Capítulo 6 Filtrado en el Dominio de la Frecuencia

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1 Capítulo 6 Filtrado en el Dominio de la Frecuencia Método en el Dominio de la Frecuencia Filtros Espaciales en la frecuencia Convolución Lineal y la Transformada Discreta de Fourier Filtros Puntuales...48 Problemas...5 Referencias...55

2 Capítulo 6 Filtrado en el Dominio de la Frecuencia 6. Método en el Dominio de la Frecuencia En el capítulo 3 se mencionó brevemente la metodología del filtrado en la frecuencia. En este capítulo ampliaremos más este método. El procesamiento de imágenes en el dominio de la frecuencia se basa en el tratamiento de la información contenida en la imagen en el dominio de la frecuencia, Figura 6.. Figura 6. Procesamiento de imágenes en la frecuencia. En este caso la imagen original I ( x, y ) se transforma en una imagen, I(, ), al dominio de la frecuencia mediante la transformada de Fourier I. El operador de transformación T [] ahora opera sobre información de frecuencia contenida en I ( x, y ) y genera una nueva imagen, I N (, ) en el dominio de la frecuencia. Por último la imagen I N (, ) es antitransformada al dominio espacial mediante la transformada inversa de Fourier I. La base de las técnicas del dominio de la frecuencia es el teorema de la convolución. I N ( x, h( x, I( x, = I( m, n) h( x m, y n) I N (, ) = H (, ) I(, ) M N = m= 0 n 0 donde * indica operador de convolución, ( x lineal invariante en posición, I(, ), H (, ) e I ( ) N, transformadas de Fourier de I ( x, y ), h ( x,, e ( x, y ) = (6.) h, es la respuesta al impulso de un operador corresponden a las I N respectivamente. La transformación en el dominio de la frecuencia también se puede representar como I ( x, I [ H (, ) I ] = (6.) N, 39

3 Hasta este punto hemos presentado el procesamiento en la frecuencia como una alternativa, sin embargo no hemos comentado por que utilizar este método en lugar del procesamiento espacial. Algunos aspectos a comentar son los siguientes. El primero se refiere a que gracias los algoritmos rápidos para implementar la transformada de Fourier el procesamiento en la frecuencia resulta más rápido que el procesamiento en el espacio mediante la convolución para valores grandes de N, tamaño de la señal. Otro aspecto es que el filtrado en la frecuencia resulta más fácil de comprender y visualizar. Por último, algunos casos de filtrado resultan prácticamente imposibles en el espacio pero no en la frecuencia, como sería el caso de filtros puntuales, Sección 6.3, en los cuales se elimina una o varias frecuencias selectivamente. Con base a lo anterior podemos ver que el filtrado en la frecuencia se puede realizar en dos formas, uno es llevando la imagen a filtrar y el filtro espacial al dominio de la frecuencia, realizar la multiplicación y luego antitransformar, filtros espaciales en la frecuencia. El otro es llevar la imagen a la frecuencia eliminar ciertas componentes de frecuencia y luego antitrasformar, filtros puntuales. 6. Filtros Espaciales en la frecuencia Para explicar este método nos valdremos de la aplicación de un filtro espacial pasa bajas a una imagen. Un filtro ideal pasa bajas está definido en la frecuencia como H PB si R(, ) Rc (, ) = (6.3) 0 si R(, ) > Rc donde R (, ) es la distancia del centro del plano de la frecuencia al punto de frecuencia (, ) y R c representa la frecuencia de corte del filtro en dos dimensiones. R c se puede ver como un radio de una circunferencia, tal que si su valor es pequeño la banda de paso del filtro es chica, y con forme el valor de R c aumente la banda de paso del filtro aumenta. La Figura 6. ilustra el filtro y variaciones de R c. a) b) c) Figura 6. Distintas frecuencias de corte del filtro pasa bajas. 40

