Introducción al diseño de filtros digitales

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1 Capítulo 6 Introducción al diseño de filtros digitales 6. Causalidad y sus implicaciones Sea hn la respuesta impulsional de un filtro paso bajo ideal con respuesta en frecuencia { ω ωc Hω = 0 ω C < ω < π ω C hn = π ω C π senω C n ω C n n = 0 en otro caso que obviamente no es causal y por tanto no realizable. Pero cómo debe ser Hω para que hn sea causal? Esta pregunta la responde el Teorema de Paley-Wiener que afirma: si hn tiene energía finita y es causal hn = 0, n < 0 entonces π π ln Hω dω < Si esta ecuación se cumple para Hω entonces puede buscarse una respuesta de fase asociada Θω tal que Hω = Hω e jθω represente una señal causal. Nótese que de acuerdo a este teorema la función Hω puede ser cero en frecuencias puntuales aisladas, pero no en una banda finita, puesto que la integral se haría infinita. Por lo tanto, ningún filtro ideal es causal. 09

2 6 Introducción al diseño de filtros digitales Puesto que hn se puede separar en componentes par e impar: hn = h e n + h o n h e n = [hn + h n] h o n = [hn h n] si hn es causal entonces se tiene además hn =h e nun h e 0δn = h o nun + h0δn h e n =h o n, n > 0 y si hn es absolutamente sumable estable BIBO entonces y puesto que hn es causal y real entonces Hω = H R ω + jh I ω h e n H R ω h o n H I ω con lo que se deduce que H R ω es suficiente para establecer Hω. En otras palabras H R ω y H I ω son interdependientes y no se pueden especificar libremente para sistemas causales. Para establecer la relación entre las partes real e imaginaria de la respuesta en frecuencia se plantea utilizando el teorema del enventanado que con Hω = H R ω + jh I ω = F {h e nun h e 0δn} = [H R ω Uω] h e 0 = π un Uω = πδω + π π e jω H R λuω λ dλ h e 0 = πδω + j cot ω, π < ω < π es equivalente a π Hω = H R λπδω λ dλ + H R λ π π π π dλ } {{ } } {{ } + π π π H R ω H R λ j cot ω λ π h e0 dλ h e 0 0 c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR

3 6. Causalidad y sus implicaciones y puesto que H R ω + jh I ω = H R ω j π ω λ H R λ cot dλ π π H I ω = π ω λ H R λ cot dλ π π denominada Transformada de Hilbert discreta de H R ω. La causalidad además tiene otras consecuencias aquí no demostradas, como por ejemplo que Hω no puede ser constante en ningún rango finito de frecuencias y la transición de la banda de paso a la banda de rechazo no puede ser infinitamente abrupta. Por estas razones, las respuestas en magnitud de filtros reales solo pueden ser aproximaciones de las versiones ideales, tal y como lo muestra la figura 6.. La frecuencia angular ω P define + δ Hω Rizado de Banda de Paso δ Rizado de Banda de Rechazo δ ω P ω S π ω Banda de Paso Banda de Transición Banda de Rechazo Figura 6.: Respuesta real de filtro pasa bajas. el límite superior de la banda de paso y así el ancho de banda del filtro. La frecuencia c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR

4 6 Introducción al diseño de filtros digitales angular ω S indica el inicio de la banda de rechazo. El ancho de banda de transición es entonces ω S ω P. Los rizados de las bandas de paso y rechazo son δ y δ respectivamente. En aplicaciones reales se debe especificar entonces antes de diseñar el filtro. áximo rizado permitido en la banda de paso δ. áximo rizado permitido en la banda de rechazo δ 3. Frecuencia de corte de la banda de paso ω P 4. Frecuencia de corte de la banda de rechazo ω S. donde las dos últimas se escogen usualmente en términos de potencia mitad. El grado en que Hω acata las especificaciones depende en parte de los criterios utilizados para seleccionar {a k } y {b k }, así como del número de polos y ceros utilizados. Generalmente el diseño de filtros se concentra en el tipo pasa bajos, para lo que existen gran variedad de técnicas. Algunas de ellas se muestran en la figura 6. y se ilustran con más detalle en [3]. Existen métodos para transformar los filtros pasa bajos a otros tipos como paso altos o paso banda. 6. Filtros de respuesta de impulso finita Para un filtro FIR de longitud la relación de entrada salida está dada por la convolución y es yn = y la función de transferencia es Hz = b k xn k = hkz k = z hkxn k = hn xn hkz k cuyas raíces son los ceros del filtro. Este filtro tiene fase lineal si su respuesta impulsional satisface las simetrías: hn = ±h n, n = 0,,..., que para la transformada z de hn, Hz implica los siguientes casos. c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR

5 6. Filtros de respuesta de impulso finita Diseño de Filtros Digitales FIR IIR Ventanas uestreo en frecuencia Óptimos Analógicos Directos Aproximación de derivadas Aproximación de Padè Invarianza impulsional ínimos cuadrados Transformación bilineal Dominio de frecuencia Transformada z adaptada Figura 6.: Taxonomía de métodos para el diseño de filtros. Para par Hz = z / hk [ z k/ ± z k/] y con z = e jω y asumiendo simetría circular par hn = h n entonces Hω = e jω / = e jω / = e jω / H r ω hk [ e jω k/ + e jω k/] ω hk cos k donde H r ω es una función real por corresponder a una suma ponderada con coeficientes reales hk y términos cosenoidales con argumentos reales. De forma equic P. Alvarado Uso exclusivo ITCR 3

6 6 Introducción al diseño de filtros digitales valente, para el caso antisimétrico circular hn = h n: jω Hω = e jω = e π hk [ e jω k/ e jω k/] j j jω = e π Hr ω Para impar: Hz = z / h + ω hk sen k 3 [ ] hk z k ± z k Con simetría circular par hn = h n lo anterior, en el domino de la frecuencia, conduce a 3 Hω = e jω / h + hk cos ω k = e jω / H r ω y con antisimetría circular hn = h n, que además implica h Nótese que se cumple además 3 jω Hω = e π jω = e π Hr ω z Hz = ±Hz hk sen ω k = 0: lo que implica que si z k es un cero, entonces z k, /z k y /z k también lo son figura 6.3. La tabla 6. resume las posibilidades brindadas por las diferentes simetrías para filtros FIR de fase lineal. 6.. Diseño de filtros FIR por el método de ventanas Sea H d ω la respuesta en frecuencia deseada, que usualmente sigue la forma de un filtro ideal. En general, la respuesta impulsional correspondiente h d n es infinita y dada por 4 c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR

7 6. Filtros de respuesta de impulso finita j z 3 z 3 z z z z z z 3 z 3 z j Figura 6.3: Posición de los ceros en un filtro FIR de fase lineal. Tabla 6.: Simetrías en filtros FIR de fase lineal Simetría Simétrica hn = h n Antisimétrica hn = h n par H r 0 = hk H r 0 = 0 impar H r 0 = h + 3 no apto como filtro paso bajos hk H r 0 = H r π = 0 no apto como filtro paso bajos o altos la transformada inversa de Fourier h d n = π π π H d ωe jωn dω El filtro FIR se obtiene truncando h d n por medio de una ventana es decir, wn = hn = h d nwn = { n = 0,,..., 0 en otro caso { hd n n = 0,,..., 0 en otro caso En el dominio de la frecuencia Hω = H d ω W ω. Puesto que W ω tiene generalmente un lóbulo central y lóbulos laterales, el efecto de la convolución es suavizar la c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR 5

