Fundamentos de procesamiento digital de señales (Tema 1)

Transcripción

1 Fundamentos de procesamiento digital de señales (Tema ) A. J. Zozaya Instituto Espacial Ecuatoriano (IEE), Escuela Politécnica Nacional (EPN) Quito, 206 A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 206 / 39

2 Contenido Convolución de tiempo continuo 2 Correlación 3 Convolución de tiempo discreto 4 Analisis en el dominio de la frecuencia Transformada de Fourier de tiempo continuo Transformada de Fourier de tiempo discreto Transformada discreta de Fourier 5 Convolución usando la DFT 6 Muestreo de señales analógicas 7 Interpolación 8 Referencias A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

3 Convolución de tiempo continúo Linealidad e invariancia temporal Linealidad superposición CT DT x! y x 2! y 2 x + 2 x 2 + : : :! y + 2 y 2 + : : : x(t)! y (t) x(t t 0 )! y (t t 0 ) x[n]! y [n] x[n n 0 ]! y [n n 0 ] el origen de los tiempos es irrelevante A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

4 Convolución de tiempo continúo x(t) o x[n] ) combinación lineal de funciones bases Funciones bases: convenientes analítacamente Dos clases impulsos retardados ) convolución exponenciales complejos ) Análisis de Fourier CT ( 6= 0 si t = 0; (t) = = 0 si t 6= 0: Z (t) dt = DT [n] = ( = si n = 0; = 0 si n 6= 0: Z f (t)(t ) dt = f ( )(t ) dt =f ( ) A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

5 Convolución de tiempo continúo Como Z s(t)(t u) dt = s(u)(t u) dt = s(u) Entonces Z s(u)(t u) du = s(t) A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

6 Convolución de tiempo continúo Como Z s(t)(t u) dt = s(u)(t u) dt = s(u) Entonces Z s(u)(t u) du = s(t) A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

7 Convolución de tiempo continúo Como Z s(t)(t u) dt = s(u)(t u) dt = s(u) Entonces Z s(u)(t u) du = s(t) A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

8 Convolución de tiempo continúo ltrar ) convolución A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

9 Convolución de tiempo continúo ltrar ) convolución y (t) = s(t) h(t) Z y (t) = s(t) h(t) = Z = s(u)h(t u) du s(t u)h(u) du h(t): respuesta impulsiva del ltro. s(t): la señal. A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

10 Convolución de tiempo continúo ltrar ) convolución y (t) = s(t) h(t) Z y (t) = s(t) h(t) = Z = s(u)h(t u) du s(t u)h(u) du h(t): respuesta impulsiva del ltro. s(t): la señal. Filtro de duración nita T y (t) = s(t) h(t) = = Z t+t =2 t T =2 Z T =2 s(u)h(t u) du s(t u)h(u) du T =2 A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

11 Algunas propiedades Linealidad [s (x) + s 2 (x)] h(x) = s (x) h(x) + s 2 (x) h(x) Conmutatividad s(t) h(t) = h(t) s(t) A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

12 Correlación Correlación (cruzada) medida de similitud Z Φ sh (t) = s(u)h (u t) du A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

13 Correlación Correlación (cruzada) medida de similitud permite detectar donde s(t) y h(t) matches Z Φ sh (t) = s(u)h (u t) du A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

14 Correlación Correlación (cruzada) medida de similitud permite detectar donde s(t) y h(t) matches Ejemplo : = s, sin ruido Z Φ sh (t) = s(u)h (u t) du A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

15 Correlación Correlación (cruzada) medida de similitud permite detectar donde s(t) y h(t) matches Ejemplo : = s, sin ruido Ejemplo 2: en presencia de ruido Z Φ sh (t) = s(u)h (u t) du A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

16 Correlación Correlación (cruzada) medida de similitud permite detectar donde s(t) y h(t) matches Ejemplo : = s, sin ruido Ejemplo 2: en presencia de ruido Ejemplo 2: en presencia de más ruido Z Φ sh (t) = s(u)h (u t) du A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

