Procesamiento digital de señales (DSP) aplicado a datos crudos de radares de apertura sintética. Parte 1era.: algunos fundamentos de DSP

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1 Procesamiento digital de señales (DSP) aplicado a datos crudos de radares de apertura sintética Parte 1era: algunos fundamentos de DSP Dr A Zozaya Investigador Prometeo Quito, mar/215 A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 1 / 52

2 Introducción Introducción DSP o FPGA A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 2 / 52

3 Introducción Contenido 1era Parte 1 Fundamentos de procesamiento digital de señales Convolución de tiempo continuo Convolución de tiempo discreto Transformada de Fourier Transformada Discreta de Fourier Muestreo de señales analógicas 2 Compresión de pulsos de señales moduladas linealmente en frecuencia Señal modulada linealmente en frecuencia Comprensión de pulsos 3 Referencias A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 3 / 52

4 Convolución de tiempo continuo Convolución de tiempo continúo filtrar ) convolución A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 4 / 52

5 Convolución de tiempo continuo Convolución de tiempo continúo filtrar ) convolución y (t) = s(t) h(t) y (t) = s(t) h(t) = = Z 1 s(u)h(t ` u) du `1 Z 1 s(t ` u)h(u) du `1 h(t): respuesta impulsiva del filtro s(t): la señal A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 4 / 52

6 Convolución de tiempo continuo Convolución de tiempo continúo filtrar ) convolución y (t) = s(t) h(t) y (t) = s(t) h(t) = = Z 1 s(u)h(t ` u) du `1 Z 1 s(t ` u)h(u) du `1 h(t): respuesta impulsiva del filtro s(t): la señal Filtro de duración finita T y (t) = s(t) h(t) = = Z t+t =2 t`t =2 Z T =2 s(u)h(t ` u) du s(t ` u)h(u) du `T =2 A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 4 / 52

7 Convolución de tiempo continuo Linealidad Algunas propiedades y la correlación [ s 1 (x) + s 2 (x)] h(x) = s 1 (x) h(x) + s 2 (x) h(x) Conmutatividad s(t) h(t) = h(t) s(t) A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 5 / 52

8 Convolución de tiempo continuo Linealidad Algunas propiedades y la correlación [ s 1 (x) + s 2 (x)] h(x) = s 1 (x) h(x) + s 2 (x) h(x) Conmutatividad s(t) h(t) = h(t) s(t) Correlación (cruzada) Φ sh (t) = Z 1 s(u)h (u ` t) du `1 es una medida de la similitud de dos formas de onda como una función de un retraso de tiempo fi aplicado a uno de ellos el eje de tiempo del filtro no es reversado y h(t) se conjuga A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 5 / 52

9 Convolución de tiempo continuo Algunas propiedades y la correlación La correlación cruzada no es conmutativa!!! Φ sh (t) = Φ hs (`t) A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 / 52

10 Convolución de tiempo continuo Algunas propiedades y la correlación La correlación cruzada no es conmutativa!!! Φ sh (t) = Φ hs (`t) Correlación (cruzada) y convolución Φ sh (t) = Z 1 s(u)h (t ` u) du = s(t) h (`t) `1 A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 / 52

11 Convolución de tiempo discreto Convolución de tiempo discreto Convolución de tiempo discreto (www) y (n) =s[n] h[n] M`1 X = k= s[n ` k]h[k] = nx k=n`(m`1) s[k]h[n ` k] N: número de muestras de la señal s[n] M: número de muestras de la respuesta impulsiva del filtro Normalmente (caso SAR) M<N Ej s=[1/2 1 1/2] y h=[1 1] A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 / 52

12 Transformada de Fourier Transformada de Fourier (tiempo continuo) Ecuación de análisis Ecuación de síntesis G(f ) = g(t) = Z 1 g(t)e` 2ıft dt `1 Z 1 G(f )e 2ıft df `1 A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 8 / 52

