Representación de señales y sistemas en el dominio de la frecuencia

Transcripción

1 Representación de señales y sistemas en el dominio de la frecuencia Modulación y Procesamiento de Señales Ernesto López Pablo Zinemanas, Mauricio Ramos {pzinemanas, mramos}@fing.edu.uy Centro Universitario Regional Este Sede Rocha Tecnólogo en Telecomunicaciones Curso 216

2 Introducción Respuesta en frecuencia de sistemas Previamente se vio que los sistemas lineales invariantes en el tiempo quedan completamente caracterizados por la respuesta al impulso. Conociendo la respuesta al impulso h[n] de un sistema, es posible conocer la salida y[n] correspondiente a cualquier entrada x[n], y[n] = x[n] h[n]. Otra forma de caracterizar completamente a un SLIT es mediante la respuesta en frecuencia. La respuesta de un SLIT a una secuencia sinusoidal (exponencial compleja) es otra secuencia sinusoidal (exponencial compleja) de la misma frecuencia, con magnitud y fase determinada por la respuesta en frecuencia del SLIT. Por otro lado, mediante un análisis de Fourier, las señales en tiempo discreto pueden representarse como combinación lineal de sinusoides o exponenciales complejas. Si se conoce la respuesta en frecuencia del sistema, se conoce la salida a cualquier entrada. Alcanza con representar la entrada como combinación lineal de secuencias sinusoidales.

3 Respuesta en frecuencia de sistemas Función propia de un sistema Una secuencia x[n] es función propia de un sistema T { } si se cumple que y[n] = T {x[n]} = λx[n], λ C constante Funciones propias de los SLIT Las secuencias exponenciales complejas son funciones propias de los SLIT. Se considera un SLIT con respuesta al impulso h[n] y como entrada, una secuencia exponencial compleja de frecuencia ω radianes, x[n] = e jωn, < n <.

4 Respuesta en frecuencia de sistemas Funciones propias de los SLIT La salida del sistema es y[n] = h[n] x[n] = = k= k= = e jωn ( h[k]e jω(n k) h[k]e jωn e jωk k= h[k]e jωk ) Definiendo la salida queda H(e jω ) = h[k]e jωk, k= y[n] = H(e jω )e jωn. (1)

5 Respuesta en frecuencia de sistemas Funciones propias de los SLIT H(e jω ) es una constante compleja (no depende de n). Por lo tanto, e jωn es una función propia del sistema y el valor propio asociado es H(e jω ). SLIT SLIT Expresando el valor propio complejo en magnitud y fase, H(e jω ) = G e jθ Salida: H(e jω )e jωn = G e jθ e jωn = G e j(ωn+θ) SLIT SLIT

6 Respuesta en frecuencia de sistemas Respuesta en frecuencia de un SLIT El valor propio H(e jω ), definido como H(e jω ) = h[k]e jωk (2) k= se llama respuesta en frecuencia del sistema, y describe el cambio en la magnitud y la fase de la exponencial compleja de entrada en función de la frecuencia ω. En general, la respuesta en frecuencia es una función compleja, y puede ser expresada en términos de: Parte real y parte imaginaria Magnitud y fase H(e jω ) = H R (e jω ) + jh I (e jω ) H(e jω ) = H(e jω ) e j H(ejω )

7 Respuesta en frecuencia de sistemas Respuesta en frecuencia del sistema de retardo Se quiere calcular la respuesta en frecuencia del sistema de retardo, definido como, y[n] = x[n n d ] Para calcular la respuesta en frecuencia, se toma como entrada la exponencial compleja de frecuencia ω, La salida es, x[n] = e jωn. y[n] = e jω(n n d) = e jωn d e jωn. La salida consiste en la entrada multiplicada por una constante que depende de la frecuencia ω de la secuencia de entrada y el retardo n d del sistema. La respuesta en frecuencia del retardo ideal es H(e jω ) = e jωn d.

8 Respuesta en frecuencia de sistemas Respuesta en frecuencia del sistema de retardo Cálculo de la forma usual: usando directamente la definición de la respuesta en frecuencia (ecuación 2), H(e jω ) = (1) = n= n= = e jωn d h[n]e jωn δ[n n d ]e jωn (1) respuesta al impulso del sistema de retardo: h[n] = δ[n n d ] La respuesta en magnitud y fase es respectivamente, H(e jω ) = 1 H(e jω ) = ωn d. En general, la expresión en magnitud y fase es mas útil que la representación en parte real e imaginaria, porque muestra expĺıcitamente las características del sistema.

9 Respuesta en frecuencia de sistemas Respuesta en frecuencia del sistema de retardo 1 H(e jω ) Se considera la entrada x[n] = e jω 1n La entrada es función propia del sistema, y la salida es π ω 1 π ω y[n] = H(e jω 1 )e jω 1n H(e jω ) Como H(e jω 1 ) = e jω 1n d, la salida queda πnd y[n] = e jω 1n d e jω 1n π ω1nd ω 1 π ω = e jω 1(n n d ) = x[n n d ] Conociendo la respuesta en frecuencia, se conoce la respuesta a cualquier secuencia exponencial compleja.

10 Respuesta en frecuencia de sistemas Mas adelante se verá que un amplio conjunto de señales puede ser representado como la combinación lineal de secuencias exponenciales complejas, x[n] = α k e jωkn. k Por el principio de superposición, la salida de un sistema lineal invariante en el tiempo sería y[n] = k α k H(e jω k )e jω kn De esta forma, es posible encontrar la salida del sistema siempre y cuando se dispone de una descomposición de la entrada x[n] como combinación lineal de secuencias exponenciales complejas. se conoce la respuesta en frecuencia del sistema.

11 Respuesta en frecuencia de sistemas Respuesta de un SLIT a una secuencia sinusoidal Es simple representar una secuencia sinusoidal como combinación lineal de exponenciales complejas, x[n] = A cos (ω n + φ) = A (e j(ωn+φ) + e j(ωn+φ)) 2 = A 2 ejφ e jωn + A } {{ } 2 e jφ e jωn. } {{ } x 1[n] x 2[n] Por la ecuación 1, la respuesta a las entradas x 1 [n] y x 2 [n] es, y 1 [n] = H(e jω ) A 2 ejφ e jωn, y 2 [n] = H(e jω ) A 2 e jφ e jωn y por el principio de superposición, la respuesta total es y[n] = A 2 [ H(e jω )e jφ e jωn + H(e jω )e jφ e jωn]

12 Respuesta en frecuencia de sistemas Simetría de la respuesta en frecuencia La respuesta en frecuencia de un sistema con h[n] real es simétrica conjugada (función hermítica), es decir, cumple que Prueba: H(e jω ) = H (e jω ) La definición de la respuesta en frecuencia es H(e jω ) = Conjugando a ambos lados de la igualdad, se tiene que, n= h[n]e jωn H (e jω ) = (1) = (2) = ( n= n= n= = H(e jω ) h[n]e jωn ) h [n]e jωn h[n]e jωn (1) Linealidad de la operación de conjugación. (2) h[n] es real, y por lo tanto h[n] = h [n].