4 Ahora, si consideramos la transformada de Fourier de una imagen la cual vamos a multiplicar por el filtro pasa bajas en su representación en la frecuencia es obvio que entre mayor sea Rc se conservará una mayor cantidad de energía de la imagen, Figura 6.3. La energía contenida dentro del círculo es la que se conserva y la que queda fuera se descarta. a) b) c) Figura 6. 3 Ilustración la cantidad de energía cubierta por el filtro pasa bajas con distintas frecuencias de corte. La Figura 6.4 ilustra la aplicación del filtrado en la frecuencia mediante la aplicación de un filtro pasa bajas con diferentes frecuencia de corte, radios de y 0.9. La Figura 6.4a es la imagen original. Las Figura 6.4.b-d corresponden a la respuesta del filtro en la frecuencia y la imagen resultante de aplicar dicho filtro. Se puede observar que conforme el radio del filtro aumenta, la frecuencia de corte es mayor, la imagen conservar más detalles. La imagen original Figura 6.4.a muestra contenidos de alta frecuencia hacia el centro de la imagen. Una de las ventajas de tener la representación en la frecuencia de una imagen es que nos permite el cálculo de la energía o potencia existente en ciertos anchos de banda como se realiza comúnmente en procesamiento digital de señales. La potencia total de la imagen es N N P T = P(, ) (6.4) donde P, ) es la potencia en la coordenada, ) definida como ( ( ) P (, ) = I(, = (6.5) S xx Esta función se denomina densidad espectral de potencia, S xx, y corresponde a la transformada de Fourier de la función de autocorrelación Φ xx. Esta función nos permite como ya comentamos, obtener la energía o potencia dentro de ciertos rangos de frecuencia como se ilustra en la Figura

5 a) b) c) d) Figura 6. 4 a) Original, b) Pasa bajas con r =0.3 c) Pasa bajas con r =0.5 y d) Pasa bajas con r =0.9. Figura 6. 5 Obtención de energía relacionada a un ancho de banda específico. 4

6 Otra pregunta que puede surgir aquí es por qué la aplicación de este filtro produce un borrado en la imagen original. La respuesta es la siguiente. La Figura 6.6 muestra filtros pasa bajas en la frecuencia y su correspondiente antitransformada de Fourier, correspondiente a h (n). Podemos observar que conforme R c aumenta, la h (n) va tendiendo a la función impulso. Comentamos al inicio del capítulo que la aplicación del filtro en la frecuencia equivale a la convolución en el tiempo I N ( x, h( x, I ( x, = I( m, n) h( x m, y n) I N (, ) = H (, ) I(, ) M N = m= 0 n 0 = (6.6) por lo que el borrado se puede comprender mejor ahora desde el punto de vista de la convolución. Entre más pequeña sea R c su h (n) que es una función sinc que tendrá un lóbulo más ancho Figura 6.6a, y al convolucionarse con la imagen esparcirá más la energía de cada píxel produciendo un borrado fuerte. Por otro lado entre mayor sea R c el lóbulo será más angosto, Figura 6.6c, tendera a un impulso y sabemos que la convolución de una función con el impulso es la misma función. Por lo que el borrado será menor. Al igual que el filtro pasa bajas se pueden definir otros tipos de filtros como el filtro pasa altas ideal. H PA 0 si R(, ) Rc (, ) = (6.7) si R(, ) > Rc Se puede ver de la definición, que el filtro pasa altas es un complemento del pasa bajas por lo que también se puede definir como H, ) = H (, ) (6.8) PA ( PB Como podemos ver en la Figura 6.7, la ganancia unitaria corresponde ahora a las zonas de alta frecuencia. El efecto producido ahora es contrario al filtro pasa bajas, conforme aumenta el radio que define la frecuencia de corte la imagen va perdiendo información de bajas frecuencias, Figura 6.8. Concluiremos esta sección resumiendo los pasos para realizar filtrado en la frecuencia.. Para trabajar con transformadas centradas multiplique la imagen de entrada I ( x, x+ y y el filtro h( x, por ( ).. Obtenga la DFT de I ( x,, I (, ). 3. Obtenga la DFT de h ( x,, H (, ). 4. Multiplique I, ) por H, ). ( ( 43