17 Correlación Correlación (cruzada) medida de similitud permite detectar donde s(t) y h(t) matches Ejemplo : = s, sin ruido Ejemplo 2: en presencia de ruido Ejemplo 2: en presencia de más ruido Ejemplo 3: h(t) presente dos veces en s(t), una vez con distinta polaridad. Z Φ sh (t) = s(u)h (u t) du A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

18 Correlación La correlación cruzada no es conmutativa!!! Φ sh (t) = Φ hs ( t) A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

19 Correlación La correlación cruzada no es conmutativa!!! Φ sh (t) = Φ hs ( t) Correlación (cruzada) y convolución Z Φ sh (t) = s(u)h (u t) du = s(t) h ( t) A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

20 Convolución de tiempo discreto Como s[n][n k] = s[k][n k] ejemplo Sigue que X k= s[k][n k] = s[n] ejemplo por tanto [n] ) h[n]; y [n k] ) h[n k] X s[n] ) s[k]h[n k] k= A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

21 Convolución de tiempo discreto Convolución de tiempo discreto (www) y (n) =s[n] h[n] X M = k=0 s[n k]h[k] = nx k=n (M ) s[k]h[n k] N: número de muestras de la señal s[n]. M: número de muestras de la respuesta impulsiva del ltro. Normalmente (caso SAR) M<N. Ej. s=[/2 /2] y h=[ ]. A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, 206 / 39

22 Ejemplo Como una suma de secuencias A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

23 Ejemplo Como una suma de muestras o un proceso dinámico A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

24 Transformada de Fourier Combinación lineal x(t) = combinación lineal de funciones bases Combinación lineal de impulsos Z x(t) = x(u)(t u) du Combinación lineal de exponenciales complejos x(t) = 2 Z X (!) exp(!t) d! A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

25 Transformada de Fourier (CT) x(t) = A cos(ωt + ) FT de x(t) Z X (Ω) = x(t)e Ωt dt Ejemplo t sin(ω rect $ P =2) P P Ω P =2 A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

26 Transformada de Fourier (CT) Ejemplo Z X (Ω) = x(t)e Ωt dt P sin(ω P =2) Ω P =2 t $ rect P A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

27 Transformada de Fourier (CT) Dos importantes propiedades [PM96] Desplazamiento temporal (t! t ) x(t ) $ X (Ω)e Ω u = t FTfx(t )g = También FTfx(t )g = Z Z x(t )e Ωt dt "Z # x(u)e Ω(u+ ) du = x(u)e Ωu du x(t)e Ω0t $ X (Ω Ω 0 ) e Ω A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

28 Transformada de Fourier (CT) Dos importantes propiedades Teorema de la Convolución Z = FTfx(t) y (t)g = "Z x( ) x(t) y (t) $ X (Ω)Y (Ω) Z "Z y (t )e Ωt dt # x( )y (t ) d e Ωt dt # d = "Z x( )e Ω d # Y (Ω) También x(t)y (t) $ X (Ω) Y (Ω) 2 A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

29 Transformada de Fourier (CT) Muestreo X S (Ω) = T S X x S (t) = x(t) X n= (t nt S ) P n= (t nt S) $ Ω S P k= (Ω kω S) Ω S = 2f S = 2 T S FT de x s (t) 2 X S (Ω) = X 4 X (Ω) ΩS 2 k= x(t)y (t) $ X (Ω) Y (Ω) 2 k= X (Ω kω S ) (Ω kω S ) 3 5 A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

30 Transformada de Fourier (CT) x S (t) = X n= x(nt S )(t nt S ) x[n] = x S (nt S ) Ae (!n+) (ΩnTS +) = Ae! = ΩT S! en rads, Ω en rads/s. Ω S 2 : Ω S 2 $ : A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

31 Transformada de Fourier (DTFT) DTFT de x[n] X X (!) = n= x[n]e!n Relación CTFT-DTFT X (!) = X S (Ω)j Ω=! T S exp (! + k2)n = exp!n k entero X (!) = T S X k= X S! T S k! S T S! S = 2 A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

