Movimiento a través de una. José San Martín

Transcripción

1 Movimiento a través de una curva José San Martín

2 1. Introducción Una vez definida la curva sobre la cual queremos movernos, el siguiente paso es definir ese movimiento. Este movimiento se realiza mediante incrementos en el parámetro que define la curva realizado por el animador, de manera que obtengamos los resultados esperados. Debemos conocer la relación existente en el cambio entre el parámetro de la función y la distancia recorrida a lo largo de la curva.

3 Primeramente ha de establecerse un método para moverse mediante escalones por la curva con incrementos iguales. Posteriormente tendremos diferentes métodos que nos permitirán acelerar o aminorar nuestro movimiento por la curva definida. Para ello se asume que ha sido elegido un método de interpolación de los vistos anteriormente. Está claro que si modificamos en un valor constante el parámetro de interpolación, esto no se refleja que los valores resultantes se modifiquen en la misma proporción constante, es decir, los valores resultantes del movimiento a lo largo de la curva, no se van a mover a una velocidad constante.

4 Si queremos asegurar esa velocidad constante, debemos considerar la distancia real recorrida, es decir, la función de interpolación debe ser parametrizada con la longitud del arco, ladistanciaalolargodelacurva. Ejemplo de puntos producidos por incrementos iguales de un Ejemplo de puntos producidos por incrementos iguales de un parámetro de interpolación para una curva cúbica típica.

5 Existen tres maneras de establecer esa reparametrización a lo largo de la longitud de la curva. Los dos primeros crean una tabla de valores para establecer una relación entre los valores del parámetro y una longitud aproximada sobre la curva. El tercer método computa analíticamente la longitud del arco, pero muchas curvas no permiten el uso de este cálculo analítico.

6 2. Cálculo de la longitud del arco Para especificar la velocidad con que un objeto se mueve a través del camino definido por la curva, una opción es especificar la marca de tiempo en la cual cada punto de la curva es visitado. Así pues los puntos A, B, C, pueden llevar a su vez asociados el tiempo desde el origen en A, en que se visitan: (A,0), (B,15) (C,40).

7 Otro planteamiento es especificar las velocidades relativas de un objeto en cada uno de los tramos de la curva, de manera que podríamos decir: A en reposo, desde A a velocidad constante hasta el frame 30, desde ahí a una aceleración suave y constante hasta el frame 45, y desde ahí una deceleración constante y conocida hasta el frame 70.

8 Así pues, tenemos que tener en cuenta dos funciones, por un ladolacurvaquedefineelcaminoquedebeseguirelobjeto,la curva que hemos obtenido mediante interpolación, y por otra la función que relaciona el tiempo con la distancia recorrida. Llamaremos a la primera space curve y la segunda función será la función distancia-tiempo. Llamaremos a la distancia a lo largo de la curva como longitud de arco. La relación entre el parámetroylalongituddelarcoseránolineal. Space curve:

9 Para establecer esa relación entre la longitud del arco y el valor del parámetro, lo normal es que no exista una solución analítica y que se precisen técnicas numéricas. La curva debería estar explícitamente parametrizada. Esto rara vez ocurre, así que debemos plantear técnicas de aproximación.

10 3. Aproximación analítica. La longitud de la curva s, podría ser calculada de un punto u1 a un punto u2 como la siguiente integral:

11 4. Estimar la longitud de arco por Forward Differencing La manera más sencilla de establecer la correspondencia entre elparámetroylalongituddelarcoesobtenerdesdelacurvaun gran numero de valores paramétricos. Cada uno de ellos representa un punto en la curva. Estos puntos pueden usarse para estimar la longitud del arco. Si se buscan puntos suficientemente próximos, se puede crear una tabla como la siguiente:

12 Donde G(u) es la distancia entre un punto P de la curva y el siguiente. Así pues esta tabla establece la correspondencia deseada, pudiendo cualquier valor intermedio del parámetro ser interpolado linealmente.

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14 El caso inverso consiste en obtener el valor del parámetro para una determinada longitud de arco. No obstante la solución de nuevo es un problema de interpolación lineal, aunque algo más complejo porque la distancia entre las longitud d los arcos no es constante.

