Matemática Computacional

Transcripción

1 Matemática Computacional Filtrado en el dominio de la Frecuencia MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 1

2 Logro El alumno, al término de la sesión, será capaz de entender el filtrado en el dominio de la frecuencia y su relación con la Transformada de Fourier, sus propiedades y algunas de sus aplicaciones al procesamiento de imágenes. MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 2

3 Cuantificación Cuando se captan las señales de la imagen por un registrador, tenemos lo siguiente, línea por línea: Línea AB trazada para digitalizar la imagen Muestreo Función contínua generada por la línea AB del registrador colocada en escala de grises y puntos del muestreo Para poder generar la digitalización de la imagen (muestreo) usaremos la Transformada de Fourier. Esto se hace en los filtros de paso banda como veremos más adelante. MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 3

4 Filtrado en el dominio de la frecuencia Un filtro puede verse como un mecanismo de cambio o transformación de una señal de entrada a la que se le aplica una función, conocida como función de transferencia, para obtener una señal de salida. Todas estas señales y funciones pueden ser discretas o continuas, aunque en el tratamiento de imágenes se usan señales y funciones discretas. Filtro discreto con entrada E, salida S y función de transferencia H. MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 4

5 Las representaciones en el dominio de la frecuencia, debido a que explican cómo se repiten los píxeles de una imagen, consiguen representar la información de tal imagen. Esta representación es especialmente útil, ya que teniendo la frecuencia de repetición de los elementos que componen una imagen, se pueden apreciar y alterar directamente elementos como el ruido, los bordes, las texturas, etc. Transformadas en el dominio de la frecuencia usadas en tratamiento de imágenes: Transformada de Fourier (funciones base: senos y cosenos) Transformadas del coseno (funciones base: cosenos) Transformadas wavelets (funciones base: Haar, Daubechies, ) Transformada de Karhaunen-Loeve o Análisis de Componentes Principales (PCA) MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 5

6 Transformada de Fourier Una serie de Fourier puede considerarse como la suma de un conjunto de funciones sinusoidales de diferentes frecuencias, promediada por unos coeficientes, con el objetivo de aproximarse a una función f(x). Una función periódica en el tiempo, de periodo T 0 (T 0 = 2π ), puede expresarse ω como : El conjunto de señales sinusoidales (senos y cosenos), constituyen una base de funciones en el dominio de la frecuencia. La transformada de Fourier de una función f(x) es una extensión de las series de Fourier a señales no periódicas. MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 6

7 Ejemplo Calcule la transformada de Fourier de la función Solución: A, W f t = 2 t W 2 0, cualquier otro caso Usaremos la fórmula de Euler: e jωt = cos ωt + jsen(ωt) F μ = න f(t)e j(2πμ)t dt = W/2 න W/2 Ae j(2πμ)t dt = A j2πμ = AW sen(πμw) πμw e j 2πμ t MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 7

8 Otras definiciones: La expresión obtenida al final del cálculo del ejemplo, es conocida como función sinc. sinc(m) = sen(πm) πm El valor absoluto de la transformada, F μ, se conoce como espectro de Fourier o espectro de frecuencia La función impulso unitario está definida por: Para una variable contínua t δ(t t 0 ) = ቊ, si t = t 0 0, si t t 0 Para una variable discreta x δ(x x 0 ) = ቊ 1, si x = x 0 0, si x x 0 MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 8

9 La función del ejemplo anterior, junto a su transformada y a su espectro, aparecen graficadas aquí. Gráfica de la función f(t) Gráfica de la transformada de Fourier de f(t) Gráfica del espectro de Fourier de f(t) Se puede observar, de los gráficos, que las posiciones de los CEROS (tanto de F μ como de F μ ) son inversamente proporcionales al largo de la función rectangular (W) y que la altura de las curvas disminuye en función de la distancia al origen. Eso es muy importante al momento de analizar los filtros. MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 9

10 Ejemplos: 1. Halle la transformada de Fourier de: f x = ቐ 1 2ε, x ε 0, x > ε 2. Halle la transformada de Fourier de: f x = ቊ 1 x2, x < 1 0, x > 1 MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 10

11 Propiedades importantes: La función impulso tiene la propiedad de selección en lo que se refiere a la integración. Esta propiedad consiste en que ella nos informa el valor de la función f(t) en la posición del impulso, t 0. Es decir: δ(t t 0 ) = ቊ, si t = t 0 0, si t t 0 න f(t)δ(t t 0 ) dt = f(t 0 ) La transformada de Fourier de un impulso unitario con el impulso posicionado en t 0, es: F μ = න δ(t t 0 )e j(2πμ)t dt = e j(2πμ)t 0 = cos 2πμt 0 jsen(2πμt 0 ) MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 11

12 Convolución Sean f 1 (t) y f 2 (t) dos funciones continuas. La convolución de f 1 (t) y f 2 (t) está definida por la función: Ejemplo: Compruebe que: f t = f 1 t f 2 t = න f 1 (x)f 2 (t x)dx f t δ t = δ t f t = f(t) MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 12

