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1 Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia 2. Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia Muestreo de señales analógicas unidimensionales Cuando queremos procesar señales analógicas mediante un sistema discreto como el ordenador, debemos muestrearlas. Dada una señal analógica x(t), llamamos muestreo uniforme ideal a tomar un conjunto de valores que tiene dicha señal en intervalos de tiempo T constantes y consecutivos. Así se obtendrá la secuencia x[n] = x(nt). A la constante T se le llama periodo de muestreo, su inversa 1/T es la frecuencia de muestreo f m, y n es un número entero Modelo matemático de conversión continuo a discreto. El sistema que convierte una señal analógica en una señal discreta se puede representar como aparece en la figura 1 y su funcionamiento interno ideal puede asemejarse a la figura 2. Figura 1. Conversor continuo a discreto 1

2 Vídeo Digital Figura 2. Funcionamiento interno de un conversor C/D ideal. Como se observa en la figura 2, matemáticamente el muestreo se produce multiplicando la señal x(t) por un tren de deltas s(t). x s (t) x(t) n δ(tnt) n x(nt) δ(tnt) Consideramos la función delta como un pulso de área 1, y ancho infinitesimal A Δt = 1 Δt -> 0 A -> Figura 3. Función delta. Con esto se produce la discretización en tiempo de la señal. Posteriormente debe darse un código a cada valor de las deltas. Una vez muestreada la señal, las muestras de la secuencia digital de salida no tienen asociado un tiempo sino un número de orden. Esto implica, que aunque lo normal es recuperar la señal utilizando la misma frecuencia de muestreo, podríamos no hacerlo así, consiguiendo efectos diferentes en cada caso. El modelo descrito es muy cómodo para el análisis pero no es implementable en la realidad ya que las deltas ideales no existen. En la práctica, lo que se utiliza es un conversor analógico digital, que en vez de deltas de ancho infinitesimal utiliza pulsos de ancho algo mayor. 2

3 Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia Estudio del muestreo en el dominio de la frecuencia En este apartado vamos a analizar la relación que existe entre la Transformada de Fourier de la señal de entrada muestreada y la Transformada de Fourier de la secuencia de salida. En cuanto a la señal de entrada muestreada x s (t) x(t) n δ(tnt) Su transformada de Fourier continua sería X s (f a ) X(f a ) 1 T δ(f a n T ) 1 T X(f a n T ) n n Con lo que se llega a la repetición periódica del espectro X(f a ) cada 1/T. Por otro lado, considerando x s (t) como una señal analógica x s (t) Y su transformada de Fourier sería X s (f a ) n x(nt) δ(tnt) x(nt) δ(tnt) e jωt dt n Como la integral y el sumatorio son operadores lineales pueden intercambiarse entre sí. Además sacamos de la integral todo lo que no depende de t, quedando: X s (f a ) n x(nt) δ(tnt) e jωt dt El término integral es la transformada de Fourier de una delta desplazada que sabemos que vale δ(tnt) e jωt dt e jωnt Con lo que se obtiene X s (f a ) n x(nt) e jωnt 3

4 Vídeo Digital Si la comparamos esta última expresión con la transformada de Fourier de una secuencia X d (e jω ) x[n] e jωn Podemos observar que n X s (f a )X d (e jω ) wωt La representación gráfica de este desarrollo analítico aparece en al figura 4. Figura 4. Muestreo de señales continuas visto desde el dominio de la frecuencia. El siguiente ejemplo ilustra el desarrollo matemático y gráfico del muestreo de señales continuas. Se pretende realizar un filtrado digital a una señal de manera que su ancho de banda final sea de 3,4 khz. Figura 5. Ejemplo de filtrado digital para tratamiento de voz. 4