32 Transformada de Fourier (DTFT) Enventanado ( 0 n N ; R N [n] = 0 otherwise: x N [n] = x[n]r N [n] N = 2q +, pérdida de información R N [n] $ sin[!n=2] sin(!=2) e!(n )=2 X N (!) $ sin[!n=2] X (!) 2 sin(!=2) e!(n )=2 X N (!) versión esparcida de X (!) [M. Fowler]. A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

33 Transformada de Fourier (DTFT) Enventanado ( 0 n N ; R N [n] = 0 otherwise: x N [n] = x[n]r N [n] N = 2q +, pérdida de información R N [n] $ sin[!n=2] sin(!=2) e!(n )=2 X N (!) $ sin[!n=2] X (!) 2 sin(!=2) e!(n )=2 X N (!) versión esparcida de X (!) [M. Fowler]. A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

34 Relación CTFT, DTFT y DFT A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

35 Transformada discreta de Fourier (DFT) DFT X N [k] = N X n=0 f = f s =N, S[k] = S(kf s =N). From www: x N [n]e 2k N n ; k = 0; ; : : : ; N Relación DTFT-DFT X N [k] = X N (!)j!k! k = 2 k, k = 0; ; 2; : : : ; N N X N [k] = X N k 2 N k = 0; ; 2; : : : ; N A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

36 Transformada discreta de Fourier (DFT) Evaluación numérica de la DFT X [0] x[0] X [] 0 0. X [k] = exp j 2 x[] 6 N B 4 C 0 N. A. {z }. 5 6 x[n] 4 N N 7 {z } X [N ] N x[n ] {z } En MATLAB function X=dft(x) N=length(x); W=exp(-j*(2*pi/N)*[0:N-] *[0:N-]); X=W*x ; N N A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

37 Transformada discreta de Fourier (DFT) Evaluación numérica de la DFT X [0] x[0] X [] 0 0. X [k] = exp j 2 x[] 6 N B 4 C 0 N. A. {z }. 5 6 x[n] 4 N N 7 {z } X [N ] N x[n ] {z } N N Zero padding añadir ceros al nal de una secuencia interpolar en el dominio transformado ajustar la separación entre muestras tamaño de la secuencia! 2 M, M apropiado para la FFT no cambia la información de la secuencia A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

38 Transformada discreta de Fourier (DFT) IDFT x N [n] = N N X k=0 Evaluación numérica de la IDFT X N [k]e 2k N n ; n = 0; ; : : : ; N x[0] X [0] x[] 0. 0 x[n] = exp N j 2 X [] 6 N B 4 C 0 N. A. {z }. 5 6 X [k] 4 N N 7 {z } x[n ] N X [N ] {z } N N A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

39 Convolución usando la DFT Convolución $ multiplicación (www) x (t) x 2 (t) $X (Ω)X 2 (Ω) x (t)x 2 (t) $ 2 X (Ω) X 2 (Ω) Convolución circular $ multiplicación (www) x [n] N x 2 [n] $X [k]x 2 [k] x [n]x 2 [n] $ N X [k] N X 2 [k] Pero En general: x [n] N x 2 [n] 6= x [n] x 2 [n] A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

40 Convolución usando la DFT Convolución circular (ver www) 2 X x [n] N x 2 [n] = 4 N k=0 3 x [k]x 2 [((n k)) N ] 5 RN [n] donde x 2 [((n)) N ] = P `= x 2 [n `N] es la extensión periódica de x 2 [n]. x [n] N x 2 [n] = [x [n] x 2 [((n)) N ]] R N [n] (mod m): n = q m + R, donde q m < n (www). A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

41 Convolución usando la DFT Convolución circular Convolución circular ) convolución lineal + aliasing x [n] N x 2 [n] = Convolución cíclica 2 4 (x [n] x 2 [n]) X `= (n `N) s[n] h[n] = IDFTfDFTfs[n]gDFTfh[n]gg 3 5 RN [n] 6= x [n] x 2 [n] s(n) de duración n, h(n) de duración n 2, (en SAR) n > n 2, y h(n) es completada con ceros hasta n para obtener n n 2 + convoluciones completas [CW05]. O ambas se completan con cero hasta N = n + n 2 para obtener las convolución líneal. En MATLAB ifft(fft(s,n).*fft(h,n)); N: 2 N n + n 2 para obtener la convolución lineal, o N: 2 N n n 2 + si solo interesan las convoluciones completas [CW05]. A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

