Muestreo y Procesamiento Digital

Transcripción

1 Muestreo y Procesamiento Digital Práctico 5 Muestreo de señales de tiempo continuo Cada ejercicio comienza con un símbolo el cual indica su dificultad de acuerdo a la siguiente escala: básico, medio, avanzado, y difícil Además puede tener un número, como (314 que indica el número de ejercicio del libro del curso, Discrete-time signal processing, Oppenheim/Schafer, 2ndedition Ejercicio 1 Sea x c (t = cos( πt una sinusoidal en tiempo continuo son muestras de x c (t tomadas a frecuencia f s = Hz y c (t es la reconstrucción ideal de Hallar y c (t Ejercicio 2 (42 La secuencia = cos( πn 4, con < n < +, fue obtenida mediante el muestreo de una señal analógica x(t = cos(2πft, con < t < +, a una tasa de 1000 muestras por segundo Cuáles son dos posibles valores de f que podrían resultar en la secuencia? Ejercicio 3 Explicar por qué en las películas a veces se ven las ruedas de los autos girar hacia atrás En una película se ven las ruedas de un auto girar hacia atrás, completando una vuelta en aproximadamente 25 segundos A qué velocidad, aproximadamente, se mueve el auto? Ejercicio 4 (46 Sea h c (t la respuesta al impulso de un sistema lineal e invariante en el tiempo, de tiempo continuo, y h d [n] la respuesta al impulso de un sistema lineal e invariante en el tiempo, de tiempo discreto Determinar la respuesta en frecuencia del sistema en tiempo continuo y bosquejar su módulo si { e at t 0 h c (t = 0 t < 0 Si h d [n] = h c (n, con h c (t definida en, determinar la respuesta en frecuencia del sistema en tiempo discreto y bosquejar su módulo Para un valor dado de a, determinar, en función de, el mínimo del módulo de la respuesta en frecuencia del sistema en tiempo discreto 1

2 Ejercicio 5 Sabemos que una señal de tiempo continuo, limitada en banda, contiene una componente a 50 Hz debida a interferencia de la red Queremos eliminar esa componente no deseada con el sistema de la figura, donde = 10 4 s x (t c sistema de tiempo discreto y (t r Cuál es la mayor frecuencia que puede contener la señal analógica si se quiere evitar el solapamiento de espectro? El sistema en tiempo discreto a utilizar tiene la siguiente respuesta en frecuencia H(e jθ = (1 e j(θ θ 0 (1 e j(θ+θ 0 (1 09e j(θ θ 0 (1 09e j(θ+θ 0 Graficar, utilizando MatLab, módulo y fase de H(e jθ Qué valor de θ 0 debe elegirse para eliminar la componente de 50Hz? Ejercicio 6 (47 Un modelo sencillo de un canal de comunicación multicaminos es el indicado en la figura d s c(t x c(t = s c(t+ s c(t- d τ d es un retardo introducido por el canal Asuma que s c (t es una señal continua de banda limitada tal que S c (f = 0 si f 1 2 y que x c(t es muestreada a una tasa para obtener la secuencia = x c (n Determinar las transformadas de Fourier de x c (t y de en términos de S c (f Se quiere simular el sistema multicamino con un sistema discreto como el de la siguiente figura, de forma que r[n] = x c (n cuando la entrada es s[n] = s c (n Determinar H(e jθ para que eso sea posible, en función de, τ d y α Determinar la respuesta al impulso del sistema de la figura anterior cuando τ d =, y cuando τ d = 2 2

3 Ejercicio 7 (421 Una señal analógica compleja, pasabanda, x c (t, tiene la transformada de Fourier que se muestra en la figura, X (f c 0 f 1 f 2 f donde f = f 2 f 1 La señal se muestrea, resultando la secuencia = x c (n Graficar la transformada de Fourier X(e jθ de para = 1 2f 2 Cuál es la mínima frecuencia de muestreo que puede utilizarse sin que se produzca solapamiento, de manera que x c (t pueda recuperarse a partir de? Dibujar el diagrama de bloques de un sistema que pueda usarse para recuperar x c (t a partir de, si la frecuencia de muestreo es mayor o igual a la hallada en Asumir que se dispone de filtros complejos ideales Ejercicio 8 (425 La figura muestra un diagrama de bloques de un sistema que sirve para hacer filtrado de una señal de tiempo continuo x c (t utilizando un filtro de tiempo discreto (t-k s k x c(t x s(t conversión de tren de deltas a secuencia discreta H(e j conversión a tren de deltas y s(t filtro ideal de reconstrucción H r(f y c(t La respuesta frecuencial del filtro de reconstrucción es H r (f = s Π (f s y la del filtro de tiempo discreto es H(e jθ = Π ( 2θ π Para X c (f = Λ ( f y 1 s = 20kHz, graficar X s (f y X(e jθ Para un determinado rango de valores de s y la entrada de la parte anterior, el sistema es equivalente a un filtro pasabajos continuo ideal H eff (f Determinar ese rango de valores de s Para el rango de valores determinado en la parte anterior, graficar la frecuencia (angular de corte de H eff como función de 1 s Observación: Esta es una forma de implementar filtros pasabajos continuos de corte variable utilizando un filtro pasabajos discreto fijo y frecuencias de muestreo variables 3