5 Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia A)- Si la señal está muestreada a una frecuencia de muestreo de 8 khz. Calcular la frecuencia de corte digital del filtro según la siguiente configuración. Según este esquema, la frecuencia de corte digital del filtro será: fcd fca fs 3,4kHz. 8kHz. 0,425Hz. La frecuencia de corte digital debe ser siempre menor que 0,5 ya que a partir de esa frecuencia digital se tiene la primera repetición del espectro. B)- Si utilizamos este mismo filtro digital diseñado con una señal muestreada a 5 khz. Que frecuencia de corte tendría el filtro analógico resultante. fca fcd fs 5kHz 0,425 2,125kHz Reconstrucción de una señal paso bajo a partir de sus muestras. Si antes para muestrear una señal continua utilizábamos un tren de deltas, donde cada delta representaba a una muestra, para recuperar podríamos seguir un método similar. Así en primer lugar, a cada delta desplazada le asignamos el valor de una muestra y[n]. y s (t) n y[n] δ(tnt) Con esto, lo que estamos haciendo es colocar cada muestra en el instante de tiempo que le corresponde según su número de orden y el periodo de muestreo utilizado originalmente. Si comparamos la expresión anterior con la señal analógica muestreada x s (t), su Transformada de Fourier sería la repetición periódica de Y(f a ). Y s (f a ) 1 T n Y(f a n T ) Así la recuperación de la señal original se puede conseguir con un filtro paso bajo como se muestra en la figura 6. 5

6 Vídeo Digital Figura 6. Reconstrucción de una señal paso bajo. Como lo que queremos es recuperar y(t), o lo que es lo mismo Y(f a ), hemos de aplicar finalmente un filtro, llamado filtro de reconstrucción. Si este filtro tiene una respuesta en frecuencia ideal, su expresión será H r (f a ) T ( f a f s ) Y su respuesta impulsional se calcula a través de la Transformada Inversa de Fourier h r (t) sinc ( t T ) filtro. Por último, la salida y(t) del filtro de reconstrucción sería la convolución de y s (t) con el y(t) n y s (nt) sinc ( tnt T ) La representación del sistema de conversión de discreto a continuo se muestra en la figura7, así como su diagrama de bloques. 6 Figura 7. Conversor de discreto a continuo

7 Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia Consideraciones sobre el procesamiento discreto de señales continuas. El modelo de sistema que se va utilizar es el siguiente: Figura 8. Procesamiento discreto de señales continuas. Respecto de la señal de entrada x(t) a un sistema de procesado digital, ésta nunca está estrictamente limitada en banda. Sin embargo esta limitación en banda es una característica necesaria para que no se produzca solapamiento espectral. El ancho de banda que debe tener la señal de entrada a muestrear depende de la aplicación, pero siempre debe ser menor que 1/T, y en general será menor de 1/2T (Cuando en el sistema discreto existe un filtrado paso bajo, es posible tener frecuencias de muestreo a la entrada entre 1/T y 1/2T y que el filtro elimine el solapamiento que se produzca. Por eso podemos decir que, dependiendo de la aplicación, en un caso extremo podemos muestrear sin problemas una señal con un ancho de banda siempre menor que 1/T). En el caso más general, para conseguir la limitación en banda a la entrada es conveniente filtrar paso bajo, mediante un filtro antisolapamiento antes de muestrear (analógico por tanto); sobretodo en señales ruidosas. El filtro antisolapamiento asegura que la señal de entrada tenga un ancho de banda limitado. Figura 9. Utilización de filtro antisolapamiento en señales ruidosas. 7

8 Vídeo Digital Por otra parte, la generación de un tren de deltas para el conversor C/D no es posible, con lo que este conversor no es real. Respecto a la señal de salida, la secuencia a recuperar, y[n] debe estar limitada en banda con un ancho de banda menor que 1/2T para que el filtro de recuperación posterior respete el contenido espectral de la secuencia. El conversor de discreto a continuo real se implementa mediante un conversor D/A. En estos conversores, las deltas no son tales; estas son, en realidad, los pulsos que configuran la señal en escalones conocida de los convertidores D/A. El funcionamiento de un conversor D/A puede modelarse como aparece en la figura 10. Figura 10. Funcionamiento de un conversor D/A. El bloque P(t) tiene como respuesta impulsional un pulso de ancho T y amplitud 1. Según el esquema de la figura 10, la salida del conversor D/A en ambos casos resulta quedando y s (t) n y[n] P(tnT) y s (t) P(t) n n y[n] δ(tnt) P(t) y[n] δ(tnt) Si el espectro de la señal discreta de entrada y[n] es este 8

