente el requerimiento de separación de tonos. El BW para el conjunto de señalización M-ario en este caso será M/2T. Desempeño de Error Sistemas Binarios La probabilidad de que el detector de un receptor tome una decisión incorrecta se denomina: probabilidad de error de símbolo (P E ). Es conveniente especificar el desempeño de un sistema por su probabilidad de error de bit (P B ) aun cuando las decisiones se tomen sobre símbolos para los cuales M > 2. Para el caso binario, por supuesto, P B = P E. R W bps/hz C W E b N 0 SNR S N RC W R P B para BPSK Coherente Se asumen señales equiprobables y solamente degradación AWGN: E b es la energía promedio de la señal por bit. Este resultado de BPSK pasabanda es igual a la ecuación de detección óptima para señalización antipodal en general.

6 P B FSK Binario Coherente Para el caso de señales ortogonales tales como FSK binario (BFSK): Este resultado es igual al que se obtuvo en el caso de detección óptima binaria de señales ortogonales en bandabase (pulsos unipolares). Este resultado también aplica a la detección óptima de señales ASK puesto que los s i (t) son ortogonales. P B FSK Binario No coherente Se asume un conjunto {s i (t)} de señales binarias FSK ortogonales igualmente probables: El detector tiene M = 2 canales de filtros pasabanda y detectores de envolvente. En este caso el mínimo BW de los filtros para que no exista ISI es W f = R bps = 1/T. donde E b = ½ A 2 T es la energía promedio por bit.

7 Se puede ver que para la misma P B (10-4 ), FSK no coherente requiere aproximadamente 1 db más E b que FSK coherente. Casi todos los receptores FSK usan detección no coherente porque es más fácil de implementar. La ecuación de P B descrita en la ecuación anterior es igual a P B para detección no coherente de señales OOK (ASK). En la próxima sección se verá que entre FSK ortogonal no coherente y DPSK no coherente existe la misma diferencia de 3 db que existe entre FSK y PSK coherentes. P B DPSK binario Sea el conjunto de señales BPSK: En DPSK los datos van en la diferencia de fase entre señales recibidas sucesivamente, es decir realmente cada bit se transmite con el par de señales: P B para DPSK Detección Coherente Con DPSK la información se codifica en la similitud o diferencia entre símbolos adyacentes. Algunas veces las ondas del canal sufren inversión, por ejemplo cuando se usa una referencia coherente generada por un PLL. Algunas veces se usa codificación diferencial y detección coherente para evitar esto. En este caso: Se necesita un detector de energía sobre 2T donde las señales de referencia I y Q ocurren en pares: Este DPSK es un esquema de detección no coherente ortogonal, donde los s i (t) tienen sobre 2T el doble de energía que una señal definida sobre T. Por tanto,

8 Para P B 10-4, DPSK requiere aprox, 1 db más E b que PSK. Es más fácil implementar un sistema DPSK que un sistema PSK ya que el receptor DPSK no necesita sincronización de fase. Por este motivo, aunque DPSK es menos eficiente, algunas veces se prefiere sobre PSK. La especificación Bluetooth define GFSK para R = 1 Mbps, (π/4-dqpsk) para R = 2, 8DPSK para R = 3 Mbps. Resumen P B esquemas binarios

9 Para P B = 10-4 existe una diferencia de 4 db entre el mejor esquema (PSK coherente) y el peor (FSK no coherente ortogonal). En algunos casos 4 db es un precio bajo que se paga por la simplicidad de la implementación. En otros casos, aún un ahorro de 1 db vale la pena. Además de P B y la complejidad del sistema existen otras consideraciones. Por ejemplo, en canales con fading es más deseable un receptor no coherente porque puede ser difícil establecer y mantener una referencia coherente. Curva ideal de P B Se ha visto que las curvas típicas de P B vs E b para distintos esquemas de modulación digital binarios en AWGN tienen forma de cascada. Cuál debería ser la curva ideal de P B vs E b? La característica ideal se conoce como el límite de Shannon. El límite representa el umbral de E b debajo del cual no se puede mantener una comunicación confiable. Señalización M-aria E b N 0 21 lim ln 2 El procesador toma k bits a la vez e instruye al modulador para producir una de M = 2 k ondas. La señalización M-aria mejora o degrada el desempeño de error? (la respuesta a esta pregunta no es simple). Para esquemas de detección coherente M-arios ortogonales (e.g. MFSK) a medida que k (o M) aumenta las curvas se mueven en dirección de la curva ideal. Para esquemas de señalización de fase múltiple con detección coherente (e.g. MPSK) las curvas se mueven en dirección opuesta a la curva ideal.

10 P B señalización ortogonal M-aria detección coherente P B señalización fase múltiple detección coherente E b N 0 SNR S N W R Vista vectorial de MPSK n es el mínimo vector de ruido que haría que el detector tome una decisión errónea. Al aumentar M el sistema se vuelve más vulnerable al ruido, se necesita menos energía para causar un error.