4 Ejercicio 9 Suponga que se obtuvo la secuencia discreta s[n] mediante el filtrado de una señal de voz s c (t con un filtro pasabajos ideal de frecuencia de corte de 5 khz y luego muestreando la salida a una tasa de 10 khz Desgraciadamente, la señal de voz continua estaba en una cinta magnética que fue destruida accidentalmente luego de obtener y almacenar la secuencia s[n] Luego se descubre que lo que en realidad se debía haber hecho con la señal continua es filtrarla con un pasabajos ideal de frecuencia de corte de 3 khz y posteriormente muestrearla a 6 khz para obtener s 1 [n] Encontrar un método para obtener s 1 [n] a partir de s[n] Ese método podría requerir mucho cálculo pero no el uso de conversores o Si su método hace uso de un filtro digital especificar la respuesta frecuencial del mismo Ejercicio 10 (434 Considerar el sistema lineal e invariante en el tiempo de la figura, con (retardo de media muestra: H(e jθ = e j θ 2, θ π H(e j Determinar h c (t para que el sistema de la siguiente figura sea equivalente al H(e jθ especificado antes El tiempo entre muestras es x (t c h c(t H c(f y (t c h[n] H(e j Determinar y graficar cuando la entrada al sistema es ( 5π = cos 2 n π 4 Ejercicio 11 (449 Este problema estudia el efecto de intercambiar el orden de dos operaciones sobre una señal, más precisamente el muestreo y una operación no lineal sin memoria Considerar los dos sistemas de procesamiento de la figura, donde los conversores y son ideales El mapeo g(x = x 2 representa un elemento no lineal sin memoria 4

5 x [n] 1 g(x=x 2 x [n] 2 x (t 3 x (t c g(x=x 2 y (t 1 y [n] y (t 3 Para ambos sistemas graficar el espectro de las señales en los puntos 1, 2 y 3 cuando la tasa de muestreo es 1 = 2f m muestras/segundo, donde x c (t tiene transformada Λ( f f m Es x 3 (t = y 3 (t? Es x 3 (t = x 2 c(t? En cada caso justifique su respuesta = 40 mues- Considerar el primer sistema y sea x c (t = A cos(30πt Sea 1 tras/segundos la tasa de muestreo (d Es x 3 (t = x 2 c(t? Explicar por qué si o por qué no = 40 mues- Considerar el sistema de la figura Sea x c (t = A cos(30πt y 1 tras/segundo x (t c g(x=x 3 v (t c v[n] g -1(v (e (f (g Expresar v[n] en función de x c (t Hay solapamiento de espectros? Expresar en función de x c (t Qué conclusión se puede sacar de este ejemplo? Un problema práctico que se tiene frecuentemente es el de digitalizar una señal que tiene un gran rango dinámico Supóngase que se quiere comprimir el rango dinámico Para ello se hace pasar la señal a través de un elemento no lineal sin memoria antes del conversor, y luego se la expande después de la conversión Cuál es el impacto de haber colocado el elemento no lineal sin memoria antes del conversor en nuestra elección de la frecuencia de muestreo? Ejercicio 12 (450 La figura siguiente representa un sistema para interpolar una señal en un factor L, donde { x[ n x e [n] = L ] n = 0, ±L, ±2L, 0 en otro caso sobremuestreo ganancia: L frec corte: /L L x [n] e LPF i f s f s = f s/l f s = f s/l 5

6 El filtro pasabajos interpola entre las muestras no nulas de x e [n], generando la señal sobremuestreada x i [n] Cuando el pasabajos es ideal, la interpolación lleva el nombre de interpolación de banda limitada Dos interpoladores comúnmente utilizados (por su simplicidad son el interpolador lineal y el bloqueador de orden cero En la interpolación del bloqueador de orden cero, cada valor de se repite L veces, ie, x i [n] = x e [0] n = 0, 1,, L 1 x e [L] n = L, L + 1,, 2L 1 x e [2L] n = 2L, 2L + 1,, 3L 1 Determinar la respuesta al impulso del filtro pasabajos para que el sistema sea un bloqueador de orden cero Determinar su respuesta en frecuencia La repuesta al impulso del interpolador lineal es { 1 n h lim [n] = L n L 0 en otro caso Determinar su respuesta en frecuencia Sugerencia: puede resultar útil el hecho de que h lin [n] es triangular y por ende es la convolución de dos secuencias rectangulares Bosquejar el módulo de la respuesta en frecuencia del filtro para las interpolaciones lineal y por bloqueo de orden cero Cuál de las dos interpolaciones se aproxima más a la interpolación ideal de banda limitada? Ejercicio 13 En este problema se estudiará un sistema utilizado en osciloscopios para analizar señales periódicas de frecuencias mayores a las que puede manejar la electrónica utilizada El sistema propuesto es: y(t z[n] x(t LPF w(t f = 09f f = 45f c 1 s donde x(t es una señal periódica de período 1 = 1/f 1 ; f c es la frecuencia de corte del filtro pasabajos; f s es la frecuencia de muestreo; y el bloque es un reconstructor ideal Se asumirá, para simplificar, que no hay ruido sumado a la señal Bosquejar los espectros de x(t, y(t, z[n] y w(t cuando x(t = x 1 (t = cos(2πf 1 t Indicar como queda w(t en el tiempo Encontrar el espectro de x 2 (t = ( k Λ t k1 1 /2 ( Sugerencia: expresar x 2 (t como Λ 1 t 1 /2 k δ(t k 1 6

7 (d (e Bosquejar los espectros en y(t, z[n] y w(t cuando x(t = x 2 (t Cómo quedará w(t en el tiempo? Qué relación tiene con la señal original? Bosquejar Bosquejar w(t si ahora se usa f c = 5f 1 y f s = f 1 /09 cuando la señal de entrada, x(t, es un diente de sierra de período 1 como en la siguiente figura: 0 1 (f Modificar el sistema para obtener el doble de resolución, esto es, poder analizar el doble de componentes del espectro 7