8 6 Introducción al diseño de filtros digitales respuesta H d ω. Para reducir el efecto de dichos lóbulos laterales se utilizan ventanas diferentes a la rectangular, caracterizadas por no tener cambios abruptos en el dominio del tiempo, lo que conduce a lóbulos menores en el dominio de la frecuencia. Algunas ventanas típicas y sus características se presentan en la tabla 6.. Tabla 6.: Funciones utilizadas como ventanas. Ventana hn, 0 n Ancho Pico lóbulo lobular lateral [db] Rectangular 4π/ 3 Bartlett triangular n 8π/ 7 πn Hamming 0,54 0,46 cos 8π/ 3 πn Hanning cos 8π/ 43 Ejemplo 6. Diseñe un filtro pasa bajos de longitud que aproxime H d ω = { e jω / 0 ω ω C 0 en el resto Se obtiene con la transformada inversa de Fourier h d n = ωc e jωn sen ω C n dω = π ω C π n Para el filtro FIR se toman solo muestras: hn = sen ω C n π, 0 n n El truncamiento de h d n conduce a un comportamiento oscilatorio cerca del límite de la banda de paso denominado fenómeno de Gibbs. Nótese que este método no permite mucho control sobre el valor de los parámetros δ, δ, ω S y ω P resultantes c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR

9 6. Filtros de respuesta de impulso finita Diseño de filtros FIR de fase lineal por el método de muestreo de frecuencia En este método se muestrea la respuesta en frecuencia deseada en puntos equiespaciados ω k = π k + α k = 0,,..., k = 0,,..., impar par α = 0 ó y se calcula la respuesta impulsional hn correspondiente, donde para reducir los lóbulos laterales se utilizan métodos numéricos de optimización que sitúan las muestras en la banda de transición. Puesto que Hk + α = H π k + α = hne jπk+αn/, k = 0,,..., n=0 y haciendo uso de la ortogonalidad de la exponencial compleja se cumple además hn = Hk + αe jπk+αn/, n = 0,,..., Con α = 0 estas ecuaciones equivalen a la DFT e IDFT respectivamente. Si hn es real, entonces Hk + α = H k α lo que justifica la utilización de obtiene π Hk + α = H r k + α muestras en vez de. Utilizando la simetría se e j[βπ/ πk+α+/] donde β = 0 si hn es simétrica y β = si hn es antisimétrica. Con π Gk + α = k H r k + α k = 0,,..., se obtiene Hk + α = Gk + αe jπk e j[βπ/ πk+α+/] Respuesta impulsional hn = ±h n Simetría circular par c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR 7

10 6 Introducción al diseño de filtros digitales a = 0: Hk = Gke jπk/ k = 0,,..., πk Gk = k H r Gk = G k hn = G0 + πk Gk cos n + H k + a = : G k + = G = G hn = k= k + k e j π e jπk+/ G k + sen π k + n + Simetría circular impar Hk = Gke jπ/ e jπk/ k = 0,,..., πk Gk = k H r Gk = G k a = 0: hn = πk Gk sen n + impar k= hn = πk n+ G/ Gk sen n + a = : H k + = G k + e jπk+/ G k + π = k H r k + G k + = G k ; G/ = 0 para impar k= par hn = G k + cos π k + n + 8 c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR

11 6. Filtros de respuesta de impulso finita Ejemplo 6. Diseñe un filtro de longitud = 5 con respuesta impulsional hn simétrica y respuesta en frecuencia condicionada a πk k = 0,,, 3 H r = 0,4 k = k = 5, 6, 7 Solución: hn es simétrica y en este caso α = 0. 0,,..., 7 y las ecuaciones anteriores se obtiene Con Gk = k H πk r 5, k = h0 = h4 = 0,04893 h = h3 = 0, h = h = 0, h3 = h = 0,03454 h4 = h0 = 0, h5 = h9 = 0, h6 = h8 = 0,33376 h7 = 0, Diseño de filtros óptimos El diseño de filtros se denomina óptimo si el error de aproximación entre la respuesta en frecuencia deseada y la actual se distribuye equitativamente a lo largo de las bandas de paso y rechazo. Dadas las frecuencias de corte para las bandas de paso y rechazo ω P y ω S respectivamente, el filtro debe satisfacer además δ H r ω + δ ω ω P δ H r ω δ ω > ω S por lo que δ representa el rizado de la banda de paso y δ la atenuación o rizado en la banda de rechazo. Utilizando los filtros simétricos y antisimétricos de fase lineal puede demostrarse que con Qω y P ω dados en la tabla 6.3. H r ω = QωP ω c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR 9