11 trade-off básico en MPSK: juntar más vectores en el espacio de señal es similar a aumentar la rata de datos sin aumentar el BW del sistema. Es decir, aumenta la eficiencia en BW a expensas del desempeño de error. Vista vectorial de MFSK Como se puede recuperar el desempeño de error? Rta./ Aumentando el tamaño de los vectores. En resumen: al aumentar M aumenta la eficiencia en BW a expensas del desempeño de error, o, si no se desea degradar P B, a expensas de E b. A medida que M aumenta la distancia entre un vector de señal prototipo y cualquier frontera de decisión permanece constante. En MFSK, al aumentar M las señales NO se vuelven más vulnerables a vectores de ruido cada vez más pequeños como en MPSK. Entender cómo aumenta P B al aumentar M se facilita observando la curva de probabilidad de error de símbolo (P E ) vs SNR sin normalizar. Probabilidad de error de símbolo vs SNR para señalización FSK coherente Se ve que al aumentar M las curvas se desplazan en dirección opuesta a la curva ideal. (Hay algo anormal aquí?) Las señales no se vuelven más vulnerables a vectores de ruido más pequeños pero al aumentar M se introducen más regiones de decisión.

12 Al aumentar M, el número de formas en que se puede cometer un error aumenta. Existen (M-1) formas de cometer un error de símbolo. Una SNR fija significa una cantidad fija de energía por símbolo. Al aumentar M esta energía debe dividirse entre un mayor número de bits. El mejor desempeño de error al aumentar M se manifiesta cuando se considera E b. P E vs SNR señalización ortogonal En este caso, estando SNR fija, al aumentar M la E b requerida (para una P B dada) se reduce. W es el BW de detección y T es la duración de un símbolo. Entonces: Para FSK, W (en Hz) es típicamente igual en valor a la rata de símbolos 1/T, es decir WT 1. Por tanto:

13 En sistemas de comunicación digital el desempeño de error se considera casi siempre en términos de E b, ya que esto permite una comparación útil entre sistemas. La curvas de P E vs SNR se ven muy raras veces. Una analogía para señalización ortogonal puede ser: al comprar al por mayor, el precio del contenedor (SNR) aumenta, pero el precio por bit (E b ) disminuye. En la señalización ortogonal al usar símbolos que contienen más bits se necesita más potencia (más SNR) pero el requerimiento por bit (E b ) disminuye. P E para MPSK Para razones energía-ruido grandes, P E (M) para PSK M-ario detección coherente se puede aproximar por: E s = E b (log 2 M) es la energía por símbolo. Para DPSK M-ario con E s grande: P E para MFSK P E para señalización equiprobable ortogonal M-aria con detección coherente está limitada por: P E (M) MPSK detección coherente E s = E b (log 2 M) es la energía por símbolo. P E para señalización equiprobable ortogonal M-aria con detección no coherente está dada por:

14 es el coeficiente binomial estándar el cual da el número de formas en las cuales j de M símbolos pueden estar erróneos. P E señalización M-aria ortogonal con detección coherente Para el caso binario la expresión general se reduce a : Al comparar P E (M) MFSK no coherente con su equivalente coherente se puede ver que para k > 7 la diferencia es despreciable. P E señalización M-aria ortogonal con detección no coherente P B vs P E para señales ortogonales Se puede mostrar que la relación entre P B y P E para un conjunto de señales ortogonales M-ario es: Cuando k aumenta, en el límite se tiene: Con OS (como FSK) un error de decisión transforma una decisión correcta en una de (M-1) señales incorrectas con igual probabilidad.

15 Que un símbolo esté erróneo no significa que todos los bits sean erróneos. Por ejemplo, si el símbolo 011 es confundido con 111, sólo un bit será erróneo. P B vs P E para MPSK En este caso los vectores de señal no son equidistantes entre sí como el caso anterior: Para M > 2, P B será siempre menor que P E. En este ejemplo: De ocurrir un error, un vector de señal será confundido con más probabilidad con sus vecinos más cercanos. (Ej: ó 100). La probabilidad de que 011 sea confundido con 111 es relativamente remota. En esquemas no ortogonales como MPSK se usa con frecuencia el código Gray de modo que un símbolo erróneo afecte la menor cantidad de bits. Usando el código Gray se puede mostrar que: Efectos de ISI Hasta ahora en este análisis siempre se ha asumido que no existe ISI, solamente AWGN. En la práctica, ISI es con frecuencia una segunda fuente de interferencia. Esta puede ocurrir, por ejemplo, por el uso de filtros limitadores de banda en la cadena T/C/R. El resultado es una degradación de P B, tanto en detección coherente como no coherente. Calcular P B en presencia de ISI es mucho más complicado porque involucra h c (t).

16

17 Q I

18 P b 2 k 1 1 M Q 3k M1 E b 0 N

19 Codificación Modulación Canal Fading Detección B. Sklar. Digital Communications: Fundamentals and Applications. 2nd Edition. Prentice Hall Estimación canal Adaptación Rate/Power Predicción canal

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