13 Respuesta en frecuencia de sistemas Respuesta de un SLIT a una secuencia sinusoidal (cont.) Se había llegado a que la salida es y[n] = A 2 [ H(e jω )e jφ e jωn + H(e jω )e jφ e jωn] Por la propiedad de simetría conjugada de la respuesta en frecuencia se tiene que y[n] = A 2 [ H(e jω )e jφ e jωn + H (e jω )e jφ e jωn] Expresando la respuesta en frecuencia en ω en magnitud y fase, la salida queda, H(e jω ) = G e jθ, donde G = H(e jω ) y θ = H(e jω ) y[n] = A 2 [ G e jθ e jφ e jωn + G e jθ e jφ e jωn] = A 2 G [e j(ωn+φ+θ) + e j(ωn+φ+θ)]

14 Respuesta en frecuencia de sistemas Respuesta de un SLIT a una secuencia sinusoidal (cont.) Se concluye que la respuesta a la entrada es x[n] = A cos (ω n + φ) y[n] = AG cos (ω n + φ + θ ) La salida del sistema es otra secuencia sinusoidal con: la misma frecuencia que la secuencia sinusoidal de entrada (ω) magnitud escalada por el factor G = H(e jω ). El factor es la ganancia del sistema en la frecuencia ω de la secuencia de entrada. fase desplazada una cantidad θ = H(e jω ). El desplazamiento de fase es la respuesta en fase del sistema en la frecuencia ω. Fidelidad sinusoidal de los SLIT: una conclusión importante que se extrae de este ejemplo, es que la respuesta de un SLIT a una secuencia sinusoidal es otra secuencia sinusoidal de la misma frecuencia.

15 Respuesta en frecuencia de sistemas Respuesta de un SLIT a una secuencia sinusoidal (cont.) Magnitud 1 G H(e jω ) La entrada es una secuencia sinusoidal de frecuencia: x[n] = A cos(ω n + φ) Fase (rad) π π ω Frecuencia (rad) ω π π H(e jω ) En la frecuencia ω el sistema tiene: respuesta en magnitud G respuesta en fase θ La salida es entonces y[n] = AG cos(ω n + φ + θ ) θ La simetría conjugada de la respuesta en frecuencia implica que la respuesta en magnitud es una función par y la respuesta en fase es una función impar.

16 Respuesta en frecuencia de sistemas Periodicidad de la respuesta en frecuencia El concepto de respuesta en frecuencia de un SLIT es esencialmente igual en el caso de sistemas en tiempo continuo y en sistemas en tiempo discreto. Una diferencia importante, es que la respuesta en frecuencia de los sistemas en tiempo discreto es siempre periódica en la frecuencia ω, con período 2π. Prueba: evaluando la respuesta en frecuencia (ecuación 2) en ω + 2π, H(e j(ω+2π) ) = (1) = n= n= = H(e jω ) h[n]e j(ω+2π)n h[n]e jωn (1) como e ±j2πn = 1 para n entero, e j(ω+2π)n = e jωn e j2πn = e jωn Como se cumple que H(e j(ω+2π) ) = H(e jω ), H(e jω ) es periódica de período 2π.

17 Respuesta en frecuencia de sistemas Periodicidad de la respuesta en frecuencia Interpretación: se vió previamente que las secuencias {e jωn } y {e j(ω+2π)n }, < n < son indistinguibles. Como las dos secuencias toman valores idénticos para todo n, la respuesta del sistema debe ser la misma para ambas. La periodicidad de la respuesta en frecuencia hace que solo sea necesario especificarla en un intervalo de frecuencia de longitud 2π, por ejemplo, en π < ω < π. En este intervalo, las frecuencias cercanas a corresponden a bajas frecuencias y las frecuencias cercanas a ±π corresponden a las altas frecuencias. Altas Frecuencias Bajas Frecuencias Altas Frecuencias π π

18 Respuesta en frecuencia de sistemas Respuesta de un SLIT a una secuencia sinusoidal (cont.) Se considera el sistema con repuesta en frecuencia mostrada en la figura. Por la propiedad de simetría conjugada de la respuesta en frecuencia, alcanzaría con especificar la respuesta en frecuencia en ω < π. Qué hace este sistema? El sistema tiene: Magnitud Fase (rad) 1 π π Frecuencia (rad) H(e jω ) H(e jω ) π π ganancia unitaria en torno a la frecuencia radianes. ganancia casi nula en torno a las frecuencias ±π radianes. El sistema deja pasar las bajas frecuencias inalteradas e impide pasar las frecuencias altas. Filtro pasabajos

19 Respuesta en frecuencia de sistemas Respuesta de un SLIT a una secuencia sinusoidal (cont.) La entrada al sistema son las secuencias sinusoidales x 1 [n], x 2 [n] y x 3 [n] de frecuencias ω 1 =.25, ω 2 =.75 y ω 3 = 1.5 radianes respectivamente Magnitud ω (rad) π π Fase (rad)

20 Respuesta en frecuencia de sistemas Respuesta de un SLIT a una secuencia sinusoidal (cont.) Entrada de frecuencia ω 1 =.25 radianes.9893 entrada salida Entrada de frecuencia ω 2 =.75 radianes Entrada de frecuencia ω 3 = 1.5 radianes n

21 Respuesta en frecuencia de sistemas Interpretación de la respuesta en fase Si en la frecuencia ω = ω el sistema tiene ganancia G = H(e jω ) y respuesta en fase θ = H(e jω ), entonces Entrada Salida x[n] = A cos (ω n) y[n] = AG cos (ω n + θ ) La alteración en la fase se puede ver como un retardo en la señal, ( ( y[n] = AG cos [ω n θ ))] ω Se define el retardo de fase como la cantidad τ φ (ω) = H(ejω ) ω Se interpreta como el número de muestras (no necesariamente entero) que el sistema retarda a la secuencia sinusoidal de salida respecto a la de entrada.

