Tema 6: MODULACIÓN ANGULAR. TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR pág. 1

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1 Tema 6: MODULACIÓN ANGULAR TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR pág. 1

2 Tema 6: MODULACIÓN ANGULAR Ángulo generalizado y modulación angular: Modulación de fase (PM) y frecuencia (FM) Ancho de banda en modulación angular: FM de banda ancha (WBFM) y de banda estrecha (NBFM) Aplicaciones de FM Generación de señales FM: Método indirecto de Armstrong. Generación directa Demodulación de señales FM: Discriminadores y detectores de cruces por cero. Sistemas PLL Interferencia y ruido en modulación angular: Preénfasis y deénfasis. Efecto umbral FM estéreo. TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR Tema 6: Modulación Angular pág. 2

3 6.1.- Ángulo generalizado y modulación angular ϕ(t) = A cos(θ(t)) sinusoide generalizada ω i (t) = dθ(t) dt θ(t) = frecuencia instantánea t ω i (τ)dτ A diferencia del caso de modulación lineal, en la que se variaba la amplitud de la sinusoide proporcionalmente a la señal modulante, en modulación angular se modifica el ángulo generalizado θ(t) de la sinusoide: θ(t) = ω c t + f(m(t)) TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR Tema 6: Modulación Angular pág. 3

4 Modulación en fase (PM) La fase de la sinusoide se varía proporcionalmente a la amplitud de la señal modulante: θ(t) = ω c t + k p m(t) ω i = ω c + k p ṁ(t) ϕ P M (t) = A cos(ω c t + k p m(t)) Modulación en frecuencia (FM) La frecuencia instantánea se varía proporcionalmente a la señal modulante: θ(t) = ω c t + k f t m(τ)d(τ) t ϕ F M (t) = A cos (ω c t + k f ω i = ω c + k f m(t) ) m(τ)dτ Las modulaciones en frecuencia y fase son muy similares. De hecho son indistinguibles (dada una señal PM o FM es imposible distinguir si se trata de PM o FM). TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR Tema 6: Modulación Angular pág. 4

5 Modulación exponencial general Aunque los casos anteriores son los más comunes, sólo son dos casos particulares de la modulación exponencial general: ( t ) ϕ EM (t) = A cos ω c t + k m(τ)h(t τ)dτ Para el caso de h(t) = δ(t) tenemos PM, y para h(t) = u(t) tenemos FM. Entre estos dos extremos existen infinitas posibilidades de elegir la respuesta al impulso del filtro h(t). TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR Tema 6: Modulación Angular pág. 5

6 Ejemplo 1 FM PM f i = f c + k f 2π m(t) = m(t) f i = f c + k p 2πṁ(t) = m(t) f i [99,9MHz, 100,1MHz] f i [99,9MHz, 100,1MHz] TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR Tema 6: Modulación Angular pág. 6

7 Ejemplo 2 FM f i = f c + k f 2π m(t) = m(t) f i [99,9MHz, 100,1MHz] PM θ(t) = ω c t + k p m(t) = ω c t + π 2 m(t) θ(t) [ω ct π/2, ω c t + π/2] TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR Tema 6: Modulación Angular pág. 7

8 6.2.- Ancho de banda en modulación angular Modulación FM a t ϕ F M (t) = A m(τ)dτ ˆϕ F M (t) = A exp(j(ω c t + k f a(t))) ϕ F M (t) = Re[ ˆϕ F M (t)] ˆϕ F M (t) = A [ [ 1 + jk f a(t) k2 f 2! a2 (t) j nkn f n! an (t) +... cos(ω c t) k f a(t) sin(ω c t) k2 f 2! a2 (t) cos(ω c t) + k3 f 3! a3 (t) sin(ω c t) +... El espectro está centrado en ω c. Si el ancho de banda de a(t) es B, el de a n (t) es nb. Como hay infinitos términos, el ancho de banda es infinito (si bien en la práctica no lo es ya que decaen con 1/n!). Es claro que FM es una modulación no-lineal: A cos(ω c t + k 1 a 1 (t)) + A cos(ω c t + k 2 a 2 (t)) A cos(ω c t + k 1 a 1 (t) + k 2 a 2 (t)) Por ejemplo, la señal m(t) = k 1 cos(ω 1 t) + k 2 cos(ω 2 t) no sólo genera los armónicos ω c ± ω 1 y ω c ± ω 2, sino además ω c ± (nω 1 ± mω 2 ) con n y m enteros. ] e ω ct ] TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR Tema 6: Modulación Angular pág. 8