9 Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia Y la función de transferencia del bloque P(t) es P(fa) = T sinc (fa T). El espectro de la señal de salida será el producto en la frecuencia (convolución en el tiempo). Así, por tener un tren de pulsos y no un tren de deltas, se produce una distorsión de amplitud para algunas frecuencias dentro de la banda de la señal. El filtro ideal queda modificado por un sinc, pero su efecto puede compensarse en el sistema discreto de la cadena, de la misma manera que se hizo con el filtro antisolapamiento. Si las muestras se han tomado con un periodo de muestreo muy pequeño, las repeticiones del espectro de la señal estarán muy separadas entre sí, así como los ceros de la función sinc. Según esto tendremos el siguiente espectro En él se puede observar, que el efecto del sinc en las frecuencias de interés es bastante menor. Incluso si la frecuencia de muestreo es muy alta, el bloque P(t) puede hacer las veces de filtro de reconstrucción. Esta técnica se aplica en muchos casos para equipos de sonido. El filtro de reconstrucción es también un sistema analógico y no puede ser un filtro ideal. Además, por ser analógico, nos interesa que sea lo más sencillo posible. Según el teorema de Nyquist, la señal que se recupera es la única señal paso bajo con ancho de banda 1/2T que pasa por las muestras. 9

10 Vídeo Digital De esta forma si no hay solapamiento espectral se recuperará siempre la señal deseada, pero si hay solapamiento la señal de salida será analógica, pero tendrá un espectro distinto del original, y por lo tanto diferirá de la señal deseada. En el caso de tener un filtrado digital como sistema discreto, este filtro digital se puede diseñar para compensar los defectos de los filtros analógicos antisolapamiento y de reconstrucción. Otra consideración, que pueden hacerse a este respecto es que para medir prácticamente la respuesta al impulso de un sistema digital no se debe introducir una delta, ya que es una señal no limitada en banda y puede producirse solapamiento. Si introducimos una señal escalón la respuesta a la derivada del escalón (función delta) es igual a la derivada de la salida; pero el escalón tampoco está limitado en banda. Generalmente se utilizan sinusoides de distintas frecuencias y se miden las salidas para conocer sus amplitudes y su retardo Ruido de cuantificación. En la práctica, para procesar señales continuas mediante un sistema discreto se utiliza un conversor A/D, y si la frecuencia de la señal de entrada es muy alta, un circuito de muestreo y retención. El circuito de muestreo y retención toma muestras de la señal cada instante T y las retiene durante este tiempo. El conversor A/D convierte el nivel de señal de entrada en un código. La amplitud que nos da el conversor es una amplitud cuantificada con n bits. Esta cuantificación produce errores de redondeo. Un efecto de la cuantificación de la señal es la generación de un ruido llamado ruido de cuantificación. es En un sistema de muestreo y codificación normal la potencia del ruido de cuantificación N C Δ2 12 donde Δ es el tamaño del escalón. 10

11 Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia Esta potencia, se considera que aparece uniformemente entre la frecuencia cero y la mitad de la frecuencia de muestreo. Con esto la densidad espectral de frecuencia es DEP Δ f s /2 De esto, el ruido más molesto será aquel que esta dentro del ancho de banda de la señal y que no podremos quitar filtrando. P N B 0 DEP(f) df resultando P N Δ f s /2 B Al término f s / 2B se le llama relación de sobremuestreo (OSR => Oversampling Ratio) quedando la expresión finalmente. P N Δ OSR se observa que al doblar la frecuencia de muestreo se reduce el ruido de cuantificación en 3dB. Si al codificar con 1 bit más la mejora es de 6 db, el cuadruplicar la frecuencia de muestreo implica una reducción también de 6 db en el ruido, esto es como si se codificara con un bit más. 11

12 Vídeo Digital Cambio de la velocidad de muestreo en el dominio digital. Se trata de muestrear una señal de entrada con dos periodos de muestreo distintos y saber que relación existe entre las señales de salida. Figura 15. Cambio de la velocidad de muestreo También nos interesa saber que sistema podemos poner a la salida del primero para que nos dé a su salida el resultado del segundo; es decir, procesar x[n] para conseguir y[n] sin tener que pasar al dominio analógico. Para ello se van a estudiar tres casos distintos: diezmado, interpolación, y variación por un factor Q racional Diezmado Llamamos diezmado (en inglés, decimation) a la reducción de la velocidad de muestreo por un factor entero M (T = M T). Un diezmador se representa así. Figura 16. Diezmador 12