22 Respuesta en frecuencia de sistemas Respuesta de un SLIT a una secuencia sinusoidal (cont.) Dividiendo la respuesta en fase entre ω para todo ω se obtiene el retardo de fase para cada frecuencia. Fase (rad) H(e jω ) π ω (rad) Retardo de fase (muestras) H(e jω ) ω π

23 Respuesta en frecuencia de sistemas Respuesta de un SLIT a una secuencia sinusoidal (cont.) 2 1 Entrada de frecuencia ω 1 =.25 radianes muestras entrada salida muestras Entrada de frecuencia ω 2 =.75 radianes muestras Entrada de frecuencia ω 3 = 1.5 radianes n

24 Respuesta en frecuencia de sistemas Filtros selectores de frecuencias ideales Los filtros selectores de frecuencia ideales son sistemas cuya respuesta en frecuencia tiene ganancia unitaria en cierto rango de frecuencias y ganancia nula en el resto. De esta forma permiten pasar inalterada cierta banda de frecuencias y bloquean completamente al resto. Hay cuatro tipos básicos: pasabajos pasaltos pasabanda suprimebanda

25 Respuesta en frecuencia de sistemas Filtros selectores de frecuencias ideales Filtro pasabajos ideal 1 H lp (e jω ) Banda pasante 2π 2π +ω c π ω c π 2π ω c 2π ω ω c Banda atenuada Clasificación de las regiones en frecuencia de los filtros selectores Banda pasante: Rango de frecuencias que el filtro permite pasar sin alterar. Banda atenuada: Rango de frecuencias que el filtro bloquea. Frecuencia de corte (ωc): Frecuencia entre la banda pasante y la banda de transición.

26 Respuesta en frecuencia de sistemas Filtros selectores de frecuencias ideales Tipos de filtros selectores de frecuencias Pasabajos H lp(e jω ) Pasabanda H bp(e jω ) 1 1 π ω c ω c π ω H hp(e jω ) Pasaaltos 1 π ω b ω a ω a ω b π ω H sp(e jω ) Suprimebanda 1 π ω c ω c π ω π ω b ω a ω a ω b π ω

27 Respuesta en frecuencia de sistemas Respuesta en frecuencia del sistema de media móvil Ecuación de transformación y[n] = 1 M + 1 { M x[n k] h[n] = k= Respuesta al impulso 1 M + 1, n M, en otro caso. Empleando la definición de la respuesta en frecuencia (ecuación 2), se tiene que H(e jω ) = n= = 1 M + 1 (1) = h[n]e jωn M n= e jωn 1 1 e jω(m+1) M e jω (1) Suma de los primeros M términos de una serie geométrica: M 1 n= En este caso, r n = 1 rm 1 r. r = e jω.

28 Respuesta en frecuencia de sistemas Respuesta en frecuencia del sistema de media móvil H(e jω ) = 1 1 e jω(m+1) M e jω Sacando de factor común e jω(m+1)/2 en el numerador y e jω/2 en el denominador, queda H(e jω ) = 1 e jω(m+1)/2 e jω(m+1)/2 e jω(m+1)/2 M + 1 e jω/2 e jω/2 e jω/2 y operando, se llega a que H(e jω ) = e jωm/2 1 M + 1 sin(ω(m + 1)/2). sin(ω/2)

29 Respuesta en frecuencia de sistemas Respuesta en frecuencia del sistema de media móvil Filtro de media móvil con M = 4. H(e jω ) 1 2π π 2π 5 2π 5 π 2π ω H(e jω ) π 2π π π 2π ω π

30 Respuesta en frecuencia de sistemas Respuesta en frecuencia del sistema de media móvil Magnitud del espectro del sistema de media movil (M = 12) sin(ω(m +1)/2) sin(ω/2) sin(ω(m +1)/2) sin(ω/2) 4π M +1 2π M +1 π π ω π π ω La respuesta en frecuencia se anula en ω(m + 1) 2 = kπ, k Z ω = 2kπ M + 1, k Z 4π El ancho del lóbulo principal es radianes. Decrece con M. M + 1 La velocidad de las oscilaciones crece con M.

31 Respuesta en frecuencia de sistemas Respuesta en frecuencia del sistema de media móvil Fase del espectro del sistema de media movil (M = 12) π 4π 2π π π ω π π ω sin(ω(m+1)/2) sin(ω/2) e jωm/2 π La fase de la respuesta en frecuencia es H(e jω ) = e jωm/2 sin(ω(m + 1)/2) sin(ω(m + 1)/2) + = ωm/2 + sin(ω/2) sin(ω/2) El segundo término es real, por lo que su fase es 2kπ cuando es positivo o π + 2kπ cuando es negativo. La fase es lineal con saltos de π.

32 Respuesta en frecuencia de sistemas Respuesta en frecuencia del sistema de media móvil Magnitud de la respuesta en frecuencia al variar M. 1 M=1 M=3 M=1.8.6 Amplitud ω (rad)

33 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Motivación Las secuencias exponenciales complejas son funciones propias de los sistemas lineales invariantes en el tiempo, El valor propio H(e jω ) es una constante compleja que depende de la frecuencia ω de la exponencial de entrada. Indica como el sistema modifica la magnitud y la fase de la entrada. H(e jω ) se llama respuesta en frecuencia del sistema y se obtiene a partir de la respuesta al impulso como, H(e jω ) = k= h[k]e jωk. Conociendo la respuesta en frecuencia del sistema, se conoce la salida cuando la entrada es cualquier secuencia exponencial compleja.

34 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Motivación Sea x[n] la entrada a un sistema lineal e invariante en el tiempo. 1. Si fuera posible expresar la secuencia de entrada como combinación lineal de exponenciales complejas, x[n] = k α k e jω kn, 2. y además se conoce la respuesta en frecuencia del sistema H(e jω ), se conoce la salida, que por el principio de superposición sería y[n] = k α k H(e jω k )e jω kn. La transformada de Fourier de una secuencia indica como se descompone la secuencia en una combinación lineal de exponenciales complejas.

35 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Representación de Fourier de una secuencia Una secuencia puede ser representada mediante una integral de Fourier como x[n] = 1 π X(e jω )e jωn dω. (3) 2π π donde X(e jω ) = n= x[n]e jωn. (4) La ecuación 3 es la transformada de Fourier inversa. Es la fórmula de síntesis de x[n], ya que indica como construir x[n] mediante la superposición de exponenciales complejas de la forma 1 2π X(ejω )e jωn dω superposición de infinitas exponenciales, una de cada frecuencia posible en un intervalo de 2π radianes. X(e jω ) determina la amplitud y la fase relativa de cada exponencial.