7 5. Obtenga x, = I [ I (, ) H (, )] I N ( I N ( x, y 6. Obtenga la parte real de ) 7. Multiplique ( x, x+ y I N por ( ) a) b) c) Figura 6. 6 Filtros pasa bajas y su correspondiente h(n), primera y segunda filas dominio de la frecuencia, tercera, en el espacio. a) R c =0., b) R c =0.5, c) R c =0.8. En el punto () el centrado proviene de la propiedad de la transformada de Fourier siguiente I x+ y M N [ I x, ( ) ] = I(, ) ( (6.9) La operación del punto (6) se debe a que la DFT se obtiene mediante un sistema discreto, calculadora, computadora y como la DFT generalmente es una función compleja la IDFT 44

8 puede contener indicadores de componentes complejos aunque estos sean ceros y al querer visualizar el resultado pueden provocar alteraciones. a) b) c) Figura 6. 7 Representación de un filtro ideal pasa altas en la frecuencia. En la Sección 6.. se verá que también es necesario hacer una corrección a la dimensión de la imagen y del filtro para que la operación descrita en los pasos anteriores corresponda a la convolución lineal. 6.. Convolución Lineal y la Transformada Discreta de Fourier Una vez que hemos establecido el marco teórico del filtrado en la frecuencia es importante explicar un aspecto importante en el calculo de la convolución entre una imagen I ( x, y un filtro h ( x, mediante la multiplicación de sus transformadas de Fourier, I (, ) y I (, ). De teoría de procesamiento digital de señales sabemos que la longitud del resultado de una convolución entre dos señales x(n) y x ( n) corresponde a N + N, donde Nes la longitud de x(n) y N es la longitud de x (n). Si implementamos la convolución mediante [ DFT x( n) ) DFT( x( ) )] IDFT (6.0) ( n usando N puntos, tendremos que la longitud de este resultado puede no corresponder a la longitud de la convolución lineal si N no se selecciona adecuadamente, generando una operación conocida como convolución circular, la cual presenta valores erróneos en las primeras muestras y perdida de información en los datos finales. Para que [ DFT ( x( n) ) DFT ( x( ) )] x ( n) * x( n) = IDFT n (6.) 45

9 a) b) c) d) e) f) g) Figura 6. 8 a) Imagen original, Pasa altas con b) r =0. c) r =0.5, d) r =0.9, e)-g) imágenes procesadas con estos filtros. las señales x(n) y x ( n) deben ser extendidas mediante rellenado de ceros a una longitud mayor ó igual a N + N muestras antes de ser llevadas a la frecuencia mediante la DFT. Esta solución se lleva al caso de imágenes en la siguiente forma. Asumiendo que queremos aplicar el filtro h ( x, a la imagen I ( x, con dimensiones N xm y N xm respectivamente. Para evitar el problema de alias y poder generar la convolución lineal mediante la DFT se extienden h ( x, e I ( x, a una dimensión igual o mayor a 46