13 Transformada Discreta de Fourier DFT Transformada discreta de Fourier I G[k] = N`1 X n= 2ık g[n]e` N n ; k = ; 1; : : : ; N ` 1 f = f s =N, G[k] = G(kf s =N) From www: A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 9 / 52

14 Transformada Discreta de Fourier Transformada discreta de Fourier II Evaluación numérica de la DFT 2 4 G[] G[1] G[k] G[N ` 1] 3 5 = exp 2 4 `j 2ı N B B B 1 N ` 1 1 C C C C A {z } Nˆ1 1 N ` 1 {z } 1ˆN 3 5 {z } NˆN 2 4 g[] g[1] g[n] g[n ` 1] 3 5 A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 1 / 52

15 Transformada Discreta de Fourier Transformada discreta de Fourier III En MATLAB function X=dft(x) N=length(x); W=exp(-j*(2*pi/N)*[:N-1] *[:N-1]); X=W*x ; IDFT g[n] = 1 N N`1 X k= G[k]e 2ık N n ; n = ; 1; : : : ; N ` 1 A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

16 Transformada Discreta de Fourier Transformada discreta de Fourier IV Evaluación numérica de la IDFT 2 4 g[] g[1] g[n] g[n ` 1] 3 5 = 1 N «exp 2 4 j 2ı N B B B 1 N ` 1 1 C C C C A {z } Nˆ1 1 N ` 1 {z } 1ˆN 3 5 {z } NˆN 2 4 G[] G[1] G[k] G[N ` 1] 3 5 A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

17 Transformada Discreta de Fourier Propiedades de la transformada de Fourier I Conjugación compleja g (t) $ G (`f ) Linealidad g 1 (t) + g 2 (t) $ G 1 (f ) + G 2 (f ) Escalamiento g(at) $ 1 «f jaj G a A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

18 Transformada Discreta de Fourier Propiedades de la transformada de Fourier II Desplazamiento/modulación g(t ` t ) $G(f )e`2ıft g(t)e 2ıft $G(f ` f ) Valor medio (caso continuo) G() = g() = Z 1 g(t) dt `1 Z 1 G(f ) df `1 A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

19 Transformada Discreta de Fourier Propiedades de la transformada de Fourier III Valor medio (caso discreto) Simetría N`1 X G[] = g[t] g[] = 1 N n= N`1 X n= G[f ] G(f ) = G (`f ) Cierto para g(t) real Simetría conjugada RealfG(f )g es simétrica respecto f = A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

20 Transformada Discreta de Fourier Propiedades de la transformada de Fourier IV ImagfG(f )g es antisimétrica respecto f = g(t) complejo: frecuencias + y ` representan información independiente Teorema de Parseval (caso continuo) Z 1 jg(t)j 2 dt = `1 Z 1 jg(f )j 2 df `1 Teorema de Parseval (caso discreto) N`1 X n= jg[t]j 2 = 1 N N`1 X n= jg[f ]j 2 A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 1 / 52

21 Transformada Discreta de Fourier Propiedades de la transformada de Fourier V Convolución $ multiplicación (www) g 1 (t) g 2 (t) $G 1 (f )G 2 (f ) g 1 (t)g 2 (t) $G 1 (f ) G 2 (f ) Convolución circular $ multiplicación (www) g 1 [n] N g 2 [n] $G 1 [k]g 2 [k] g 1 [n]g 2 [n] $G 1 [k] N G 2 [k] A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 1 / 52

22 Transformada Discreta de Fourier Propiedades de la transformada de Fourier VI Convolución circular (ver www) 2 3 N`1 X g 1 [n] N g 2 [n] = 4 g 1 [k]g 2 [((n ` k)) N ] 5 R N [n] k= donde g 2 [((n)) N ] = P 1 =`1 g 2[n ` N] es la «extensión periódica» de g 2 [n] g 1 [n] N g 2 [n] = [g 1 [n] g 2 [((n)) N ]] R N [n] Convolución circular Convolución circular ) convolución lineal + aliasing En general: g 1 [n] N g 2 [n] = g 1 [n] g 2 [n] A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