36 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Representación de Fourier de una secuencia La ecuación 4, X(e jω ) = x[n]e jωn, n= es la transformada de Fourier de x[n]. Es la ecuación de análisis de x[n], ya que al obtener X(e jω ), se determina la magnitud y la fase de cada exponencial compleja para generar x[n] usando la ecuación 3. Transforma una secuencia en una función de variable continua. Observación: La respuesta al impulso de un sistema lineal invariante en el tiempo (ecuación 2) se definió como H(e jω ) = n= h[n]e jωn. Por lo tanto, la respuesta en frecuencia es la transformada de Fourier de la respuesta al impulso.

37 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Representación de Fourier de una secuencia Observaciones La transformada de Fourier es una función compleja de ω y se puede representar de forma rectangular o polar, Parte real y parte imaginaria Magnitud y fase X(e jω ) = X R (e jω ) + jx I (e jω ) X(e jω ) = X(e jω ) e j X(ejω ) Es una función periódica de período 2π, como se demostró para la respuesta en frecuencia. Es común el uso del término espectro para referirse a la transformada de Fourier. Cualitativamente, la transformada de Fourier indica la prominencia de componentes sinusoidales en la señal. Una magnitud grande del espectro en cierta frecuencia indica la presencia de un componente sinusoidal de gran amplitud de esa frecuencia en la señal.

38 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Representación de Fourier de una secuencia x[n] n 1 8 X(e jω ) π π/1 7π/16 π ω (rad)

39 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Representación de Fourier de una secuencia 3 2 x[n] sinusoide de ω = π/1 rad sinusoide de ω = 7π/16 rad n

40 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Representación de Fourier de una secuencia La señal x[n] es la suma de dos sinusoides de frecuencias π/1 y 7π/16 radianes con envolvente exponencial decreciente. La transformada de Fourier X(e jω ) tiene amplitud grande en las frecuencias π/1 y 7π/16 radianes, indicando la presencia de componentes sinusoidales de esas frecuencias en la señal x[n].

41 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Transformada y transformada inversa Las ecuaciones 4 y 3 de la transformada y la transformada inversa son inversas una de la otra. Transformada de Fourier Transformada inversa de Fourier X(e jω ) = x[n]e jωn x[n] = 1 π X(e jω )e jωn dω 2π n= π Demostración: sustituyendo la transformada de x[n] en la ecuación de la antitransformada, se tiene que ˆx[n] = 1 ( π ) x[m]e jωm e jωn dω. 2π π m= Si ˆx[n] = x[n], las ecuaciones son inversas. Si la sumatoria infinita converge uniformemente para todo ω (ver apéndice), se puede intercambiar el orden de integración y suma, ˆx[n] = m= ( 1 π ) x[m] e jω(n m) dω 2π π (5)

42 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Transformada y transformada inversa La integral entre paréntesis se resuelve como 1 π e jω(n m) dω = 1 2π π 2π e jω(n m) j(n m) π π = 1 e jπ(n m) e jπ(n m) 2π j(n m) sin π(n m) = π(n m) { (1) 1, m = n, =, m n, = δ[n m] (1) Se usa que Para todo k Z sin πk = Regla de L Hôpital para evaluar en n = m: Si lim f(x) = lim g(x) = x c x c entonces Sustituyendo este resultado en la ecuación 5 se llega a que ˆx[n] = m= x[m]δ[n m] = x[n]. f(x) lim x c g(x) = lim f (x) x c g (x)

43 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Existencia de la representación de Fourier La existencia de la transformada de Fourier está determinada por la convergencia de la sumatoria en la ecuación 4. Concretamente, la transformada de Fourier existe si se cumple que X(e jω ) < para todo ω. Una condición suficiente de existencia puede establecerse de la siguiente forma, X(e jω ) = x[n]e jωn n= (1) Se usa: (1) x[n] e jωn Desigualdad triangular El módulo del producto es n= igual al producto de los módulos = x[n] < n=

44 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Existencia de la representación de Fourier Se concluye que una condición suficiente para la existencia de la transformada de Fourier de una secuencia, es que la secuencia sea absolutamente sumable. Además, en ese caso la sumatoria converge uniformemente a una función continua de ω. Observaciones: La respuesta en frecuencia de un sistema estable siempre existe y es una función continua de ω. La condición necesaria y suficiente de estabilidad es que la respuesta al impulso del sistema sea absolutamente sumable. Las secuencias de duración finita siempre son absolutamente sumables y por lo tanto siempre tienen representación de Fourier. Los sistemas FIR siempre son estables y por lo tanto tienen respuesta en frecuencia finita y continua. Para secuencias de duración infinita es necesario verificar la condición de existencia en cada caso particular.

45 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Transformada de Fourier de exponencial causal Calcular la transformada de Fourier de la secuencia La transformada de Fourier es, X(e jω ) = x[n]e jωn = = = n= n= a n u[n]e jωn a n e jωn n= (ae jω ) n n= x[n] = a n u[n], a C. El resultado es una serie geométrica que converge si ae jω < 1 a < 1 y en ese caso vale X(e jω 1 ) = 1 ae jω. Previamente se había visto que la condición de sumabilidad absoluta de x[n] es que a < 1.

46 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Existencia de la representación de Fourier La sumabilidad absoluta es una condición suficiente para la existencia de la transformada de Fourier que además garantiza la convergencia uniforme de la serie. Es posible encontrar una representación de Fourier para secuencias que no son absolutamente sumables, pero son cuadráticamente sumables, es decir, n= x[n] 2 < La serie converge puntualmente para todo valor de ω pero no converge uniformemente. La convergencia en este caso, es en media cuadrática: lim M X(ejω ) X M (e jω ) 2 =, donde M X M (e jω ) = x[n]e jωn. n= M

47 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Representación de Fourier de pasabajos ideal El pasabjos ideal se definió a partir de la respuesta en frecuencia, { H lp (e jω 1, ω < ωc, ) =, ω c < ω < π. Se quiere encontrar la respuesta al impulso. Para esto hay que usar la transformada inversa de Fourier, h lp [n] = 1 π H lp (e jω )e jωn dω 2π π = 1 ωc e jωn dω 2π ω c = 1 2π e jωn jn ω c = 1 ( e jω cn e jωcn) 2πjn ω c = sin ω cn, < n <. πn

48 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Representación de Fourier de pasabajos ideal Respuesta al impulso de pasabajos ideal con ω c = π/ n Observaciones: El pasabajos ideal no es causal, ya que h lp [n] en n <. Los valores de la secuencia decaen como 1/n, y por lo tanto h lp [n] no es absolutamente sumable.

