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1 IE TEC Nombre: Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Ingeniería en Electrónica EL-5805 Procesamiento Digital de Señales Profesor: Dr. Pablo Alvarado Moya II Semestre, 2010 Examen Final Total de Puntos: 47 Puntos obtenidos: Porcentaje: Nota: Carné: Advertencias: Resuelva el examen en forma ordenada y clara. En todas las preguntas y problemas debe indicarse algún procedimiento o justificación clara para llegar a la solución. No se aceptarán reclamos de desarrollos con lápiz, borrones o corrector de lapicero. El uso de lapicero rojo no está permitido. El uso del teléfono celular no es permitido en el examen. Favor mantener este tipo de dispositivos apagado. No se permite el uso de calculadora. El no cumplimiento de los puntos anteriores equivale a una nota igual a cero en el ejercicio correspondiente o en el examen. Preguntas 27 Pts 1. Una señal analógica senoidal con una frecuencia de F = 100 khz es muestreada a una tasa de F s = 50 khz. Si la señal es reconstruida posteriormente a partir de las muestras con un interpolador ideal, indique qué frecuencia tiene la señal reconstruida 1 Pt 2. Indique para las señales indicada a la izquierda, si tienen simetría par, impar o hermítica, así como si son o no periódicas. Función Simetría Periodicidad sen(2n) cos(2πn/5) e jπn 1

2 3. El periodo fundamental de la señal en tiempo discreto x(n) = cos(3πn/7) es 1 Pt a) N = 3. b) N = 7. c) N = 14. d) N = 21. e) No es periódica. 4. Un sistema FIR LTI responde al impulso con una salida de longitud M = 10. Indique qué longitud tiene la salida de dicho sistema, si la entrada es una señal de longitud finita N = 20 1 Pt 5. Dado el sistema descrito por la ecuación de diferencias 2 Pts y(n) = 1 4 x(n) 1 8 x(n 1) + 1 x(n 2) 14 Marque con cuáles propiedades tiene este sistema: Recursivo No recursivo Todo-polos Todo-ceros 6. La correlación cruzada entre las señales x(n) y y(n) resulta en la secuencia {1, 3, 2, 1, 0, 1, 2}. La correlación cruzada entre y(n) y x(n) es entonces: a) no existe b) {1, 3, 2, 1, 0, 1, 2} c) { 2, 1, 0, 1, 2, 3, 1} d) {2, 1, 0, 1, 2, 3, 1} e) { 1, 3, 2, 1, 0, 1, 2} 1 Pt 7. La salida del sistema descrito por la ecuación de diferencias 2 Pts y(n) = 1 4 x(n) x(n 1) 1 x(n 2) 4 puede ser expresada como una convolución y(n) = h(n) x(n). Encuentre qué secuencia debe ser h(n). 2

3 8. Dado un sistema caracterizado por la ecuación de diferencias 1 Pt 2y(n) = Ay(n 1) + By(n 2) Cy(n 3) + Dx(n 1) (la entrada al sistema es x(n) y la salida es y(n) ). Para la función de transferencia H(z) del sistema se cumple que: a) tiene cuatro polos determinados por los coeficientes A,B,C y D. b) tiene un polo determinado por el coeficiente D. c) tiene tres ceros determinados por A, B y C. d) tiene tres polos determinados por A, B y C. e) no se pueden determinar los polos o ceros sin las condiciones iniciales. 9. Indique qué tipo de periodicidad y continuidad deben tener las señales en el dominio temporal y en el dominio frecuencial para las siguientes herramientas de análisis de Fourier 5 Pts Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia Herramienta Continuidad Periodicidad Continuidad Periodicidad Serie de Fourier Transformada de Fourier Serie de Fourier en T. Discreto Transf. de Fourier en T. Discreto Transformada Discreta de Fourier 10. Las muestras de una señal limitada en banda y muestreada respetando el teorema del muestreo con F s = 1 Hz son x(n) = {1, 3, 2, 2} Calcule el valor de la señal analógica x a (t) que se muestreó, para t = 3 2 s. 11. Indique con qué tipo de filtros es posible alcanzar una respuesta de fase lineal. 2 Pts 3

4 12. Se requiere construir un filtro pasa-banda con un ancho de banda muy angosto, para una aplicación en tiempo-real. Indique si es posible generar ese filtro con un retardo de grupo arbitrariamente pequeño y constante para todo el rango de frecuencias. Justifique 2 Pts 13. Esboce el proceso de filtrado para secuencias de duración finita M con un filtro de longitud finita N en el dominio de la frecuencia. Refiérase explícitamente a las longitudes requeridas para las transformaciones. 4

5 Problemas Problema 1 Respuesta de frecuencia 12 Pts Calcule una fórmula analítica que describa la respuesta en magnitud y la respuesta en fase de un filtro definido con la ecuación de diferencias. y(n) = 1 y(n 1) + x(n) + x(n 1) 2 Grafique el diagrama de polos y ceros, y la respuesta en magnitud. Indique si el sistema es o no estable. Problema 2 Submuestreo 8 Pts Usted está encargado de diseñar un sistema de tratamiento de señales de radio comercial FM, de bajo costo. Lo único que le entregan listo es un módulo analógico que le permite seleccionar cada emisora en el espectro con un filtro pasabandas de ancho 100 khz. El espectro para FM abarca desde 87,5 MHz hasta 108 MHz, pero también le entregan las etapas analógicas que utilizan como frecuencia intermedia 10,7 MHz; es decir, usted puede partir para este problema del hecho que tiene una señal pasa-banda de ancho 100 khz, centrada en 10,7 MHz. Debe seleccionar la frecuencia de muestreo para el convertidor ADC, considerando que mientras más separe las réplicas menos aliasing tendrá, pero el costo se eleva. Dispositivos comerciales tienen frecuencias de 200 khz, 216 khz, 250 khz, 265 khz y 300 khz. Además, seleccione el número de bits necesario si debe tener razones señal a ruido de por lo menos 90 db. Especifique el número de réplicas m que utiliza, y con qué criterios lo selecciona. 5

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