13 Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia Este esquema, lo que hace básicamente es desechar M-1 muestras de cada M. De esta forma la solución al problema es muy sencilla. El elemento que coge una muestra de cada M se representa por la siguiente figura. Figura 17. Elimina M-1 muestras de cada M. Como T = M T => x[n] = x c (nt) => y[n] = x c (n T ) = x c (n M T). En este proceso hay que tener la precaución de que la nueva frecuencia de muestreo cumpla las condiciones de Nyquist (f s 2 B). Si la nueva frecuencia de muestreo es menor que dos veces el ancho de banda de la señal, se producirá solapamiento. Por esto, al diezmar hay que tener cuidado de que no se produzca; y si no es posible evitarlo, debemos filtrar la secuencia antes, de forma que eliminemos aquella parte de la señal que se solaparía. El valor de la frecuencia de corte digital del filtro será, como veremos, f cd =1/2M, y su ganancia G = 1. Según todo lo anterior el diezmador quedaría así: Figura 18. Funcionamiento de un diezmador A continuación vamos a ver la relación que existe entre la Transformada de Fourier a la entrada y a la salida del diezmador. La Transformada de Fourier de la secuencia de entrada es la siguiente X(e j2πfd ) 1 T X c i f d i T f d f a T donde f d es la frecuencia digital ω / 2π y vale f d = f a T. En este caso f a es la frecuencia analógica f a = Ω / 2π. 13

14 Vídeo Digital La Transformada de Fourier de la secuencia de salida total del sistema es Y(e j2πf ) 1 T X c k f d k T 1 MT X c k f d k MT f df a T f a MT donde f d es la frecuencia digital ω / 2π y vale f d = f a T = f a M T. En este caso f a es la frecuencia analógica f a = Ω / 2π. Si en la Transformada Y sustituimos la expresión k = r + s M, con 0 < r < M-1 y -<s<, nada varía, obteniendose Y(e j2πf ) 1 M M1 r0 1 T X c s f d MT rsm MT Haciendo algunos arreglos en el último paréntesis llegamos a Y(e j2πf ) 1 M M1 r0 1 T X c s f d r M T s T De la expresión anterior puede observarse que, salvo constantes Y(e j2πf ) 1 M M1 r0 X e j2πf d f d f d r M Luego la única diferencia entre X(e jw ) e Y(e jw ) en el dominio de la frecuencia es una repetición periódica. Esta repetición periódica se reflejará en el eje de frecuencias digitales de salida en un cambio en las frecuencias. Vamos a ver gráficamente un ejemplo de diezmado con factor M=2. Dado el espectro discreto siguiente muestreado con periodo de muestreo T 14

15 Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia Si diezmamos con M=2, de la expresión de la salida obtenermos dos sumandos, uno para r = 0 y otro para r = 1. S En el sumando donde r = 0 => f d = M f d. Y S En el sumado donde r = 1 => f d = M f d + 1. Su suma nos resulta el espectro Y(e jω ). Podemos observar que el nuevo espectro es también periódico de periodo 1 en la frecuencia f d Interpolación Llamamos interpolación al aumento de la frecuencia de muestreo por un factor entero L (T = T/L) El sistema se representa así. Figura 21. Interpolador Como T = T / L => x[n] = x c (nt) => y[n] = x c (n T ) = x c (n T / L). Se pretende calcular una serie de muestras intermedias entre las que se tienen. 15

16 Vídeo Digital Esto se puede conseguir mediante el siguiente esquema Figura 22. Funcionamiento de un interpolador El primer bloque inserta L-1 muestras de valor 0 entre cada dos muestras de x[n]. Así, el valor de y 1 [n] en el tiempo es y 1 [n] x n L para nmúltiplo de L 0 resto Puesto que cada una de las muestras de x[k] están en la posición kl en y 1 tenemos. y 1 [n] x[k] δ[nkl] k Quedando solamente las muestras distintas de 0 cada intervalo kl. Si pasamos al dominio de la frecuencia, obtendremos Y 1 (e jω ) n y 1 [n] e jωn Intercambiando sumatorios tenemos Y 1 (e jω ) k n k x[k] δ[nkl] e jω n x[k] δ[nkl] e jω n n El segundo sumatorio de la última expresión es nulo excepto para las muestras en las que n = kl, y esto hace que resulte Y 1 (e jω ) k x[k] e jω kl En esta expresión, x[k] es el valor de la muestra de entrada y kl es el instante en el que se coloca. 16