49 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Representación de Fourier de pasabajos ideal Como h lp [n] no es absolutamente sumable, su transformada de Fourier, sin ω c n πn e jωn, n= no converge uniformemente para todos los valores de ω. Esto puede verse intuitivamente si se considera la suma de una cantidad finita de términos, H M (e jω ) = M n= M sin ω c n πn e jωn

50 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Representación de Fourier de pasabajos ideal M = 3 H M(e jω ) M = 7 H M(e jω ) π ω c ω c π ω H M(e jω ) M = 2 π ω c ω c π ω H M(e jω ) M = 6 π ω c ω c π ω π ω c ω c π ω

51 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Representación de Fourier de pasabajos ideal Observaciones: A medida que M crece, las oscilaciones son mas rápidas, pero la amplitud de las oscilaciones no decrece. Cuando M, la amplitud de las oscilaciones no tiende a cero, pero se concentran en torno a la frecuencia ω c. Esto implica que H M (e jω ) no converge uniformemente a H lp (e jω ). Sin embargo, como h lp [n] es cuadráticamente sumable, H M (e jω ) converge a H lp (e jω ) de forma cuadrática media, y las funciones únicamente difieren en ω = ω c.

52 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Notación El símbolo F denota la operación de tomar la transformada de Fourier de x[n], X(e jω ) = F {x[n]}. De forma acorde, el símbolo F 1 indica tomar la antitransformada de Fourier, x[n] = F 1 { X(e jω ) }. La notación para indicar que una secuencia x[n] y una función X(e jω ) forman un par de transformadas de Fourier es x[n] F X(e jω ).

53 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Propiedades de simetría de la transformada de Fourier Sea x[n] F X(e jω ). Entonces se cumple que: 1. Transformada de Fourier de la secuencia invertida temporalmente x[ n] F X(e jω ). 2. Transformada de Fourier de la secuencia conjugada x [n] F X (e jω ). 3. Transformada de Fourier de la secuencia conjugada e invertida temporalmente x F [ n] X (e jω ).

54 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Propiedades de simetría de la transformada de Fourier Demostración: como por hipótesis X(e jω ) es la transformada de Fourier de x[n], se tiene que X(e jω ) = n= x[n]e jωn F {x[ n]} = Propiedad 1. n= = k= n x[ n]e jωn k= = X(e jω ). x[k]e jωk Propiedad 2. F {x [n]} = x [n]e jωn = n= ( k= = X (e jω ). x[n]e jωn )

55 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Propiedades de simetría de la transformada de Fourier x[n] F X(e jω ) con x[n] real. La transformada de Fourier es simétrica conjugada: X(e jω ) = X (e jω ) La magnitud es una función par: X(e jω ) = X(e jω ) La fase es una función impar: X(e jω ) = X(e jω ) La parte real es par: X R (e jω ) = X R (e jω ) La parte imaginaria es impar: X I (e jω ) = X I (e jω ) Ejercicio: usando las propiedades de simetría, demostrar que si x[n] es real y par, la transformada de Fourier X(e jω ) es real y par.

56 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Transformada de Fourier de exponencial causal Considerar la transformada de Fourier de la exponencial compleja causal, X(e jω 1 ) = 1 ae jω. La función compleja conjugada evaluada en ω es ( X (e jω ) = 1 1 ae jω cumpliéndose la primer propiedad. ) = a real 1 1 ae jω = X(ejω ), Para ver que se cumplen la segunda y tercer propiedad, hay que calcular la magnitud y la fase. Para eso, se comienza expresando la exponencial del denominador en parte real y parte imaginaria, X(e jω 1 ) = 1 a cos( ω) ja sin( ω) 1 = 1 a cos(ω) + ja sin(ω)

57 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Transformada de Fourier de exponencial causal La magnitud es entonces, X(e jω 1 ) = (1 a cos ω) 2 + a 2 sin 2 ω (1) = a2 2a cos ω Se usó que cos 2 ω + sin 2 ω = 1 y como cos ω es una función par, X(e jω ) también es una función par. La fase es X(e jω ) = (1) (1 a cos ω + ja sin ω) ( ) a sin ω = arctan 1 a cos ω ( ) a sin ω = arctan, 1 a cos ω y se cumple que X(e jω ) = X(e jω ), es decir, es una función impar (la función arctan(x) es impar).

58 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Transformada de Fourier de exponencial causal 1 8 Magnitud de la transformada de Fourier al variar a. a =.9 a =.8 a =.5 Amplitud Fase (rad) π 2 π 4 π 4 π π 2 ω (rad) Fase de la transformada de Fourier al variar a. π 2 a =.9 a =.8 a =.5 π π 2 π π 2 ω (rad) π 2 π

59 Propiedades y teoremas de la transformada de Fourier Linealidad de la transformada de Fourier Si x 1 [n] se cumple que F X 1 (e jω F ) y x 2 [n] X 2 (e jω ) ax 1 [n] + bx 2 [n] F ax 1 (e jω ) + bx 2 (e jω ) Desplazamiento temporal y desplazamiento en frecuencia Si x[n] F X(e jω ), se cumple que Desplazamiento temporal x[n n d ] F e jωn d X(e jω ) Desplazamiento en frecuencia e jω n x[n] F X(e j(ω ω ) )

60 Propiedades y teoremas de la transformada de Fourier Ejemplo: sistema de media móvil simétrico h[n] = Respuesta al impulso { 1 M + 1, n M, en otro caso. Sistema de media móvil causal Respuesta en frecuencia H(e jω ) = e jωm/2 M + 1 Se quiere calcular la transformada de Fourier de la secuencia h s[n] = { 1, M/2 n M/2 M + 1, en otro caso. sin(ω(m + 1)/2) sin(ω/2) (real y par) Observando que h s[n] = h[n+m/2] Propiedad de desplazamiento temporal H s(e jω ) = e jωm/2 H(e jω ) Se concluye que H s(e jω ) = 1 sin(ω(m + 1)/2) M + 1 sin(ω/2) (real y par)

61 Propiedades y teoremas de la transformada de Fourier Diferenciación en frecuencia F Si x[n] X(e jω ), se cumple que nx[n] F j dx(ejω ) dω Teorema de Parseval F Si x[n] X(e jω ), se cumple que E = n= x[n] 2 = 1 π X(e jω ) 2 dω 2π π

62 Propiedades y teoremas de la transformada de Fourier Teorema de la convolución Si y además x[n] se cumple que F X(e jω F ) y h[n] H(e jω ) y[n] = k= x[k]h[n k] = x[n] h[n] Y (e jω ) = X(e jω )H(e jω ). Este teorema indica que la transformada de Fourier transforma la operación de convolución en el tiempo en la operación de producto en la frecuencia.