23 Transformada Discreta de Fourier Propiedades de la transformada de Fourier VII Zero padding añadir ceros al final de una secuencia interpolar en el dominio transformado ajustar la separación entre muestras tamaño de la secuencia! 2 M, M apropiado para la FFT no cambia la información de la secuencia A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

24 Transformada Discreta de Fourier Ejemplos de la transformada de Fourier I Pulsos rectangular/sinc (ver [www]) donde «t rect $ fi sinc(f fi ) fi «t sinc $ fi rect(f fi ) fi rect(x) = ( 1; if jxj» :5 ; en el resto sinc(x) = sin(ıx) ıx ancho de 3 db de la función sinc(x) ı :88=fi A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 2 / 52

25 Transformada Discreta de Fourier Ejemplos de la transformada de Fourier II 1 rect(t/τ), τ = 1 [s] 1 sinc(fτ) t [s] τ = 5 [s] f [Hz] t [s] f [Hz] A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

26 Transformada Discreta de Fourier Tono puro Ejemplos de la transformada de Fourier III e 2ıft $ (f ` f ) Un tono puro se transforma en un pulso Para «verlo» tal cual se requiere que la frecuencia f del pulso coincida con algún valor de las muestras de frecuencias kf s =N, o sea existe un k tal que k f s =N = f De otra forma, la energía de la función monocromática se «derrama» (leakage) en las muestras vecinas (Ejemplo) Caso discreto (ver [www]) «n sin rect $ T sin ı kk N ı Nsinc ı k K N k «K A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

27 Transformada Discreta de Fourier Ejemplos de la transformada de Fourier IV donde N es el número de unos, y K el número total de muestras, incluyendo los ceros añadidos para hacer zero padding y mejorar la «resolución» gráfica sin ( π k K N) sin ( π k ) K ( Nsinc N k ) K k A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

28 Transformada Discreta de Fourier Ejemplos de la transformada de Fourier V Tren de impulsos 1X 1X (t ` nt s ) $ (f ` nf s ) n=`1 n=`1 donde f s = 1=T s A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

29 Transformada Discreta de Fourier Convolución usando la DFT I Convolución cíclica s[n] h[n] = IDFT fdft fs[n]gdft fh[n]gg donde s(n) es de duración n 1, h(n) de duración n 2, tal que (usualmente en SAR) n 1 > n 2, y donde h(n) es completada con ceros hasta alcanzar una longitud de n 1 para obtener n 1 ` n convoluciones completas [CW5] O ambas se completan con cero hasta N = n 1 + n 2 ` 1 si se desea obtener las convolución líneal a partir de la cíclica En MATLAB ifft(fft(s,n)*fft(h,n)); donde N es tal que 2 N n 1 + n 2 ` 1 si se desea obtener la convolución lineal a partir de la ciclíca, o N se escoge de manera que 2 N n 1 ` n si solo nos interesan las convoluciones completas [CW5] A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

30 Muestreo de señales analógicas Muestreo de señales I t-continuo, duración 1 t-continuo, duración finita t-discreto, duración 1 t-discreto, duración finita A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 2 / 52

31 Muestreo de señales analógicas Muestreo de señales II Tasa de muestreo de Nyquist La frecuencia de muestreo ha de ser mayor o igual al doble de la más alta componente en fecuencia de la señal, si esta es real La frecuencia de muestreo ha de ser mayor o igual a la más alta componente en fecuencia de la señal, si esta es compleja Factor de sobremuestreo factor de sobremuestreo = Usualmente del orden de 11 a 14 [CW5] rata actual de muestreo rata de muestreo de Nyquist A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 2 / 52