10 ( + N ) x( M + M ) N (6.) La Figura 6.9 ilustra la extensión de dimensión necesaria mediante el relleno de ceros para una imagen de dimensión N xm. M I ( x, ( N + N ) N ( M + M ) Figura 6. 9 Rellenado de ceros de una imagen. Otro aspecto importante al utilizar la transformada de Fourier es recordar que en su teoría está implícita la periodicidad de la función a transformar. Esto es, cuando transformamos una imagen con Fourier se asume que la imagen se repite en forma periódica. En general los bordes de la imagen, por ejemplo el izquierdo y el derecho o arriba y abajo no son iguales. Esta desigualdad de bordes genera una discontinuidad, un escalón, a la hora de considerar a la imagen como periódica. Este efecto generará que el espectro muestre una cruz central sobre impuesta sobre el resto de la información del espectro. La Figura 6.0 ilustra esta situación, en este caso la imagen tiene un tamaño de 96 x 8 pixeles, Figura 6.0. La transformada de Fourier de la imagen de 96 X 8 puntos se muestra en la Figura 6.0b. Podemos observar en ella que no existe en el espectro las líneas vertical y horizontal de la cruz comentada anteriormente, esto se debe a que la imagen original presenta mucha similitud en sus bordes verticales y horizontales. Si ahora obtenemos la transformada de Fourier de la imagen pero de 8x8 puntos implicará un relleno de ceros en el sentido vertical. Estos ceros generarán una desigualdad en los bordes verticales por lo que la transformada, Figura 6.0c muestra ahora una línea blanca en el eje vertical. La Figura 6.0d muestra el caso en el que la imagen se rellenó en el sentido horizontal, transformada de 95x5, por lo que su transformada muestra la línea en el sentido horizontal, dado que los ceros agregados ahora generaran la discontinuidad de los bordes en ese sentido. Por último, si el relleno es en ambos dimensiones, transformada de 5x5, existirá ahora una gran diferencia en ambos bordes lo que genera que la transformada muestre la cruz, Figura 6.0e. 47

11 a) b) c) d) e) Figura 6. 0 a) Imagen original, Transformada de Fourier b) Sin relleno, c) 8x8, d) 96X5, e) 5x Filtros Puntuales En esta sección describiremos lo que llamamos filtros puntuales. Por filtro puntual queremos decir el método que opera en la frecuencia para seleccionar una o varias frecuencias que serán eliminadas directamente de la transformada de Fourier. Para comprender mejor este tipo de filtrado empecemos por comprender como analizar la transformada de Fourier. En general la transformada de Fourier genera una función compleja. I ( M N j π ( x + y ), ) = I( x, e (6.3) MN x= 0 y= 0 La cual para ser analizada visualmente requiere de la gráfica de su magnitud y su fase. I (, ) I (, ) (6.4) 48

12 La Figura 6. muestra una imagen original, la visualización de la magnitud de la transformada de Fourier y su función de fase. a) b) c) Figura 6. a) Original, b) Magnitud, c) fase. De la función de magnitud podemos observar cuales son los contenidos de frecuencia de la imagen. En el caso de la Figura 6.b se pueden observar dos puntos blancos en la función de magnitud, lo cual nos indica que la imagen contiene básicamente una componente de frecuencia. Recordemos que existen dos puntos luminosos no porque existan dos componentes de frecuencia sino por la propiedad de simetría de la transformada de Fourier. Así pues, cualquier estructura periódica presente en una imagen se vera reflejada por un pico en la magnitud de la transformada de Fourier de la imagen. Ese pico estará localizado en una coordenada, (, ), del plano de la frecuencia y además se podrá observar en la misma función de magnitud una dirección del pico con respecto al origen que corresponde a la orientación de la componente de frecuencia. La Figura 6. ilustra varios casos de imágenes con distinta componente de frecuencia y distinta orientación. La Figura 6.a es una imagen con frecuencia horizontal correspondiente a 0 pixeles/ciclo. En la Figura 6.b se pueden notar dos puntos blancos sobre la horizontal que corresponden a esta frecuencia. La Figura 6.c es la misma imagen pero rotada 45º, lo cual produce una rotación en su transformada, Fig6.d. Aunque los dos puntos correspondientes a la frecuencia en la imagen se pueden apreciar ahora en una rotación de 45º, también se puede observa en la transformada que aparecen otros valores de frecuencias, esto es debido al punto comentado sobre la periodicidad de la imagen. Las Figura 6. e-h corresponde a otra imagen con una frecuencia de 0 pixeles/ciclo. Cuando analizamos imágenes reales, es de esperarse que el análisis de la función de magnitud no sea tan obvio como el caso expuesto en las figuras anteriores. Sin embargo, resultará mucho más sencillo determinar los componentes de frecuencia de la imagen real mediante la función de magnitud de la transformada que tratar de hacerlo sobre la imagen. El análisis sobre la función de magnitud permite la medición y localización de los picos con gran exactitud en forma sencilla de manera que nosotros podemos eliminar ciertos valores en la transformada y así lograr un filtrado de la imagen. 49

