Sistemas Lineales e Invariantes a la Traslación

Transcripción

1 1. Sistemas Lineales e Invariantes a la Traslación 1.1 Motivación de las imágenes digitales Qué es una imagen digital? Es un arreglo de píxeles? 1.2 Las funciones sinusoidales Onda plana (viajera) que avanza en el espacio Está representada por la función: Vecino más cercano Funciones base Función 1D Modelo mayor continuidad,=sin, =/ Frecuencia: es la cantidad de ciclos que se repite una función sinusoidal en un intervalo determinado Frecuencia Angular: =2 [ ] Temporal: = ó Espacial: = Detalle de una imagen digital Modelo basado en píxeles (constante por área cuadrada) Representación de una señal en base a sinusoides: l = l l + l, Amplitud Fase l =l El hecho que se trabaja con imágenes digitales tiene que ser considerado al momento de implementar el procesamiento de esas imágenes.

2 1.3 Series de Fourier y Transformación Discreta de Fourier Series de Fourier Composición de una señal (series de Fourier): = l = l sin l + l, l =l l Z l Z Ejemplo: Una función continua puede descomponerse en diferentes funciones sinusoidales 1.4 Sistemas Lineales e Invariantes a la Traslación (LIT) Sistemas lineales = Linealidad Si entonces κ es una operación lineal En general, si Para la linealidad Estas funciones sinusoidales se indexan por la frecuencia kω, especificando la amplitud = + y la fase =arctan Una serie de Fourier se define en base a una suma de armónicos (múltiplos de una frecuencia base) de funciones periódicas (sinusoidales o exponenciales con exponente imaginaria). = + = Z Z función real :R R, R función compleja :R C C El espacio de es el de las funciones periódicas, cuyo período es = Notar que ésta forma de representación aparte de ser periódica, es también lineal. De hecho La versión discreta La versión matricial cumple con la condición de linealidad

3 1.4.2 Sistemas invariantes a la traslación = Al reemplazar la linealidad en la invariancia a la traslación en la parte derecha: 1.5 Convolución se define como la operación convolución como =h = h Identidad en la convolución Mientras que en la izquierda Para cumplir con la invariancia a la traslación y despreciando las condiciones de borde Se cumple si = Delta de Dirac Por esta razón, =1 Normalización En efecto Por lo tanto para un sistema Lineal e Invariante a la Traslación (LIT): Identidad en versión vectorial = La versión discreta La versión matricial Respuesta al impulso (función de transferencia) Matrices con m diagonales h(x) viene a ser el Point Spread Function (psf)

4 1.5.3 Conmutatividad La convolución tiene la propiedad de conmutatividad 1.6 Transformación de Fourier Procesamiento de sistemas LIT Dem: h = h Se tiene un sistema H siendo la convolución =h = h usando =, = Asociatividad (bloques) entrada valor C h =h h =h h con la transformación de Fourier.. = es una función propia = h Valor propio Notar que el orden de los sistemas se puede intercambiar, debido a la conmutatividad donde son los valores propios correspondientes La transformación inversa de Fourier es h= 1 2

5 1.6.2 Propiedades traslación de la Transformación de Fourier Escalamiento Desplazamiento Ejemplo del efecto de traslación: Señal Original Desplazamiento en frecuencia Amplitud original y desplazada Ejemplo: una función gaussiana Fase img. original Fase img. desplazada Señal Desplazada Amplitud en el espacio de Fourier 2D

6 1.6.3 Ejemplos de Transformaciones de Fourier a) Delta de Dirac b) Respuesta al escalón Por la transformada de una integral de una función (Heaviside) = < 1 1 > +1 g) Tren de pulsos Si se tiene un tren de 2N+1 pulsos = + 2N+1 pulsos espaciados en T c) Función Rectangular = d) Función sinc: por simetría (Dualidad) Caso límite N Tren de pulsos infinito con espaciamiento T por lo tanto e) Función constante (Por dualidad y transf. Delta Dirac) = = Z Tren de pulsos =2 f) Función exponencial como entonces Para el caso del coseno Y del seno

7 1.7 Series de Fourier y Transformación Discreta de Fourier Series de Fourier Al definir una serie de Forier como =, Z siendo una función compleja :R C C. El espacio de es el de las funciones periódicas, cuyo período es =. Ocurre que si tenemos el par de Fourier F Entonces la relación será = y = + Por esta razón, al utilizar versiones discretas en el espacio de Fourier, en el espacio de la función original, ésta es periódica. Volviendo al problema del tren de pulsos, si tenemos una función continua que es aperiódica F,la versión periodizada se puede obtener como De las series de Fourier a la Transformada Discreta de Fourier Si consideramos = Z y siendo N un entero arbitrario. Definimos =, para discretizar x = Z Donde se periodiza en frecuencia ωy se tiene la discretización del círculo unitario (en el espacio C) es la enésima raíz de 1, y puede ser escrita como k= n+ rn con Zy n [, N-1], por lo que Por lo tanto = Z, = = Coeficientes con aliasing Discretización en la frecuencia =, m =,, N-1 Teorema fundamental con =+ Z y = + Z Pues hay que aplicar la propiedad de Fourier de F F F y utilizando =, = La transformación discreta de Fourier es = DFT y la transformación = 1 inversa

8 1.7.3 Ejemplo pulso cuadrado Ejemplos de la serie de Fourier Características de amplitud de algunas imágenes 2D Función no periódica Series Fourier Función periódica (serie de Fourier) Muestreo (discretización frecuencia) Muestreo (discretización tiempo) 2log1 Y ω x π/2 π (a) Barbara π/2 Por lo tanto, al obtener la transformada de Fourier de un segmento de la imagen, hay que considerar que esta imagen es periódica Señal original 2log1 Y π -1 ω y ω π/2 x π (b) Baboon Periodicidad de la función representada por series de Fourier π π/2 ωy Transformación de Fourier 2D Función discreta periódica (serie discreta de Fourier)