32 Muestreo de señales analógicas Ventanas de suavizado I Propósito Aliviar efectos del truncamiento abrupto! secuencias finitas secuencias simétricas secuencias reales «weighting»: mayor «peso» en el centro que hacia los extremos En la compresión de pulsos: control de lóbulos laterales + preservar la resolución (ancho de 3 db del lóbulo principal, ej: 88 del ancho de cruce por cero de la sinc(x)) Varias ventanas: Kaiser, Hanning, Hamming, etc Ventana de Kaiser: mejor compromiso reducción de lóbulos laterales/resolución A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

33 Muestreo de señales analógicas Ventana de Kaiser (dominio t) Ventanas de suavizado II «J q1 ` (2t=fi ) 2 w k (t; fi ) = ; ` fi J ( ) 2» t» fi 2 donde J (x) = P 1 m=(`1) m (x 2 =4) m, o J (m!) 2 (x) = (1=ı) R ı e x cos d, es la función de Bessel de orden cero, y el parámetro permite ajustar el suavizado o caída de la ventana hacia los extremos Ventana de Kaiser (dominio f) «J q1 ` (2f =F ) 2 W k (f ; F ) = ; ` F J ( ) 2» f» F 2 =! ventana de Kaiser = ventana rectangular para > el suavizado hacia los extremos produce un ensanchamiento del ancho de 3 db en el dominio transformado, a la vez A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

34 Muestreo de señales analógicas Ventanas de suavizado III que reduce la relación valor pico del lóbulo principal al valor pico del lóbulo lateral más grande Un valor adecuado de = 2:5: peso en los extremos = 1=3 peso en el centro En MATLAB w=kaiser(n,beta) A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 3 / 52

35 Muestreo de señales analógicas Interpolación I X g(t) = g[n]h(t ` nt s ) n donde: g[n]: muestras de g(t) g[n] = g(t) cuando nt s = t, siendo T s la tasa de muestreo que cumple el criterio de Nyquist h(t) es la función interpoladora, o núcleo de interpolación h(t) es una función par de t: h(n ` t) = h(t ` n) la muestra de g(t) en n, g[n], hace de peso de la función interpoladora h(t ` nt s ) el valor g(t) interpolado en t, se obtiene mediante la suma de los productos de la función interpoladora h(t), desplazada nt s segundos: h(t ` nt s ), evaluada en t, por las muestras g[n] alrededor de t A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

36 Muestreo de señales analógicas Interpolación II De acuerdo al Teorema de muestreo de Nyquist: si g(t) es limitada en frecuencia la frecuencia de muestreo es igual o mayor al doble de la máxima frecuencia de g(t), siendo g(t) real, entonces: Función de interpolación sinc(t) sin ıt h(t) = sinc(t) = ıt X g(t) = g(n)sinc(t ` n) n A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

37 Compresión de señales FM Compresión de pulsos Introducción SNR "! (a) P Tx `peak ", ó (b) fi p " P Tx `peak ": limitaciones físicas fi p " compromete la resolución en distancia menor fi mayor resolución: R = cfi =2 SNR y resolución = conflicto A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

38 Compresión de señales FM fi p " ) B # Compresión de pulsos 2 τsinc (τf) 15 1 { ( )} t FT rect, τ = 1 [s] τ { ( )} t FT rect, τ = 2 [s] τ f [Hz] A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

39 Compresión de señales FM Cómo resolver el conflicto? Compresión de pulsos compresión de pulsos! técnica del procesamiento de señales Usada en los sistemas de «sondeo»: radar, sonar, sísmico, etc minimizar el «pico» de potencia maximizar el SNR (Signal to Noise Ratio) «buena» resolución Cómo lograr fi " ) B " Respuesta: señal chirp Señal FM de radio frecuencia s RF (t) = w t fi «cos `2ıf t + ıkt 2 donde fi es la duración de la ventana w(t=fi ), `fi =2 < t < fi =2 el tiempo en segundos, K la «rata» de modulación lineal de frecuencia en hercios por segundo, y f es la frecuencia de portadora A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