17 Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia De la expresión anterior se deduce que la Transformada de Fourier X(e jw ) y Y 1 (e jw ) son la misma pero comprimida en el eje de frecuencias un valor L Y 1 (e jω ) X(e jω ) ωω L Para aclarar las ideas, vamos a ver el efecto en el dominio de la frecuencia de una interpolación por dos (L=2). En la siguiente figura se representa el espectro de una señal muestreada exactamente a una frecuencia el doble de su ancho de banda. Si insertamos un cero entre cada dos muestras (L=2) se comprime el espectro quedando La señal que se quiere obtener tiene el siguiente espectro que como podemos suponer es el elemento central del espectro comprimido repetido periódicamente con periodo 1. Para conseguir este espectro a partir del anterior, lo que debemos hacer es filtrar con una frecuencia de corte f cd 0,5 /L y aplicar una ganancia L 17

18 Vídeo Digital Como la frecuencia de corte del filtro digital es menor que 0,5 el filtro es realizable, y su función de transferencia la podemos denotar como H(e j2πf d ) L Π f d 1/L Puede observarse que la interpolación por si sola no puede producir solapamiento ya que estamos insertando más muestras de las que había en un principio. Para ver lo que está pasando en el tiempo con la inserción de este filtro, nos interesa representar su respuesta impulsional, que resulta ser h[n] sinc n L sen( πn L ) πn L Quedando gráficamente figura Como ejemplo, en el caso de tener una secuencia de entrada x[n] como la de la siguiente 18

19 Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia Si interpolamos por tres, la salida del bloque que inserta ceros tendrá el aspecto siguiente señal x 1 Y finalmente, la salida del filtro será la convolución de la respuesta al impulso con esta Podemos ver en la figura anterior las muestras resultado de la interpolación en negro. Este sería el resultado suponiendo la implementación de un filtro paso bajo ideal; pero como sabemos esto no es posible. Un filtro abrupto ideal con la respuesta impulsional h i [n]=sinc(n/l), tiene la propiedad de que no altera los valores de las muestras de la secuencia de entrada; pero esta respuesta al impulso no es causal, y tiene una duración infinita, por lo tanto la convolución no se puede realizar porque habría que hacer infinitas operaciones para cada una de las muestras de entrada. Si la duración de la respuesta al impulso del filtro fuera finita, el número de operaciones para hacer la convolución con las muestras de salida sería finito, y por lo tanto se podría implementar mediante un filtro FIR (de respuesta impulsional finita) que además pueden tener un comportamiento lineal con la fase. La ecuación en diferencias de un filtro FIR es la siguiente y[n] M k0 b k x[nk] 19

20 Vídeo Digital Si la respuesta impulsional del filtro tuviera que tener una duración infinita podríamos recurrir a filtros IIR (de respuesta impulsional infinita). En estos filtros, la respuesta a la salida dependerá de las muestras de entrada y de las muestras de salida anteriores. Su ecuación en diferencias tendría esta forma y[n] M k0 b k x[nk] N j0 a j y[nj] En algunos casos, lo que se hace es recurrir a respuestas impulsionales más sencillas. La primera que podemos plantear es la interpolación lineal. En ella se trata de insertar entre dos muestras adyacentes L-1 muestras de forma que todas ellas estén unidas por una línea. La respuesta al impulso de un filtro de estas características sería así. h lineal [n] 1 n L para n L 0 resto La respuesta en frecuencia de este filtro deja pasar algunas frecuencias de la banda atenuada, y por otro lado atenúa algunas otras en la banda de paso de manera que hay que utilizarlo con cautela. Otra solución es utilizar la técnica de enventanado de la respuesta al impulso ideal. Con esta técnica se recorta la respuesta al impulso ideal por medio de una ventana y se retarda de manera que el resultado sea causal; este retardo no es más que una fase lineal añadida a la señal de salida. Partiendo de la respuesta impulsional ideal, 20

21 Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia La respuesta impulsional enventanada con un ventana rectangular sería Existe gran variedad de ventanas además de la rectangular que pueden encontrarse en la bibliografía recomendada. Una última idea sobre la implementación de filtros digitales es que se puede realizar cualquier filtro digital sin más que muestrear la respuesta en frecuencia de un filtro analógico cumpliendo el criterio de Nyquist también en este caso. h d [n] T h a [nt] En este caso las respuestas en frecuencia de los filtros analógico y digital asociado cumplirían la siguiente relación. H d (e jω ) k H Ω2πk T Para terminar con este apartado y a modo de resumen, entre los filtros del interpolador y del diezmador existen dos diferencias Frec. Corte Digital Ganancia Diezmador 0,5 / M 1 Interpolador 0,5 / L L 21