63 Propiedades y teoremas de la transformada de Fourier Consecuencia del teorema de la convolución: la transformada de Fourier de la salida de un SLIT es el producto de la respuesta en frecuencia del sistema con la transformada de Fourier de la entrada. X(e jω ) π ω N ω N π ω H(e jω ) π ω c ω c π ω Y(e jω ) = X(e jω ) H(e jω ) π ω c ω c π ω

64 Propiedades y teoremas de la transformada de Fourier Teorema de la convolución Otra forma de calcular la salida de un SLIT: 1. Se calcula la transformada de Fourier de la entrada y la respuesta al impulso, X(e jω ) = F {x[n]} H(e jω ) = F {h[n]} 2. Se multiplican esas transformadas obteniendo la transformada de Fourier de la salida, Y (e jω ) = X(e jω )H(e jω ) 3. Se aplica la transformada inversa para obtener la secuencia de salida, { } y[n] = F 1 Y (e jω ) Observación: puede ser mas fácil o menos costoso computacionalmente calcular la convolución usando la transformada de Fourier que calcular la convolución mediante su definición.

65 Propiedades y teoremas de la transformada de Fourier Teorema de enventanado o modulación Si y además x[n] F X(e jω F ) y w[n] W (e jω ) y[n] = x[n]w[n] se cumple que Y (e jω ) = 1 π X(e jθ )W (e j(ω θ) )dθ X(e jω ) W (e jω ) 2π π Y (e jω ) es la convolución periódica entre X(e jω ) y W (e jω ). Este teorema indica que la transformada de Fourier convierte la operación de multiplicación en el tiempo en la operación de convolución en la frecuencia.

66 Propiedades y teoremas de la transformada de Fourier Aplicación: diseño de filtros FIR por enventanado Se vio previamente que la respuesta al impulso del filtro pasabajos ideal es de duración infinita, h lp [n] = sin ω cn, < n <. πn El sistema no se puede implementar mediante el producto convolución porque se requieren infinitas cuentas para calcular cada muestra de la salida. El sistema tampoco admite una representación en una ecuación en recurrencia. Una posibilidad, es truncar la respuesta al impulso mediante la multiplicación con una ventana rectangular w[n], con { 1, M/2 n M/2, w[n] =, en otro caso La respuesta al impulso resultante es { sin ωc n, M/2 n M/2, h[n] = h lp [n]w[n] = πn, en otro caso

67 Propiedades y teoremas de la transformada de Fourier Aplicación: diseño de filtros FIR por enventanado Por el teorema de enventanado, la respuesta en frecuencia del sinc truncado h[n] es H(e jω ) = H lp (e jω ) W (e jω ) donde H lp (e jω ) = { 1, ω < ωc,, ω c < ω < π W (e jω ) = sin(ω(m + 1)/2) sin(ω/2)

68 Amplitud Propiedades y teoremas de la transformada de Fourier Aplicación: diseño de filtros FIR por enventanado.2.15 h lp [n] H lp (e jω ) π ω c ω c π Amplitud Amplitud 1 w[n] M M h.15 lp [n]w[n] M M n (muestras) π π W(e jω ) H lp (e jω ) W(e jω ) 2π 2π M +1 M +1 ω c ω (rad) ω c π π

69 Propiedades y teoremas de la transformada de Fourier Aplicación: diseño de filtros FIR por enventanado Espectro de sinc truncado con distintos largos de ventana M=1 M=3 M=1.8 Amplitud Frecuencia (rad)

70 Propiedades y teoremas de la transformada de Fourier Aplicación: diseño de filtros FIR por enventanado roll off = ancho lobulo prinicipal

71 Propiedades y teoremas de la transformada de Fourier Aplicación: diseño de filtros FIR por enventanado El pasabajos obtenido de esta forma dista de ser ideal. Parámetros de la medida de desempeño de un filtro pasabajos: Ancho de banda de transición: ancho entre la banda pasante y la banda atenuada. Se dice que el filtro tiene un roll-off rápido si el ancho de banda de transición es angosto. Ripple: amplitud de las oscilaciones en la banda pasante y la banda atenuada. Pasabajos construido con el sinc truncado: El ancho de banda de transición se reduce al incrementar el largo de la ventana M. Tiene ripple en la banda pasante y en la banda atenuada. La amplitud del ripple es constante y no depende del largo de la ventana M. Es posible reducir el ripple usando ventanas suaves en los bordes (Hamming, Hanning) a costa de incrementar el ancho de banda de transición.

72 Propiedades y teoremas de la transformada de Fourier Demostración de algunas propiedades Desplazamiento temporal: la transformada de Fourier de x[n n d ] es F {x[n n d ]} = n= = k=n n d = e jωn d x[n n d ]e jωn k= k= = e jωn d X(e jω ) x[k]e jω(k+n d) x[k]e jωk

73 Propiedades y teoremas de la transformada de Fourier Demostración de algunas propiedades Teorema de la convolución: Y (e jω ) = n= ( k= x[k]h[n k] ) e jωn Intercambiando el orden de las sumas y observando que x[k] no depende de n, se tiene que ( ) Y (e jω ) = x[k] h[n k]e jωn = = k= k= k= = H(e jω ) n= x[k]f{h[n k]} x[k]h(e jω )e jωk k= = H(e jω )X(e jω ) x[k]e jωk

74 Propiedades y teoremas de la transformada de Fourier Demostración de algunas propiedades Teorema de Parseval: Teniendo en cuenta que x F [ n] X (e jω ), por el teorema de la convolución se tiene que o equivalentemente, x[n] x [ n] k= F X(e jω )X (e jω ) x[k]x [ (n k)] F X(e jω ) 2 Aplicando la transformada inversa de Fourier, se tiene que k= x[k]x [ (n k)] = 1 π X(e jω ) 2 e jωn dω 2π π Evaluando en n = se concluye que k= x[k] 2 = 1 π X(e jω ) 2 dω 2π π