40 Compresión de señales FM Señal modulada linealmente en frecuencia Señal FM en el tiempo Señal FM en banda base s(t) = rect «t exp ` ıkt 2 fi donde fi es la duración del pulso rectangular, `fi =2 < t < fi =2 el tiempo en segundos y K la «rata» de modulación lineal de frecuencia en hercios por segundo Ancho de banda B = jkjfi (fi " ) B ") Ejemplo: fi = :24 [ s], B = 5:8 [Mz], TBP = fi ˆ B = 42, factor de sobremuestreo = 5 A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 3 / 52

41 Compresión de señales FM Señal modulada linealmente en frecuencia `fi =2 < t < fi =2 Señal FM en el tiempo 1 (a) Parte real de s(t) 1 (c) Fase de s(t) Amplitud t [s] 2 4 x 1 (b) Parte imaginaria de s(t) 1 Radianes t [s] 2 4 x 1 4 x 1 (d) Frecuencia de s(t) Amplitud t [s] 2 4 x 1 [Hz] t [s] 2 4 x 1 A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 3 / 52

42 Compresión de señales FM Señal modulada linealmente en frecuencia < t < fi Señal FM en el tiempo 1 (a) Parte real de s(t) 3 (c) Fase de s(t) Amplitud t [s] 8 x 1 (b) Parte imaginaria de s(t) 1 Radianes t [s] 8 x 1 x 1 (d) Frecuencia de s(t) Amplitud t [s] 8 x 1 [Hz] t [s] 8 x 1 A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

43 Compresión de señales FM Señal modulada linealmente en frecuencia Señal FM en la frecuencia S(f ) = Z 1 Para TBP = fi ˆ B > 1: «t rect exp ` ıkt 2 e` 2ıft dt `1 fi Solución analítica aproximada (POSP) f S(f ) = rect Kfi «exp ` ı f! 2 POSP: Principle of Stationary Phase Ejemplo: TBP = 2, factor de sobremuestreo = 1:25 K A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

44 Compresión de señales FM Señal modulada linealmente en frecuencia Señal FM en la frecuencia Amplitud Amplitud (a) Parte real de S(f) f N (b) Parte imaginaria de S(f) Magnitud [Hz] (c) Espectro de magnitudes S(f) 5 5 f N 4 2 (d) Fase de S(f) f N 5 5 f N A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 4 / 52

45 Compresión de señales FM Señal modulada linealmente en frecuencia Muestreo de la señal FM I Frecuencia de muestreo de la señal FM f s > B Factor de sobremuestreo os : os = f s B = f s jkjfi No gap! rata de muestreo muy baja gap > 2 % de f s, la rata de muestreo es mayor que la óptima en términos de eficiencia de procesado [CW5] A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

46 Compresión de señales FM Señal modulada linealmente en frecuencia 1 1 Parte real de s(t) 2 2 Muestreo de la señal FM II x Espectro de magnitudes α os = Espectro de magnitudes 5 5 x x 1 15 α =12 os x x 1 15 α =1 os x Tiempo [s] x α os = Frecuencia [k] Frecuencia [Hz] x 1 A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

47 Compresión de señales FM Comprensión de pulsos Compresión de pulsos I Principios Como comprimir un pulso chirp? «correlando» el pulso consigo mismo: s M (t) = Z 1 s(u)s (u ` t) du `1 «convolucionando» el pulso con una función de transferencia (filtro adaptado) h(t) = s (`t) s M (t) = s(t) h(t) = s M (t) = s(t) s (`t) = Z 1 s(u)h(t ` u) du `1 Z 1 s(u)s (u ` t) du `1 A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

48 Compresión de señales FM Comprensión de pulsos Compresión de pulsos II Medida cuantitativa de la compresión: razón de compresión = C r = C r ı TBP (orden de 1s 1s) Compresión en el dominio del tiempo longitud del pulso original ancho de 3 db del pulso comprimido eco: «t ` t s(t) = rect exp ˆ ık(t ` t) 2 fi filtro adaptado: «t h(t) = rect exp ˆ` ık(t) 2 fi t = A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