15 5. Aproximación adaptativa Para disminuir el error total, se plantea dedicar más computación en las zonas donde estimamos que puede haber mayor error. Paraellosecreaunatablademanerasimilaraloindicadoenel caso anterior. Se estudia la tabla así generada, de manera que se compare la longitud del arco, con la distancia lineal entre los dos puntos d la curva.

16 Cuando la relación es muy grande, se entiende que la curva es muy pronunciada, y el ajuste puede cometer un mayor error, con lo que este segmento debe ser partido en trozos menores, hasta que no se supera un determinado umbral. De esta manera tan sencilla, se está dando más precisión a las zonas donde podremos encontrar mayor error en la aproximación.

17 6. Calcular la longitud de arco numéricamente Existen casos donde la posibilidad de cálculo y almacenamiento hacen deseable el cálculo numérico de la longitud del arco. Habría que integrar por tanto la función que corresponde a cadatramodelafuncióndelacurvaquedefinelatrayectoria. Para ello se aproximará la integral de la función en cada tramo por distintas técnicas, por ejemplo la Cuadratura Gaussiana.

18 7. Integración adaptativa gaussiana Algunas space curves tienen derivadas (por tanto cambios de pendiente de las curvas) que varían muy bruscamente en unos tramos y con mucha suavidad en otros. En estos casos la cuadratura gaussiana tendrá poca resolución en las zonas de brusca variación y por ellos se introduce un gran error con el método anterior. Enestemétodoprimeroseaproximaelmovimientoenlacurva mediante cuadratura gaussiana.

19 Posteriormente se divide cada tramo en dos y las dos mitades se evalúan de nuevo. Secomparalasumadelosvaloresobtenidosenlasdosmitades con el valor obtenido en el segmento entero. Si la diferencia entre ambos números es menor que una Si la diferencia entre ambos números es menor que una determinada precisión, se deja como esta, si el error supera el umbral definido, se introducen las dos mitades en la tabla.

20 8. Control de velocidad Una vez hemos parametrizado una curva por la longitud de arco, según alguno de los métodos anteriores, es posible controlarlavelocidadalacualnosmovemosporlacurva. Si avanzamos en saltos iguales de longitud de arco, entonces Si avanzamos en saltos iguales de longitud de arco, entonces avanzamos a velocidad constante.

21 Si buscamos un control de velocidad más complejo, podemos pensar en funciones de control de velocidad como ease in/ease out. Este control de velocidad produce una aceleración suave desde el reposo, hasta una velocidad máxima y una posterior deceleración de nuevo hasta el reposo. Elvalordeentradaenestasfuncionesdecontroleseltiempot, y la salida de la función es el valor de la longitud del arco, s. En ellosunarelaciónlinealentretyssuponeelcitadomovimiento a velocidad constante.

22 En esta relación entre t y s, la forma de la curva ya es irrelevante. La space curve podría ser lineal, pero la longitud del arco ser controlada por una función cubica respecto al tiempo s(t). Por tanto, como resumen podemos decir que la space curve dice Donde, mientras que s(t) dice Cuando. Un valor t define un arco recorrido, y esta longitud de arco se relaciona mediante cualquiera de los métodos anteriores con una posición en la space curve.

23 Ease in/ease out Es una de las maneras más habituales de controlar el movimientoalolargodeunacurva. Para ello se asume que el movimiento empieza y acaba en reposo, y que no hay saltos instantáneos en la velocidad, por tanto existe continuidad de la función en la primera derivada. Puede o no haber un intervalo de velocidad constante.

24 Una manera sencilla seria la interpolación por la función seno. En este caso se normaliza la función s(t) entre 0 y 1, y se usa el fragmento de la función seno entre -90 y +90. La función s(t) obtenida es:

25 Ambas funciones tienen la siguiente forma:

26 Funciones de control de velocidad con aceleración constante Para ello, la función ease in/ease out es parabólica. La función distancia-tiempo es igual a la integral de la función distancia-velocidad. Análogamente, la función distancia-velocidad es la integral de la distancia-aceleración. Para obtener las funciones de aceleración se asume que el movimiento comienza y acaba en reposo, con lo que las velocidades inicial y final son también cero.

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28 Para que se cumpla la aceleración y deceleración suave y de manera similar, las zonas de acc y dec de la figura deben ser similares. Asimismo deben ser definidos los valores de t1 y t2.

29 Otros modelos de aceleración pueden ser fácilmente definidos.