75 Propiedad Secuencia temporal Transformada de Fourier Linealidad ax[n] + by[n] ax(e jω ) + by (e jω ) Desplazamiento temporal x[n n d ] e jωn d X(e jω ) Desplazamiento en frecuencia e jωn x[n] X(e j(ω ω) ) Inversión temporal x[ n] X(e jω ) Conjugación temporal x [n] X (e jω ) Inversión temporal y conjugación x [ n] X (e jω ) Derivada en frecuencia Convolución en el tiempo Multiplicación en el tiempo Teorema de Parseval nx[n] j dx(ejω ) dω x[n] y[n] X(e jω ) Y (e jω ) 1 π x[n] y[n] 2π π X(ejθ ) Y (e j(ω θ) )dθ E = n= x[n] y [n] E = 1 π 2π π X(ejω ) Y (e jω )dω

76 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Ejemplo Previamente se vio que x[n] = a n u[n] F X(e jω 1 ) = 1 ae jω. Se quiere calcular la transformada de Fourier de y[n] = a n u[n 5]. Observando que Por lo tanto x[n 5] = a n 5 u[n 5] = a 5 a n u[n 5] = a 5 y[n] y[n] = a 5 x[n 5]. Empleando las propiedades de linealidad y de desplazamiento temporal, se llega a que Y (e jω ) = a 5 e j5ω X(e jω ) = a5 e j5ω 1 ae jω

77 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Ejemplo: inversión espectral Se considera el sistema con respuesta en frecuencia { H hp (e jω ) = 1 H lp (e jω ), con H lp (e jω 1, ω < ωc, ) =, ω c < ω < π De esta forma, H hp (e jω ) es un pasaaltos ideal con frecuencia de corte ω c, { H hp (e jω, ω < ωc, ) = 1, ω c < ω < π Respuesta al impulso de pasaltos ideal? h hp [n] = F 1 { H hp (e jω ) } = F 1 { 1 H lp (e jω ) } (1) = F 1 {1} F 1 { H lp (e jω ) } (2) = δ[n] sin ω cn πn (1) Linealidad de la transformada de Fourier. (2) Se vio que F 1 {1} = δ[n] { } F 1 H lp (e jω sin ωcn ) = πn

78 Amplitud Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Ejemplo: inversión espectral.8 h lp [n] H lp (e jω ) π ω c ω c π.8 h hp [n] =δ[n] h lp [n] H hp (e jω )=1 H lp (e jω ) 1.5 Amplitud n (muestras) π ω c ω (rad) ω c π + h hp [n] = δ[n] h lp [n]

79 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Ejemplo: inversión espectral Observaciones La técnica de reversión espectral se utiliza para diseñar filtros pasaltos a partir de filtros pasabajos. La aplicación es mas general. Permite construir el filtro complementario a uno dado, como por ejemplo, un suprimebanda a partir de un pasabanda. El pasaaltos obtenido es IIR. Hay que multiplicar por una ventana para truncar la respuesta al impulso y convertirlo en un FIR. Esta técnica solo puede emplearse con filtros de respuesta en fase lineal.

80 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Ejemplo: reversión espectral Se considera el sistema con respuesta al impulso h hp [n] = e jπn h lp [n], con h lp [n] = sin ω cn πn. h lp [n] es un pasabajos ideal con frecuencia de corte ω c, H lp (e jω ) = Respuesta en frecuencia de h hp [n]? { 1, ω < ωc,, ω c < ω < π La propiedad de desplazamiento en frecuencia indica que e jω n x[n] F X(e j(ω ω ) ) En este caso, se tiene que e jπn h lp [n] F H lp (e j(ω π) ) Es un desplazamiento de Hlp (e jω ) de π radianes en frecuencia.

81 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Ejemplo: reversión espectral 1 H lp (e jω ) 3π 2π π ωc ωc π 2π 3π ω H lp (e j(ω π) ) 1 3π 2π π π ωc π π+ωc 2π 3π ω El pasabajos de frecuencia de corte ω c se transforma en un pasaaltos de frecuencia de corte π ω c. Además, h hp [n] = e jπn h lp [n] = ( 1) n h lp [n]. El pasaaltos se obtiene a partir de la respuesta al impulso del pasabajos cambiando de signo las muestras impares.

82 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Ejemplo: reversión espectral Amplitud.2 h lp [n] π H lp (e jω ) ω c ω c π Amplitud.2 h hp [n] =( 1) n h lp [n] n (muestras) H hp (e jω )=H lp (e j(ω π) ) π π +ω c π ω c ω (rad) π

83 Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Ejemplo: reversión espectral Observaciones La técnica de reversión espectral se utiliza para diseñar filtros pasaltos a partir de filtros pasabajos. Si la frecuencia de corte del pasabajos es ωc, la frecuencia de corte del pasaltos obtenido es π ω c. El pasaaltos obtenido es IIR. Hay que multiplicar por una ventana para truncar la respuesta al impulso y convertirlo en un FIR. Esta técnica puede emplearse con filtros de respuesta en fase arbitraria.

84 Otras transformadas de Fourier Transformada de secuencias exponenciales complejas Se quiere encontrar la secuencia x[n] cuya transformada de Fourier es el tren de pulsos periódico X(e jω ) = k= 2πδ(ω ω + 2πk), π < ω π. 2π ω 4π 3π 2π ω 2π π ω π 2π ω +2π 3π ω Para determinar la secuencia x[n], hay que aplicar la antitransformada de Fourier a X(e jω ), x[n] = 1 π X(e jω )e jωn dω 2π π

85 Otras transformadas de Fourier Transformada de secuencias exponenciales complejas Como la integral es en un período, es decir, en π < ω π, alcanza con considerar X(e jω ) solo en un período, X(e jω ) = 2πδ(ω ω ). La antitransformada de Fourier queda Se concluye que x[n] = 1 2π = π π π π 2πδ(ω ω )e jωn dω δ(ω ω )e jωn dω π = e jωn δ(ω ω )dω = e jωn π x[n] = e jωn F X(e jω ) = k= 2πδ(ω ω + 2πk)

86 Otras transformadas de Fourier Transformada de secuencias exponenciales complejas Observaciones: La secuencia x[n] = e jω n no es absolutamente sumable ni cuadráticamente sumable, y por lo tanto, su transformada de Fourier X(e jω ) no es finita para todo ω. En el caso particular en que ω =, se tiene que x[n] = 1 F X(e jω ) = 2πδ(ω) También es posible encontrar la transformada de secuencias sinusoidales usando la propiedad de linealidad de la transformada de Fourier. Como cos ω n = 1 2 ejω n e jω n, sin ω n = 1 2j ejω n 1 2j e jω n, se llega a que cos ω n sin ω n F πδ(ω ω ) + πδ(ω + ω ), F π j δ(ω ω) π δ(ω + ω), j π π < ω π < ω π

87 Otras transformadas de Fourier Transformada de secuencias exponenciales complejas π 3π 2π π ω ω π 2π 3π F(cosω n) ω F(sinω n) ω 3π 2π π ω π 2π 3π π j ω π j

88 Resumen de transformadas de Fourier vistas Secuencia temporal Transformada de Fourier δ[n] 1 δ[n n d ] e jωn d a n u[n] 1 1 ae jω e jωn 2πδ(ω ω ) cos(ω n) π[δ(ω ω ) + δ(ω + ω )] sin(ω n) π j [δ(ω ω ) δ(ω + ω )] 1, n M,, en otro caso sin ω n πn jωm/2 sin[ω(m + 1)/2] e sin(ω/2) 1, ω < ω,, ω > ω Observacion: Las transformadas de Fourier de la tabla están dadas en π < ω π sobreentendiendo que es una función periódica de período 2π.