13 Ejemplo: Halle la convolución de las funciones: MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 13

14 Ejemplo: Calcule la transformada de Fourier de f t h t Solución: f t h t = න f x h t x dx Sean F(μ) y H μ las transformadas de Fourier de f t y h t, respectivamente. F f t h t = න න f x h t x dx e j2πμt dt = න f x න h t x e j2πμ(t x) dt e j2πμx dx = න f x e j2πμx dx = H μ න f x e j2πμx dx = H μ F(μ) F f t h t = F(μ)H μ Esto relaciona al dominio espacial con el dominio de la frecuencia MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 14

15 Transformada de Fourier para imágenes La transformada de Fourier para imágenes es una función sobre un espacio bidimensional discreto y está dada por: Transformada de Fourier Imagen original Espectro de la Imagen MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 15

16 Ejemplo de Aplicación Supongamos que tenemos la siguiente imagen y que cada uno de los cuadros representa un píxel cuya intensidad (en escala de grises) va representada por 8 bits. Calculemos el espectro de dicha imagen. Solución: Para facilitar los cálculos, asumamos que los niveles de gris son 0 y 1, y al final los multiplicaremos por 255 para que nos de el resultado real. MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 16

17 Ejemplo de Aplicación Ahora, usemos la transformada de Fourier para generar nuestra matriz con u y v. Para esto se asume que si "x" va de 0 a M-1 e "y" va de 0 a N-1, entonces u y v tendrán los mismos intervalos discretos. Entonces, tendremos: 2 F u, v = 1 9 x=0 2 y=0 ux j(2π) f(x, y)e 3 +vy 3 Como tenemos que : f 0,0 = 1; f 0,1 = 0; f 0,2 = 1; f 1,0 = 0; f 1,1 = 1; f 1,2 = 0; f 2,0 = 1; f 2,1 = 0; f 2,2 = 1 Entonces : F u, v = e j 4π 3 v + e j(2π 3 ) u+v + e j 4π 3 u + e j 4π 3 (u+v) MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 17

18 Ejemplo de Aplicación Usando que e jw = cos w + jsen w, se puede comprobar que: F 0,0 = 5 9 ; F 0,1 = 1 + j 3 18 ; F 0,2 = 1 j 3 18 ; F 1,0 = 1 + j 3 18 ; F 1,1 = 1 + j 3 9 ; F 1,2 = 2 9 ; F 2,0 = 1 j 3 18 ; F 2,1 = 2 9 ; F 2,2 = 1 j 3 9 Pero, el espectro de Fourier es el módulo de F(u,v), por lo tanto, la matriz del espectro será: x 255 0,5 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 0,1 0,2 0, Espectro de la Imagen MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 18

19 Transformada de Fourier inversa para imágenes La transformada de Fourier Inversa para imágenes es una función sobre un espacio bidimensional y está dada por: Recuperación Espectro de la Imagen Imagen parecida a la original MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 19

20 Pasos para la Recuperación Paso 1: Se aplica la transformada de Fourier inversa. En el caso anterior, tenemos: 2 f x, y = 1 9 u=0 2 v=0 ux j(2π) F(u, v)e 3 +vy Paso 2: Se reordena la matriz resultante, de tal manera que el f(0,0) se encuentre en el centro de la nueva matriz. Para esto se cambia a "x" por (x+k mod M), "y" por (y+t mod N). En el caso del ejemplo anterior, tendríamos que k=t=1. Si la matriz fuese y entonces, la matriz cambiada sería: Paso 3: A partir de la matriz obtenida en el paso anterior, se calcula una nueva matriz en base a la siguiente fórmula: s = Ln(1 + matriz ), donde matriz es el módulo de cada uno de los números complejos de la matriz MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 20

21 Paso 4: Se reescalan los valores obtenidos a la escala del 0 al 255, usando la técnica de reescalamiento enseñada anteriormente. Ejemplo de Aplicación Recupere la imagen cuyo espectro está dado por Solución: Paso 1: Se aplica la transformada de Fourier Inversa y obtenemos la matriz: MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 21

22 Paso 2: Se aplica el intercambio a la matriz. En este caso, también k=t= Paso 3: Aplicamos la fórmula: s = Ln(1 + matriz ) y obtenemos: 4,8520 3,9703 4,8520 3,9703 6,0799 3,9703 4,8520 3,9703 4,8520 Paso 4: Se reescalan los valores obtenidos a la escala del 0 al 255, usando la fórmula: y = 120,87363 (x 3,9703) Con esto obtenemos: Y esta matriz se parece mucho a la imagen original. MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 22

23 Filtros de Paso bajo Se usan para eliminar altas frecuencias, dejando «pasar» bajas frecuencias (aquellas que están por debajo de una frecuencia de corte). Se ponen a cero los módulos de los coeficientes de Fourier relativos a las altas frecuencias, dejando sin modificar los relativos a las bajas frecuencias. Espectro sin filtro Espectro con filtro paso bajo Imagen recuperada MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 23

24 Filtros de Paso alto Se usan para eliminar bajas frecuencias, dejando «pasar» altas frecuencias (aquellas que están por encima de una frecuencia de corte). Se ponen a cero los módulos de los coeficientes de Fourier relativos a las bajas frecuencias, dejando sin modificar los relativos a las altas frecuencias. Espectro sin filtro Espectro con filtro paso alto Imagen recuperada MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 24

25 Filtros de Paso banda Permanece inalterada una banda (o rango) de frecuencias Sirve para eliminar ruido estructural. MATEMÁTICA COMPUTACIONAL - MA475 25