49 Compresión de señales FM Comprensión de pulsos Compresión de pulsos III para TBP elevado: s M (t) ı fi sinc (Kfi (t ` t)) C r ı :88jKjfi 2 Problema: para K = :41 ˆ 1 12 [Hz/s] y fi = 42 ˆ 1` [s] (Caso: RADARSAT, haz de media resolución), calcular: (a) B, (b), resolución en [s] y (c) C r (pág 84 de [CW5]) Ejemplo: K = :811 ˆ 1 12 [Hz/s], fi = :24 ˆ 1` [s]: B = Kfi = 5:8 [MHz] y la resolución ı :15 [ s] A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

50 Compresión de señales FM Comprensión de pulsos Compresión de pulsos IV 1 (a) Parte real de s(t) (b) Señal comprimida s M (t) Amplitud 5 5 Magnitud [db] t [s] x 1 (c) Señal comprimida s M (t) t [s] 4 45 x 1 (d) Señal comprimida s M (t) Amplitud 2 1 Radianes t [s] x t [s] x 1 A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 4 / 52

51 Compresión de señales FM Comprensión de pulsos Compresión de pulsos V Amplitud (a) Parte real de s(t) Magnitud [db] t [s] x 1 (c) Señal comprimida s M (t) 5 (b) Señal comprimida s M (t) 3 35 t [s] 4 45 x 1 (d) Señal comprimida s M (t) Amplitud 2 1 Radianes t [s] x 1 t [s] x 1 s=s+randn(size(s))*5: SNR=25 db A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 4 / 52

52 Compresión de señales FM Comprensión de pulsos Compresión de pulsos VI Compresión en el dominio de la frecuencia eco (usando la aproximación POSP): «f S(f ) = rect exp ` f! 2 exp(` 2ıf ) Kfi K filtro adaptado: f H(f ) = rect Kfi «exp f! 2 K salida del filtro S M (f ) = S(f )H(f ) = rect «f exp(` 2ıf ) Kfi s M (t) = Kfi sinc (Kfi (t ` )) A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

53 Compresión de señales FM Comprensión de pulsos Compresión de pulsos VII Implementación con MATLAB (Opción 1) t=-tau/2:ts:tau/2; s=exp(1j*pi*k*(tˆ2)); h=exp(-1j*pi*k*(tˆ2)); N=512; S=fft(s,N); H=fft(h,N); SM=S*H; sm=ifft(sm); Ejercicio Replicar los resultados anteriores usando la Opción 1 A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

54 Compresión de señales FM Comprensión de pulsos Compresión de pulsos VIII Implementación con MATLAB (Opción 2) t=-tau/2:ts:tau/2; s=exp(1j*pi*k*(tˆ2)); N=512; S=fft(s,N); H=conj(S) SM=S*H; sm=ifft(sm); Ejercicio Replicar los resultados anteriores usando la Opción 2 Ejercicio Comparar ambos resultados y concluir A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/215 5 / 52

55 Compresión de señales FM Comprensión de pulsos Efecto del suavizado 1 (a) Parte real de s(t) (b) Señal comprimida s M (t) Amplitud t [s] x 1 (c) Señal comprimida s M (t) Magnitud [db] t [s] 4 45 x 1 (d) Señal comprimida s M (t) Amplitud 1 5 Radianes 2 4 t [s] x t [s] x 1 A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52

56 Referencias Referencias I Ian G Cumming and Frank H Wong Digital processing of synthetic aperture radar data, algorithm and implementation Artech House, 25 Merril I Skolnik Introduction to Radar Systems Mc Graw Hill, 199 Mehrdad Soumekh Synthetic Aperture Radar Signal Processing with MATLAB Algorithms John Wiley & Sons, Inc, 1999 George W Stimson Introduction to Airborne RADAR Scitech Publishing, Inc, 1998 A J Zozaya IEE (iee) DSP-SaR Quito, mar/ / 52