42 Muestreo de señales t-continuo, duración t-continuo, duración nita t-discreto, duración t-discreto, duración nita Tasa de muestreo de Nyquist La frecuencia de muestreo ha de ser mayor o igual al doble de la más alta componente en fecuencia de la señal, si esta es real. La frecuencia de muestreo ha de ser mayor o igual a la más alta componente en fecuencia de la señal, si esta es compleja. Factor de sobremuestreo rata actual de muestreo factor de sobremuestreo = rata de muestreo de Nyquist Usualmente del orden de. a.4 [CW05]. A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

43 Muestreo de un pulso LFM Frecuencia de muestreo de la señal LFM f s > B Factor de sobremuestreo os : os = f s B = f s jkj No gap! rata de muestreo muy baja gap > 20 % de f s, la rata de muestreo es mayor que la óptima en términos de eciencia de procesado [CW05] A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

44 Muestreo de un pulso LFM A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

45 Interpolación x(t) = X n x[n]h(t nt s ) donde: x[n]: muestras de x(t) x[n] = x(t) cuando nt s = t, siendo T s la tasa de muestreo que cumple el criterio de Nyquist h(t) es la función interpoladora, o núcleo de interpolación h(t) es una función par de t: h(n t) = h(t n) la muestra de x(t) en n, x[n], hace de peso de la función interpoladora h(t nt s ) el valor x(t) interpolado en t, se obtiene mediante la suma de los productos de la función interpoladora h(t), desplazada nt s segundos: h(t nt s ), evaluada en t, por las muestras x[n] alrededor de t. A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

46 Interpolación sinc ideal De acuerdo al Teorema de muestreo de Nyquist: si x(t) es limitada en frecuencia la frecuencia de muestreo es igual o mayor al doble de la máxima frecuencia de x(t), siendo x(t) real, entonces (WWW): X (Ω) = H r (Ω)X S (Ω) Ω H r (Ω) = T S rect Ω S X S (Ω) = T S X k= X (Ω kω S ) A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

47 Interpolación sinc ideal De acuerdo al Teorema de muestreo de Nyquist: si x(t) es limitada en frecuencia la frecuencia de muestreo es igual o mayor al doble de la máxima frecuencia de x(t), siendo x(t) real, entonces (WWW): X (Ω) = H r (Ω)X S (Ω) Ω H r (Ω) = T S rect Ω S X S (Ω) = T S X k= X (Ω kω S ) A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

48 Interpolación sinc ideal x(t) = h r (t) x S (t) Ω T S rect $ sinc(f S t) = h r (t) x S (t) = Ω S X n= Interpolación ideal: no causal y de ext. X x(t) = x[n]sinc [f S (t nt S )] n= x(nt S )(t nt S ) A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

49 Interpolación sinc ideal correr script: demointerpol.m A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

50 Funciones de interpolación De acuerdo al Teorema de muestreo de Nyquist: si x(t) es limitada en frecuencia la frecuencia de muestreo es igual o mayor al doble de la máxima frecuencia de x(t), siendo x(t) real, entonces: Función de interpolación sinc(t) en t h(t) = sinc(t) = X x(t) = x[n]sinc n sin t t (t nt S ) TS Función de interpolación Φ(!) en f Φ(!) = sin(!n=2) (N )=2 e N sin(!=2) X X (!) = X K Φ! k 2 N k A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39

51 Referencias I Ian G. Cumming and Frank H. Wong. Digital processing of synthetic aperture radar data, algorithm and implementation. Artech House, Jhon G. Proakis and Dimitris G. Manolakis. Digital Signal Processing, Principles,Algorithms, and Application. Prentice Hall, third edition, 996. A. J. Zozaya (iee/epn) SaR Quito, / 39