9 FM y PM de banda estrecha (NBFM y NBPM) Si consideramos un valor k f pequeño, tal que k f a(t) 1 podemos aproximar (e x 1 + x): ˆϕ F M (t) = A exp(j(ω c t + k f a(t))) = Ae jω ct e jk fa(t) Ae jω c t (1 + jk f a(t)) ϕ NBF M (t) = A[cos(ω c t) k f a(t) sin(ω c t)] Esta modulación es lineal y se denomina NBFM. Aunque es parecida a AM, la diferencia es que en este caso, la señal modulante está en cuadratura de fase con la portadora (desfase de π/2). De forma similar, para PM de banda estrecha (NBPM) se obtiene la expresión: ϕ NBP M (t) A[cos(ω c t) k p m(t) sin(ω c t)] Como son modulaciones lineales, el ancho de banda es igual que en el caso de AM, es decir, el doble del de la señal modulante (a(t) para NBFM y m(t) para NBPM). TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR Tema 6: Modulación Angular pág. 9

10 Generación de NBFM y NBPM Las expresiones anteriores sugieren un método directo para generar señales moduladas de banda estrecha utilizando moduladores de amplitud: TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR Tema 6: Modulación Angular pág. 10

11 FM de banda ancha (WBFM) Cuando no es válida la aproximación de banda estrecha, el ancho de banda FM es en teoría infinito. En la práctica, se puede considerar la desviación en frecuencia f para la estimación del ancho de banda de la señal modulada. La frecuencia instantánea es: ω i (t) = ω c + k f m(t) Si consideramos m p = máx(m(t)) = mín( m(t)), el rango de frecuencias de la señal modulada será: ω i [ω c k f m p, ω c + k f m p ] y es razonable admitir que el ancho de banda será: 2πB F M 2k f m p = 2 ω = 4π f donde f = ω/2π es la máxima desviación en frecuencia. Se puede aproximar B F M 2 f si bien esta aproximación sólo es válida cuando f B. En el caso en que f B nos encontramos con FM de banda estrecha y en este caso el ancho de banda es B NBF M 2B. TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR Tema 6: Modulación Angular pág. 11

12 Estimación del ancho de banda de FM TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR Tema 6: Modulación Angular pág. 12

13 El espectro FM estará en el intervalo: ω [ω i 4πB, ω i + 4πB] ω i [ω c k f m p, ω c + k f m p ] y el ancho de banda será B F M = 2( f + 2B). [ω c k f m p 4πB, ω c + k f m p + 4πB] Con esta estimación, el ancho de banda para FM de banda ancha es aproximadamente 2 f, mientras que para banda estrecha es 4B. Otra estimación utilizada (conocida como regla de Carson ) es: B F M = 2( f + B), que es más conservativa que la anterior y estima mejor el ancho de banda para NBFM. En general, el ancho de banda correcto se encuentra entre ambas estimaciones: B F M = 2B(β + k) donde β = f/b se denomina razón de desviación y k = k(β) es un valor entre 1 y 2, que depende de β y tiende a 1 para banda estrecha (β 1) y tiende a 2 para banda ancha (β 1). El límite entre WBFM y NBFM se encuentra en torno a β = 0,5 TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR Tema 6: Modulación Angular pág. 13