13 a) b) c) d) e) f) g) h) Figura 6. a) Imagen original 0 pixeles/ciclo, b) espectro, c) imagen rotada 45º,d) su espectro, e)-h) casos similares pero para 0 pixeles/ciclo y rotada a -45º. Para eliminar cierta información en la imagen mediante un filtrado puntual el primer paso es realizar la localización de las frecuencias que corresponden a dicha información. Una vez que han sido localizadas, estas frecuencias se eliminan por medio de un filtrado que consiste en eliminar las frecuencias seleccionadas mediante la reducción de los valores en su transformada de Fourier que corresponden a esos términos. Existen varias formas de especificar y realizar reducciones, sin embargo es conveniente hacerlo mediante formas circulares o rectángulos. La Figura 6.3 muestra la eliminación de información de una imagen que corresponde a un ruido periódico mediante este método. En la Figura 6.3a se muestra la imagen afectada por el ruido. La Figura 6.3.b muestra la magnitud de la transformada donde se puede apreciar los puntos que corresponden al ruido que se aprecia como líneas verticales en la imagen. La Figura 6.3c muestra el espectro con las componentes de ruido eliminadas y la Figura 6.3d muestra la imagen recuperada. Hay que aclarar que la eliminación del ruido hay que realizarla sobre los coeficientes de la transformada de Fourier y no únicamente sobre los valores de la magnitud. Si reducimos los valores correspondientes al ruido solamente sobre la magnitud quedaría presente la información en la fase. Es bueno recordar que tanto la información de magnitud como de fase de la transformada son importantes. Comúnmente trabajamos sobre la información de la magnitud de la transformada, sin embargo, la información de fase no debe ser olvidada en este tipo de filtrado para reconstruir la imagen. Si la información de la fase se elimina, se pone a cero por ejemplo, la imagen reconstruida mostrará solo parte de la información de la imagen. La Figura 3.4b muestra una imagen reconstruida sin tomar en cuenta la información de fase y la Figura 6.4c utilizando solo la información de fase Figura 6. De este ejemplo se concluye que tanto la información de la magnitud como la de la fase deben ser consideradas. 50

14 a) b) c) d) Figura 6. 3 a) Imagen con ruido, b) Espectro de la imagen con ruido, c) Espectro sin ruido, d) Imagen recuperada. Otra posible aplicación del análisis de la función de magnitud es la de optimizar el foco a la hora de adquirir una imagen. Esto se logra cuando las componentes de frecuencia logran su valor máximo de energía. Cuando esto ocurre quiere decir que tenemos el mayor grado de detalle en la imagen. Recuerde que bordes y detalles se relacionan con altas frecuencias. La Figura 6.5a ilustra el caso de una imagen con muy mal foco y su espectro, la Figura 6.5b con mal foco y su espectro y la Figura 6.5c la imagen en foco y su espectro. Se puede apreciar que la información de altas frecuencias tiene mayor energía en el caso de la imagen en foco que en las imágenes fuera de foco. 5