89 La función Delta de Dirac Apéndice I La función delta de Dirac es una función generalizada (distribución) que vale cero en todos los reales excepto en cero, donde vale infinito. Además, el área total bajo la función es uno. δ(x) = { +, x =, x δ(x) dx = x La función puede pensarse como un pico infinitamente alto e infinitamente angosto situado en el origen, donde el área bajo el pico vale uno. La función delta de Dirac suele referirse como impulso de Dirac o simplemente impulso.

90 Apéndice I La función delta puede ser considerada como el ĺımite de alguna función que tiene un pico en el origen, como por ejemplo, una función triangular de altura 1/τ y ancho τ. { 1 ( x ) ( x ) δ(x) = lim τ τ Λ 1 x, x < τ, con Λ = τ τ τ, x τ 3 τ =1 3 τ =.5 3 τ = τ =.1 3 τ =.5 3 τ =

91 La función Delta de Dirac Propiedades Apéndice I f(x)δ(x) = f()δ(x) f(x)δ(x x) = f(x )δ(x x ) f(x)δ(x x )dx = f(x ) f(x) δ(x) = f(x) Tren de impulsos periódico: la función tren de impulsos periódico (también llamada peine de Dirac) de período T se define como III T (x) def = k= δ(x kt ) 3T 2T T T 2T 3T x

92 Apéndice II Convergencia de sucesiones de funciones (no va) Dos sentidos en los cuales una sucesión de funciones puede converger a una función particular son la convergencia puntual y la convergencia uniforme. Convergencia puntual Una sucesión de funciones f n : S C, con S conjunto no vacío, converge puntualmente a una función f : S C si lim f n(x) = f(x), n para cada x S fijo. Esto significa que x S ε > N N n N = f n (x) f(x) < ε. (6)

93 Apéndice II Convergencia uniforme Una sucesión de funciones f n : S C, con S conjunto no vacío, converge uniformemente a una función f : S C si para todo ε > existe un entero N (que depende de ε) tal que f n (x) f(x) < ε, para todo x S y todo n N. Esto significa que ε > N N f n (x) f(x) < ε x S n N (7) Observaciones: En 6, N puede depender de ε y de x, mientras que en 7 N sólo puede depender de ε. La convergencia uniforme es un concepto más fuerte que el de convergencia puntual. Toda sucesión que converge uniformemente, converge puntualmente, pero el enunciado recíproco es falso. Cualitativamente, la convergencia uniforme significa que la sucesión converge para todos los x con la misma velocidad.

94 Apéndice III Interpretación de la representación de Fourier (no va) La ecuación de síntesis, x[n] = 1 π X(e jω )e jωn dω 2π π indica que la secuencia x[n] se puede construir mediante la combinación lineal de infinitas exponenciales complejas. Se considera x[n] definida como x[n] = 1 2π N k= N X(e jk ω )e jk ωn ω, con ω = π N Definida de esta forma, x[n] es una combinación de 2N + 1 exponenciales complejas. Además, lim ω 1 2π N k= N X(e jk ω )e jk ωn ω = 1 π X(e jω )e jωn dω 2π π

95 Apéndice III Interpretación de la representación de Fourier Respuesta en frecuencia del filtro de media movil (M=4) 1.88 Magnitud.8.6 ω = π π 3 8π 9 7π 9 6π 9 5π 9 4π 9 3π 9 2π 9 π 9 π 9 2π 9 3π 9 4π 9 5π 9 6π 9 7π 9 8π 9 π 2 Fase (rad)

96 Apéndice III Interpretación de la representación de Fourier x[n] = 1 2π = ω 2π = ω 2π = ω 2π = ω 2π = ω 2π N k= N { 1 k= N k=1 X(e jk ω )e jk ωn ω X(e jk ω )e jk ωn + X(e j )e jn + } N X(e jk ω )e jk ωn k=1 { N } N X(e jk ω )e jk ωn + X(e j )e jn + X(e jk ω )e jk ωn { { { X(e j )e jn + X(e j )e jn + X(e j )e jn + 2 k=1 N [ X(e jk ω )e jk ωn + X (e jk ω )e jk ωn]} k=1 N 2 Re [ X(e jk ω )e jk ωn]} k=1 N X(e jk ω ) cos [ k ωn + X(e jk ω ) ]} k=1

97 Apéndice III Interpretación de la representación de Fourier Se considera el sistema de media móvil Se aproxima la ecuación de síntesis con N = 9. De esta forma ω = π 9, x[n] = 1 18 X(ej )e jn [ ] X(e j kπ kπ 9 ) cos 9 n + X(ej kπ 9 ) k=1 La reconstrucción de x[n] de esta forma consiste en la combinación lineal de 2N + 1 = 19 exponenciales complejas.

98 Apéndice III Interpretación de la representación de Fourier.1 x[n] = 1 ( ) π 18 cos 9 n+ x1[n] =.88 ( ) 1π 9 cos 9 n.7 x2[n] =.58 ( ) 2π 9 cos 9 n 1.4 x3[n] =.2 ( ) 3π 9 cos 9 n 2.9 x4[n] =.11 ( ) 4π 9 cos 9 n xk[n] 1 xk[n] 2 xk[n] 3 xk[n] 4 xk[n] k= k= k= k= k=

99 Apéndice III Interpretación de la representación de Fourier x5[n] =.25 ( ) 5π 9 cos 9 n.35.1 x6[n] =.2 ( ) 6π 9 cos 9 n 1.5 x7[n] =.4 ( ) 7π 9 cos 9 n 1.75 x8[n] =.13 ( ) 8π 9 cos 9 n+.7 x9[n] =.2 ( ) 9π 9 cos 9 n xk[n] 6 xk[n] 7 xk[n] 8 xk[n] 9 xk[n] k= k= k= k= k=

100 Referencias I