14 Modulación de un tono G n = ω m 2π m(t) = α cos(ω m t) a(t) = α ω m sin(ω m t) ˆϕ F M (t) = A exp ω = k f m p = αk f [ jω c t + k ] fα sin(ω m t) ω m β = ω ω m = αk f ω m ˆϕ F M (t) = Ae j[ω ct+β sin(ω m t)] = Ae jω ct e jβ sin(ω mt) π/ωm e jβ sin(ω mt) = n= π/ω m e jβ sin(ω mt) e jnω mt dt = 1 2π G n e jnω mt π π e jβ sin(x) nx dx = J n (β) donde J n (β) es la función de Bessel de primera clase, de orden n, evaluada en β. En MatLab se puede obtener con J n (β) =besselj(n,beta). TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR Tema 6: Modulación Angular pág. 14

15 e jβ sin(ω mt) = n= J n (β)e jnω mt ϕ F M (t) = A J n (β) cos((ω c + nω m )t) La señal modulada contiene armónicos en ω c, ω c ± ω m, ω c ± nω m,.... La amplitud de estos armónicos depende de las funciones de Bessel. Como se aprecia en la figura, para un valor dado de β, únicamente contribuyen los términos con n β + 2. Por lo tanto el ancho de banda se puede estimar como: B F M = 2nf m = 2(β + 2)f m = 2(δf + 2B) TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR Tema 6: Modulación Angular pág. 15

16 Espectro FM para modulación de un tono TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR Tema 6: Modulación Angular pág. 16

17 Ancho de banda para PM Los resultados obtenidos para FM son aplicables a PM considerando que la desviación en frecuencia es ω = k p m p, donde m (t) = máx( ṁ(t) ): ( kp m ) p B P M = 2( f + kb) = 2 2π + kb 1 k 2 A pesar de la similitud, una diferencia entre FM y PM es que la máxima desviación en frecuencia para FM depende únicamente de la amplitud de pico de la señal, mientras que para PM depende del valor de pico de su derivada. Por ello, el ancho de banda PM depende del espectro de frecuencias de la señal modulante, mientras que es independiente para FM. Para un tono, por ejemplo, se tiene: ( ω) F M = k f m p = αk f ( ω) P M = k p m p = αω m k p TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR Tema 6: Modulación Angular pág. 17

18 6.3.- Aplicaciones de FM FM presenta 3 ventajas frente a AM: Es más inmune a efectos no lineales del canal. Presenta mejor comportamiento que AM frente a interferencias de baja potencia. Permite implementar (a través de k f ó k p ) el intercambio SNR-B F M. Esto lo hace recomendable en aplicaciones de comunicaciones por radio. Comportamiento en canales no lineales: φ(t) k f t m(τ)dτ x(t) = A cos(ω c t + φ(t)) y = a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 y(t) = a 1 A cos(ω c t + φ(t)) + a 2 A 2 cos 2 (ω c t + φ(t)) + a 3 A 3 cos 3 (ω c t + φ(t)) y(t) = a 2A 2 + (a 1 A + 34 ) 2 a 3A 3 cos(ω c t + φ(t)) + a 2A 2 cos(2ω c t + 2φ(t)) + a 3A y tras el filtrado en torno a ω c obtenemos una señal sin distorsión: z(t) = (a 1 A + 34 ) a 3A 3 cos(ω c t + φ(t)) cos(3ω c t + 3φ(t)) TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR Tema 6: Modulación Angular pág. 18

19 6.4.- Generación de señales FM Básicamente existen dos métodos: generación indirecta y generación directa. Método indirecto de Armstrong Parte de una señal FM de banda estrecha generada a partir de un modulador lineal. Aumenta la desviación de frecuencia mediante un multiplicador de frecuencia (un dispositivo no lineal y un filtro paso-banda adecuado) y finalmente traslada el espectro con un conversor de frecuencia. El elemento no lineal aumenta la desviación de frecuencia: t ) e i (t) = ϕ F M (t) = cos (ω c t + k f m(τ)dτ e o (t) = e 2 i (t) e o (t) = cos ( 2ω c t + 2k f t ) m(τ)dτ TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR Tema 6: Modulación Angular pág. 19