12 6 Introducción al diseño de filtros digitales Tabla 6.3: Descomposición de filtros FIR en P ω y Qω. Simétrico Antisimétrico hn = h n hn = h n Impar Caso Caso 3 Qω = senω Qω = P ω = ak = / { h h ak cos ωk k = 0 k k =,,..., P ω = Par Caso Caso 4 Qω = cos ω 3/ 3 c = h0 5 c = 4h ck cos ωk ck ck + = 4h k, k 5 c0 + 3 c = h Qω = sen ω P ω = bk cosωk b0 = h P ω = dk cosωk d = 4h0 bk = 4h k bk, k b = 4h0 dk dk = 4h k, k d0 d = h 0 c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR

13 6. Filtros de respuesta de impulso finita El error de aproximación se define entonces como Eω = W ω[h dr ω H r ω] = W ω[h dr ω QωP ω] [ ] Hdr ω = W ωqω Qω P ω donde W ω es una función de ponderación de error que usualmente se define como W ω = { δ δ ω en la banda de paso ω en la banda de rechazo y H dr ω la respuesta ideal del filtro deseada que es en la banda de paso y cero en la de rechazo. Con el error se puede reescribir como Ŵ ω = W ωqω Ĥ dr ω = H drω Qω ] Eω = [Ĥdr Ŵ ω ω P ω. El diseño del filtro consiste entonces en buscar los parámetros {αk} = {ak}, {bk}, {ck} ó {dk} que conducen al menor valor máximo de Eω. [ ] [ arg min max Eω = arg min {αk} ω S {αk} max ω S [ Ŵ ω Ĥ dr ] L αk cos ωk] donde S representa el conjunto disjunto de bandas sobre las que se realiza la optimización. Este problema de optimización requiere también métodos numéricos de optimización por ejemplo el algoritmo de intercambio de Remez basados en el teorema de la alterternancia, que establece que la función de error Eω debe exhibir al menos L+ frecuencias extremas en S, es decir, deben existir al menos L + frecuencias {ω i } en S tales que ω < ω <... < ω L+, Eω i = Eω i y Eω i = max Eω, i =,,..., L + ω S para que P ω = L αk cos ωk sea la mejor y única aproximación ponderada de Ĥ dr ω. El nombre del teorema se debe a la alternancia de signo entre dos extremos consecutivos. c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR

14 6 Introducción al diseño de filtros digitales 6.3 Diseño de filtros de respuesta impulsional infinita a partir de filtros analógicos Puesto que el diseño de filtros analógicos es un campo maduro y bien desarrollado, puede hacerse uso de sus resultados transformando filtros analógicos, descritos en el dominio de frecuencia compleja s = σ + jω como H a s = Bs As = β ks k N α ks k 6. a filtros digitales utilizando algún mapeo adecuado entre las variables s y z. La función de transferencia H a s se relaciona con la respuesta impulsional ht a través de la Transformada de Laplace H a s = hte st dt que teniendo una forma racional como en 6. está relacionada con la ecuación diferencial N α k d k yt dt k = donde xt representa la entrada del filtro y yt su salida. β k d k xt dt k 6. Puesto que el sistema descrito por H a s es estable si sus polos se encuentran al lado izquierdo del eje σ = 0 entonces el mapeo de s a z debe. Transformar s = jω en la circunferencia unitaria en el plano z.. El semiplano izquierdo LHP de s debe corresponder con el interior de la circunferencia unitaria. En la sección anterior se mencionó que un filtro tiene fase lineal si Hz = ±z N Hz. Con filtros FIR esto se utiliza para ubicar los ceros, pero con filtros IIR esto implica que cada polo dentro de la circunferencia unitaria en z tiene otro polo correspondiente fuera de ella, lo que implica que el filtro será inestable. En otras palabras, si se requiere un filtro de fase lineal, debe utilizarse un filtro FIR como los tratados en la sección anterior. Con filtros IIR usualmente se enfoca el diseño a la respuesta en magnitud, dejando que las interrelaciones existentes entre fase y magnitud determinen la fase, según corresponda con la metodología de diseño utilizada. c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR

15 6.3 Diseño de filtros de respuesta impulsional infinita a partir de filtros analógicos 6.3. Diseño por aproximación de derivadas Si se cuenta con la ecuación diferencial del filtro 6., se pueden aproximar las derivadas haciendo uso de dyt ynt ynt T yn yn dt = t=nt T T con el intervalo de muestreo T. Transformando al dominio s y z se tiene s = z T Puede deducirse de forma similar que la k-ésima derivada resulta en la relación z s k k = T por lo que la aproximación para el filtro IIR digital es Hz = H a s s= z T La equivalencia entre s y z se puede derivar de mapeo que se ilustra en la figura 6.4. z = st. Im{z} jω Re{z} σ - - Figura 6.4: apeo entre el plano s y el plano z para la aproximación de derivadas. Nótese que los polos del filtro digital solo se ubicarán en frecuencias pequeñas, lo que restringe la utilidad de este método a solo filtros paso bajo y paso banda con frecuencias resonantes relativamente bajas. c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR 3

16 6 Introducción al diseño de filtros digitales 6.3. Diseño por invarianza impulsional Este método consiste en buscar una respuesta impulsional del filtro digital que corresponda a la respuesta impulsional muestreada del filtro analógico: hn = ht t=nt, n = 0,,... En capítulos anteriores se analizó el hecho de que el muestreo en el tiempo conduce a una extensión periódica que consiste en la superposición del espectro analógico desplazado por múltiplos de la frecuencia de muestreo F s = /T. Hω = F s k= H a ωf s πf s k El aliasing que ocurre a altas frecuencias hace este método inapropiado para el diseño de filtros paso alto. En este caso puede demostrarse que la equivalencia entre los dos dominios es z = e st = e σ+jω T = e σt e jωt = re jω con r = e σt y ω = ΩT, lo que implica que el semiplano izquierdo LHP corresponde al interior de la circunferencia unitaria r <. Nótese que todos los intervalos de frecuencia k π Ω k + π se proyectan en la circunferencia, lo T T que hace de esta correspondencia una relación inyectiva que proviene del efecto de aliasing debido al muestreo ver sección... Im{z} 3 jω Re{z} σ Figura 6.5: apeo entre el plano s y el plano z para la invarianza impulsional. Puede demostrarse que el filtro analógico c k c k H a s = equivale a Hz = s p k e p kt z k= y aunque los polos siguen la relación z k = e p kt, esto no se satisface para los ceros. k= 4 c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR

17 6.4 Transformación de Frecuencia La transformada z adaptada De forma similar al diseño por invarianza impulsional, se utiliza aquí el mapeo z = e st, pero tanto para polos como para ceros. Así, transformación z adaptada se le denomina a la equivalencia entre s a y e at z. De esta forma s z k e z k T z Hs = k= N s p k es equivalente a Hz = k= N e p k T z k= k= Con este método debe seleccionarse T lo suficientemente pequeño para evitar el aliasing Diseño por transformación bilineal En este método se utiliza la relación s = T z + z denominada relación bilineal y derivada de la fórmula trapezoidal para integración numérica. Este método es apto para transformar filtros paso alto y paso banda por tener una representación biyectiva entre ω y Ω. Con z = T s + T s se obtiene el mapeo mostrado en la figura Filtros Analógicos Estas transformaciones pueden aplicarse para derivar filtros digitales, por ejemplo, filtros Butterworth, filtros Chebyshev tipos I y II, filtros elípticos y filtros Bessel tabla Transformación de Frecuencia Hay dos maneras de obtener un filtro digital paso bajo, paso alto, paso banda o supresor de banda a partir de un filtro paso bajo analógico: c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR 5

18 6 Introducción al diseño de filtros digitales Tabla 6.4: Características de Filtros Paso Bajo Analógicos Filtro Función de Transferencia Características Butterworth todo-polos Chebyshev, Tipo I todopolos Chebyshev, Tipo II polos y ceros Elíptico ó Cauer polos y ceros todo- Bessel polos HΩ = + Ω/Ω C N Ω C : frecuencia de corte HΩ = + ɛ T N Ω Ω P T N : polinomio de Chebyshev T 0 x = T x = x T N+ x = xt N x T N x HΩ = + ɛ [ TN ΩS Ω P TN ΩSΩ T N : polinomio de Chebyshev HΩ = + ɛ Ω U N Ω P U N : función elíptica Jacobiana de orden N Hs = B N s B N s: funciones de Bessel B 0 s = B s = s + B N s = N B N s + s B N s ] HΩ monótona en las bandas de paso y rechazo. Rizado constante en la banda de paso y característica monótona en la banda de rechazo. Rizado constante en la banda de rechazo y característica monótona en la banda de paso. Rizado constante tanto en la banda de paso como en la de rechazo. Respuesta de fase lineal en la banda de paso aunque se destruye en la conversión a digital. 6 c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR

19 6.4 Transformación de Frecuencia Im{z} jω Re{z} σ - - Figura 6.6: apeo bilineal entre el plano s y el plano z.. Transformar en el dominio analógico al filtro deseado, y luego usar uno de los mapeos de s a z presentados anteriormente para transformarlo al dominio digital.. Transformar el filtro paso bajo a un equivalente paso bajo digital, para luego hacer la transformación al filtro deseado en el dominido digital. Para el primer caso se utilizan las transformaciones mostradas en la tabla 6.5. Para el segundo se presentan las modificaciones en la tabla 6.6. Tabla 6.5: Transformaciones de frecuencia para filtros analógicos. Tipo de filtro Transformación Nuevas deseado frecuencias de corte Paso bajo s Ω P s Ω P Ω P Paso alto s Ω P Ω P Ω P s s + Ω l Ω u Paso banda s Ω P Ω u, Ω l sω u Ω l sω u Ω l Supresor de banda s Ω P s + Ω l Ω u Ω u, Ω l Ω P : frecuencia de corte del prototipo Ω l : frecuencia de corte inferior Ω u : frecuencia de corte superior c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR 7

20 6 Introducción al diseño de filtros digitales Tabla 6.6: Transformaciones de frecuencia para filtros digitales. Tipo de filtro Transformación Constantes Nuevas deseado frecuencias de corte Paso bajo z z a a = sen ωp ω «P az «ω P Paso alto z z + a + az a = cos Paso banda z z a z + a a z a z + Supresor z z a z + a a z a z + de banda ω P : ω l : ω u : ωp +ω sen P ωp +ω P «cos ωp ω P «ω P a = α K K+ ω u, ω l a = K K+ α = cos ωu+ω l cos ωu ω l K = cot ωu ω l tan ω P a = α K+ ω u, ω l a = K +K α = cos ωu+ω l cos ωu ω l K = tan ωu ω l tan ω P frecuencia de corte normalizada del prototipo frecuencia de corte normalizada inferior frecuencia de corte normalizada superior 8 c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR