1.2. Tratamiento digital de señales bidimensionales
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- Elvira Muñoz Duarte
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1 1.2. Tratamiento digital de señales Procesamiento de imágenes digitales Contenidos Señales Transformada de Fourierde señales Filtrado de señales Periodicidad 1
2 Función con más de una variable independiente Continuas Discretas Mixtas Ejemplos Fotografía Televisión Función delta bidimensional δ(x,y δ(x δ(y (x,y y x 2
3 Rectas impulso f(x,y δ(x ; F(x,y =(x f(x,y δ(y y x Rectas impulso f(x,y δ(a x x a y y x 0 a a x a y x x y f(x δ(a T x x 0 3
4 Rectas impulso f(x,y δ(a x x a y y x 0 y a x a y x 1 a y x 0 Escalones Exponencial compleja u(x,yu(x u(y u(x f(x,y u(x f(x,ye j(ω x xω y y e jωt x 4
5 Exponencial compleja Parte real Re(f(x,y cos (Ω T x Parte imaginaria Im(f(x,y sen (Ω T x Exponencial compleja Módulo Ω Ω 2 x Ω2 y 2π T (T => periodo en la dirección de máxima variación Fase.-Dirección de máxima variación. Ω arctg Ω y Ω x 5
6 1.2.2.T.F. de señales continuas Directa F(f x,f y f(x,y e j 2π(f x x f y y dxdy Inversa en frecuencia f(x,y F(f x,f y e j 2π(f x x f y y df x df y Inversa en pulsaciones f(x,y 1 F(Ω 4π 2 x,ω y e j (Ω x x Ω y y dω x dω y T.F. de señales continuas Linealidad TF(ax + by = a TF(x + b TF(y Simetrías f(-x tiene por transformada F(-f f*(x tiene por transformada F*(-f f*(-x tiene por transformada F*(f 6
7 1.2.3.T.F. de señales continuas Separabilidad f(x,y = f 1 (x f 2 (y => F(f x, f y = F 1 (f x F 2 (f y Producto h(x,y = f(x,y g(x,y H(f x, f y F(u x,u y G(f x u x,f y u y du x du y T.F. de señales continuas Desplazamiento f(x -x 0 tiene por transformada F(f e j2π(ft x 0 Modulación j2π (ft f(x e 0 x tiene por transformada F(f -f 0 7
8 1.2.3.T.F. de señales continuas Rotación x = r cos f x = f cos y = r sen f y = f sen TF[ g(r, + 0 ] = G(f, + 0 Escalado TF[f(ax,by] 1 ab F( f x a, f y b T.F. de señales continuas Derivación TF[ δ2 f(x,y δx δy ] 4π2 f x f y F(f x,f y Convolución TF[f(x * g(x] = F(f G(f z(xf(xg(x f(u g(xu du x du y 8
9 Filtrado de señales g(x resp. impulsional, G(f resp. en frecuencia Baja frecuencia entorno (fx, fy = (0, 0 Alta frecuencia, valores altos de fx y fy Existen puntos de baja frecuencia en fx y alta en fy Periodicidad Se cumple que: f(x = f(x + T i T i son cada uno de los vectores periodo Podemos distinguir Periodicidad ortogonal Periodicidad no ortogonal 9
10 Periodicidad Periodicidad ortogonal Repeticiones en las direcciones x e y y Ty x Tx Periodicidad Periodicidad no ortogonal Repeticiones en las direcciones T 1 y T 2 y T1 T2 x 10
11 Periodicidad Vectores periodo Ortogonal T i = ( T i T No ortogonal T i = (T i1 T i2 T i3 T i4 T i5 T i6 T i7 T Matriz de periodicidad P= [T 1, T 2, T 3, T 4, T 5, T 6,..., T M ] Periodo T = Det{P} Periodicidad Ejemplos Caso ortogonal T 1 = (T x, 0 T T 2 = (0, T y T P T x 0 0 T y Caso no ortogonal T 1 = (T 11, T 21 T T 2 = (T 12, T 22 T P T 11 T 12 T 21 T 22 Periodo T = Det (P = T 1 x T 2 T = T 1 T 2 sen = T 11 T 22 -T 21 T 12 11
12 Secuencias Función con dos variables independientes discreta f[n1, n2] n1 n Operaciones con imágenes Operadores puntuales Operadores locales Operadores por bloques Operadores globales 12
13 1.2.8.T.F. de señales discretas Directa F(w 1,w 2 n 1 n 1 Inversa en pulsaciones f(n 1,n 2 e j (w 1 n 1 w 2 n 2 f(n 1,n 2 1 4π 2 π π π π F(w 1,w 2 e j (w 1 n 1 w 2 n 2 dw 1 dw T.F. de señales discretas Linealidad TF(an 1 +bn 2 = a TF(n 1 + b TF(n 2 Simetrías f(-n tiene por transformada F(-w f*(n tiene por transformada F*(-w f*(-n tiene por transformada F*(w 13
14 1.2.9.T.F. de señales discretas Separabilidad f(n 1,n 2 = f 1 (n 1 f 2 (n 2 => F(w 1,w 2 =F 1 (w 2 F 2 (w 2 Producto h(n 1, n 2 = f(n 1, n 2 g(n 1, n 2 H(w 1,w 2 F(u 1,u 2 G(w 1 u 1, w 2 u 2 du 1 du T.F. de señales discretas Desplazamiento f(n -n 0 tiene por transformada F(w e j (wt n 0 Modulación j (wt f(n e 0 n tiene por transformada F(w -w 0 14
15 1.2.9.T.F. de señales discretas Rotación n 1 = n cos w 1 = w cos n 2 = n sen w 2 = w sen TF[ g(n, + 0 ] = G(w, + 0 Escalado TF[f(an 1, bn 2 ] 1 ab F( w 1 a, w 2 b T.F. de señales discretas Derivación TF[ δ2 f(n 1,n 2 ] w 1 w 2 F(w 1,w 2 δn 1 δn 2 Convolución TF[f(n * g(n] = F(w G(w z(nf(ng(n u f(u g(nu 15
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