15 a) b) c) Figura 6. 4 a) Original, b) reconstrucción sin información de fase c) reconstrucción sin información de magnitud. a) b) c) Figura 6. 5 a) Muy fuera de foco, b) fuera de foco., c) en foco. Problemas 6. Diseñe una serie de filtros pasa bajas D con Matlab y aplíquelo a la imagen de Lena. Analice sus resultados de como se pierden detalles al disminuir la frecuencia de corte del filtro. Utilice las siguientes frecuencias de corte, 3π/4, π/, y π/4. Documente su diseño y análisis e ilústrelo con las imágenes resultado. 6. Selecciones una situación donde tenga que aplicar un filtro. 5

16 a) Diseñe el filtro en Matlab. b) Muestre la respuesta a la frecuencia del filtro. c) Realice el filtrado espacial con el filtro. d) Muestre el filtro en el espacio y la imagen filtrada. e) Realice un filtrado en la frecuencia con el filtro. f) Muestre el filtro en la frecuencia y la imagen filtrada en la frecuencia y la imagen filtrada en el espacio. 6.3 Use Matlab. Genere una imagen que contenga tres componentes de frecuencia. Diseñe un filtro para dejar pasar únicamente la componente de frecuencia más baja y aplíquelo a la imagen, filtrado espacial. Diseñe un filtro para dejar pasar únicamente las dos componentes de frecuencia más bajas y aplíquelo a la imagen, filtrado espacial. Realice un filtrado en la frecuencia de manera que obtenga el mismo efecto obtenido en 5 a). 6.4 Realice un programa para obtener la transformada de Fourier en dos dimensiones de las imágenes I.raw e I.raw. Encuentre los índices de las componentes de frecuencia más sobresalientes y calcule las frecuencias en pixeles/ciclo y en radianes de estas componentes. Estas frecuencias corresponden a las frecuencias de las señales en la imagen. 6.5 Utilizando la FFT de D obtenga el contenido de frecuencia de la imagen en exam.raw. Muestre sus cálculos y de sus resultados en radianes/pixel y pixel /ciclo. 6.6 Dadas las siguientes imágenes, de un bosquejo con la mayor información posible de la magnitud de sus transformadas de Fourier en D. 6.7 Asuma que la derivada se aproxima mediante Encuentre su representación en la frecuencia y muestre que es un filtro pasa altas. 6.8 Respecto al relleno de ceros utilizado en una imagen, Será lo mismo centrar la imagen y rellenar que poner la imagen en la esquina superior izquierda y rellanar? Explique y justifique su respuesta. 6.9 Si tiene la transformada de Fourier de N puntos de una imagen y la transformada de 53

17 Fourier de M puntos de la misma imagen, explique porque existe un cambio en el contraste de la transformada y el incremento en el brillo de los ejes horizontal y vertical. 6.0 Cuál es la diferencia entre el procesamiento espacial y en la frecuencia de una imagen? 6. Obtenga la respuesta a la frecuencia del siguiente filtro Cuál es el efecto del filtro del problema 6. sobre una imagen? 6.3 Las siguientes imágenes representan el espectro de una imagen. Si la imagen a la derecha es la representación correcta del espectro, Qué posible problema existe en la obtención del espectro a la izquierda? 6.4 De una descripción matemática del proceso de filtrado en la frecuencia. 6.5 Cuál es el propósito del relleno de ceros en el proceso de filtrado en la frecuencia? 6.6 El filtro Laplaciano en el espacio se define I ( x, + x utilice la propiedad de Fourier n I( x, I = n x I( x, y n ( j ) F( ) y verifique que la respuesta a la frecuencia del filtro es H ( ) = ( + ), 54

18 Referencias Castleman K.,[996], Digital Image Processing, Prentice Hall,Englewood Cliffs, New Jersy. Gonzalez R. y Woods R., [00], Digital Image Processing, Prentice Hall,Upper Saddle River, New Jersy. Proakis J., Manolakis D., [996],Digital Signal Processing, Principles, Algorithms, and Applications, Prerntice hall, Upper Saddle River, NJ. Russ J. C.,[995], The Image Processing Handbook, CRC Press. 55

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