22 Vídeo Digital Variación por un factor racional A la frecuencia de muestreo le aplicamos un factor arbitrario pero racional Q=L/M (T =MT/L). Con este método puede abarcarse casi cualquier variación de la frecuencia de muestreo, ya que cualquier número puede aproximarse todo lo que se quiera a un número racional (aunque no con precisión infinita). Esto puede hacerse mediante los métodos anteriores. El sistema que realiza esta operación se representa así Como T = T M / L => x[n] = x c (nt) => y[n] = x c (n T ) = x c (n T M / L). En estos sistemas, siempre se debe colocar en primer lugar la interpolación por L y después el diezmado por M. Si diezmamos antes, podemos producir solapamiento espectral que estropearía la señal a interpolar posteriormente; sin embargo al interpolar primero se insertan muestras que al diezmar pueden evitar dicho solapamiento. En el caso en que al variar la velocidad de muestreo se pierda información, al interpolar primero las pérdidas serán mínimas. El esquema a implementar sería el siguiente. Figura 35. Cambio de la frecuencia de muestreo por un factor racional. Si desarrollamos el esquema obtendríamos un esquema como el de la figura 32. Figura 36. Cambio de la frecuencia de muestreo por un factor racional 22

23 Si unimos los dos filtros en uno queda Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia Figura 37. Cambio de la frecuencia de muestreo utilizando un filtro Consideraciones prácticas de la interpolación y el diezmado. En un sistema de filtrado digital, la velocidad de las muestras no varía, y la velocidad a la que tiene que trabajar el filtro dependerá exclusivamente de la frecuencia de muestreo, debe procesar una muestra en un tiempo menor o igual que T. Al pasar una secuencia por un sistema que contenga un interpolador o un diezmador la velocidad de las muestras sí varía. Como hemos dicho anteriormente debemos primero interpolar para minimizar el efecto de solapamiento. Cuando la interpolación tiene un valor L importante, ocurre que el número de muestras que llegan al filtro digital, si lo hay, son muchas, por lo tanto los cálculos que se tengan que hacer serán cuantiosos y muy rápidos. Una solución a este problema es que cuando se quiera interpolar y diezmar a la vez, hacerlo en fases; es decir, interpolar y diezmar en varias veces. Debe además procurarse perder la menor cantidad de información que sea posible. Cuanto mayor sea L menos tiempo tendremos para realizar los cálculos del filtro digital. 23

24 Vídeo Digital Aplicaciones de la interpolación y el diezmado en vídeo digital Conversión entre formatos digitales. Cada aplicación de una señal tiene una velocidad de muestreo óptima. El paso de señal de un formato a otro implica un cambio en la velocidad de muestreo. Dentro de un cuadro o un fotograma, se aplica esto sin más; pero en secuencias con movimiento se aplica el proceso llamado compensación de movimiento que se verá en el tema de compresión MPEG Simplificación de los filtros antisolapamiento y de reconstrucción en las conversiones A/D y D/A. Las causas más comunes de error en los sistemas con conversión A/D y D/A son los filtros antisolapamiento y de reconstrucción. En ocaciones, el filtro antisolapamiento debe ser muy abrupto. Como el filtro es analógico y utiliza componentes LC que dependen de la frecuencia, se necesitan muchos componentes y muy precisos. El uso de filtros analógicos tiene varios inconvenientes entre los que podemos destacar las tolerancias y derivas de los componentes; la falta de repetibilidad; una complicada integración en circuitos VLSI, falta de flexibilidad, cada vez que tenemos que cambiar un parámetro necesitamos rediseñar; y la respuesta en fase no es controlable. Por estas razones conviene simplificar su diseño aunque se complique el diseño de los filtros digitales. 24

25 Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia Diezmado para simplificar la conversión A/D Lo que tratamos es que el filtro antisolapamiento no tenga que ser tan abrupto. Una solución es muestrear con un frecuencia de muestreo alta con lo que las repeticiones del espectro estarán muy separadas. Con esto puede ponerse un filtro analógico antisolapamiento con la banda de paso lo más plana posible, y una transición poco abrupta. Una vez muestreado podremos diezmar, y como el filtro del diezmador es digital podemos jugar con él según nuestras necesidades Interpolación para simplificar la conversión D/A Para que el filtro de reconstrucción, que es analógico no tenga que ser tan abrupto, se puede interpolar la señal. El espectro con la interpolación se comprime, y filtrando digitalmente después se puede quedar así. De esta manera el filtro de reconstrucción no tiene porque ser tan abrupto 25

26 Vídeo Digital La idea en definitiva es hacer un sistema así. Figura 41. Sobremuestreo. Este esquema tiene además la ventaja de que aunque el filtro P(t) del conversor D/A produzca un producto del espectro de la señal por un sinc, el efecto de este sinc se puede compensar en el diseño del filtro digital del interpolador, o si no se quiere tocar el filtro digital, si la interpolación es mayor el efecto del sinc disminuye. En la siguiente tabla aparece el efecto del sinc en el borde del ancho de banda de la señal para distintos valores de sobremuestreo. L H(f) = sinc (0,5 / L)

27 Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia 2.2. Introducción al muestreo multidimensional Secuencias obtenidas por muestreo periódico y uniforme. Haciendo una analogía con el caso unidimensional, multiplicaríamos la señal continua multidimensional con un tren de deltas multidimensional, en el que en cada dimensión establecemos un vector periodo de muestreo T i. Las secuencia multidimensional discreta resultante sería: f[n] = f[n 1, n 2 ] = f(n 1 T 1, n 2 T 2 ) Figura 42. Funcionamiento interno de un conversor C/D bidimensional. En la figura anterior hemos de tener en cuenta las siguientes relaciones: x x 1 x 2 ; P(T 1,T 2 ) T 11 T 12 T 21 T 22 ; n n 1 n 2 xp n x 1 T 11 n 1 T 12 n 2 x 2 T 21 n 1 T 22 n 2 27

28 Vídeo Digital Además se define la densidad de muestreo como la relación: Densidad de muestreo 1 Det [P] Relación entre transformadas de Fourier discreta y continua. Pretendemos conocer la relación que existe entre las Transformadas de Fourier de la señal continua muestreada y la señal digital. Evitaremos meternos en demostraciones matemáticas complicadas, pero sí atenderemos a sus conclusiones. Para simplificar abordaremos el estudio en 2D, siendo automática la generalización a múltiples dimensiones. Distinguiremos entre muestreo ortogonal y no ortogonal Muestreo ortogonal. Es aquel en el que las muestras se toman siguiendo un patrón de filas y columnas. Figura 43. Muestreo ortogonal. Este muestreo se realiza, al igual que en 1D, mediante la multiplicación de la imagen 2D por un tren de deltas bidimensional. En este caso, los vectores periodo de muestreo tendrán esta forma: T T 0 x = T = 0 T 1 2 y 28

29 Y la matriz de periodicidad Muestreo y recuperación de imágenes en el dominio de la frecuencia Tx P= ( T T ) = T La multiplicación de este tren de deltas bidimensional por la imagen, al pasar al dominio de la frecuencia continua (Ω) se convertirá en una convolución. Esta convolución va a implicar un factor de ganancia. 1 G T x T y Y también la repetición del espectro, tanto en la dirección Ω x, como Ω y con intervalos y dados por los vectores pulsación U 1 y U 2 U = 2π Tx 0 U 1 2 = 0 2π T y Estos dos vectores forman la matriz de pulsaciones U definida como ( ) 1 2 U = U U = 2π 0 Tx 0 2 π Ty 29

30 Vídeo Digital Resultando una posición de las repeticiones del espectro como muestra la figura. Puede comprobarse que las matrices de los vectores de periodicidad P, y de pulsaciones U cumplen la siguiente relación. U P T = 2π I donde I es la matriz identidad. Si pasamos del dominio de la frecuencia analógica (Ω) al de la frecuencia digital (ω), prescindiremos de la variable tiempo. Esto lleva consigo una normalización en frecuencia. ω = P T Ω Esta relación hace que en el caso ortogonal, la frecuencia analógica y la frecuencia digital estén relacionadas de la siguiente manera. ω 1 Ω x T x 0 ω 2 0 Ω y T y 30

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