20 Generador indirecto de Armstrong TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR Tema 6: Modulación Angular pág. 20

21 Distorsión en el método de Armstrong El método de Armstrong tiene la ventaja de su estabilidad en frecuencia, pero el inconveniente de introducir distorsiones no lineales de amplitud y frecuencia causadas por la aproximación usada en la generación de NBFM: ϕ F M (t) = A(cos(ω c t) k f a(t) sin(ω c t)) = AE(t) cos(ω c t + θ(t)) E(t) = 1 + k 2 f a2 (t) θ(t) = tan 1 (k f a(t)) La distorsión de amplitud tiene lugar porque E(t) no es constante. Este es un problema menor dado que la variación de amplitud puede ser eliminada con un limitador paso-banda, como veremos más adelante. Sin embargo, también aparece una distorsión no lineal en la fase. Esta distorsión hace que aparezca una distorsión no lineal en la frecuencia que afecta a la señal transmitida. TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR Tema 6: Modulación Angular pág. 21

22 Idealmente, la fase debería ser θ(t) = k f a(t) y la frecuencia instantánea ω i (t) = k f m(t). Sin embargo, debido a la distorsión se tiene: ω i (t) = k fȧ(t) 1 + k 2 f a2 (t) = k fm(t) 1 + k 2 f a2 (t) = k fm(t)[1 k 2 f a2 (t) + k 4 f a4 (t)...] Para la modulación de un tono se tiene: m(t) = α cos(ω m t) a(t) = α ω m sin(ω m t) β = αk f ω m ω i (t) = β cos(ω m t)[1 β 2 sin 2 (ω m t) + β 4 sin 4 (ω m t)...] considerando únicamente armónicos inferiores a orden 4 tenemos: ( ) ω i (t) βω m cos(ω m t)[1 β 2 sin(ω m t)] = βω m 1 β2 cos(ω m t)+ β3 ω m 4 4 cos(3ω m t) βω m cos(ω m t) + β3 ω m 4 La distorsión es proporcional a β 2 /4. cos(3ω m t) = k f α cos(ω m t) + β3 ω m 4 cos(3ω m t) TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR Tema 6: Modulación Angular pág. 22

23 Generación directa Se consigue utilizando un oscilador controlado por tensión (VCO) para el que la frecuencia de oscilación es proporcional a una tensión de control: ω i = ω c + k f m(t) Este efecto se puede conseguir con un comparador con histéresis como el trigger de Schmitt, o variando un parámetro reactivo (L o C) en un oscilador resonante, como el oscilador de Hartley de la figura: TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR Tema 6: Modulación Angular pág. 23

24 ω 0 = 1 LC C = C 0 km(t) ω 0 = 1 [ ] LC 0 1 km(t) C 0 [ 1 1 ω 0 = ] 1/2 1 + LC0 [1 km(t) ] km(t) 1 km(t) LC0 2C 0 C 0 C 0 [ ω 0 ω c 1 + km(t) ] = ω c + k f m(t) ω c = 1 k f = kω c 2C 0 LC 0 2C 0 Este efecto se puede conseguir con un diodo de capacidad variable (varicap) para el que las pequeñas variaciones de capacidad pueden aproximarse linealmente. C = km p = 2k fc 0 m p ω c C C 0 = 2k fm p ω c = 2 f f c Como en la práctica C/C 0 = 2 f/f c es pequeño, la distorsión armónica es pequeña. Usualmente, la desviación de frecuencia es suficiente para generar FM de banda ancha y se requiere una pequeña multiplicación de frecuencia. Este esquema, sin embargo, presenta el problema de estabilidad de frecuencia y es necesario un circuito realimentado para estabilizarlo. TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR Tema 6: Modulación Angular pág. 24

25 6.5.- Demodulación de señales FM En una señal FM, la información está contenida en la frecuencia instantánea TRANSMISIÓN DE DATOS - Ángel de la Torre - TSTC - UGR Tema 6: Modulación Angular pág. 25