Filtrado de imágenes (parte 2)

Transcripción

1 de imágenes (parte 2) Visión Artificial Andrea Rueda Pontificia Universidad Javeriana Departamento de Ingeniería de Sistemas

2 Modificar el valor de cada pixel de la imagen en función de las intensidades de sus pixeles vecinos. Una máscara, filtro, ventana, plantilla o kernel indica la operación a aplicar sobre el vecindario. El filtro se desplaza/ubica sobre cada pixel de la imagen para generar el resultado.

3 Promedio 5x5 Mediana 5x5 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 Pasa-altos 5x Relieve 5x

4 Promedio 5x5 Mediana 5x5 Pasa-altos 5x5 Relieve 5x5

5 Definición matemática del kernel: H(i,j): matriz de (2I+1) x (2J+1) coeficientes. Punto (i,j) = (0,0): centro del kernel. Ejemplo: I = J = 1 i j -1,-1-1,0 0,-1 0,0 1,-1 1,0-1,1 0,1 1,1

6 Kernel pasa-bajos o promedio: 1 H (i, j)= (2 I +1)(2 J +1) Ejemplo: I = J = 2 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25 1/25

7 Filtro Gaussiano: promedio ponderado de los vecinos (cada vecino tiene un peso diferente). H (i, j)= 2 ( 2 (i I 1) +( j J 1) 1 exp 2 2πσ 2σ 2 1/16 1/8 1/16 1/8 1/4 1/8 1/16 1/8 1/16 ) / /8 671/ /8 85 1/4 94 1/ / /8 671/ I(u,v) = 43/ /8 + 78/ /8 + 85/4 + 69/8 + 67/ /8 + 67/16 = 83

8 Filtro Gaussiano (σ=0.85): 3x3 5x5 7x7

9 Filtro Gaussiano (σ=0.5): 3x3 5x5 7x7

10 Filtro Gaussiano (σ=0.85): 3x3 5x5 7x7

11 Filtro Gaussiano (σ=0.85): 3x3 5x5 7x7

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13 Convolución de una imagen M con un kernel H, está dada por: M ' (u, v ) =H (i, j) M (u, v) I J = i= I j= J H (i, j) M (u i, v j) Formalización matemática del proceso de filtrado.

14 Propiedades de la convolución: Conmutatividad: M H =H M Dejar la imagen fija y desplazar el kernel es lo mismo que dejar el kernel fijo y desplazar la imagen.

15 Propiedades de la convolución: Asociatividad: (M H 1 ) H 2 =M (H 1 H 2 ) Aplicar el kernel H1 sobre la imagen y luego el kernel H2 es lo mismo que convolucionar los filtros y aplicar el resultado sobre la imagen.

16 Propiedades de la convolución: Linealidad: (a M ) H =a ( M H) (M 1+ M 2 ) H =(M 1 H)+( M 2 H ) Es lo mismo multiplicar una imagen por una constante antes o después de la convolución. Es lo mismo sumar dos imágenes antes o después de la convolución.

17 Propiedades de la convolución: Invarianza al desplazamiento: S (M H )=S (M ) H S ( M (u, v ))=M (u+a, v+b) Es lo mismo aplicar el kernel sobre la imagen y luego trasladarla que trasladar la imagen y luego convolucionarla con el kernel.

18 Complejidad computacional de la convolución. M ' (u, v ) =H (i, j) M (u, v) I J = i= I j= J H (i, j) M (u i, v j) M(u,v): matriz de F x C pixeles. H(i,j): matriz de (2I+1) x (2J+1) coeficientes. O(F C (2I+1) (2J+1)) = O(F C (2I+1)2) Asumiendo imagen de tamaño fijo: O(I2)

19 Ejemplo: trasladar la imagen 10 pixeles a la izquierda. Qué es mejor? - Aplicar un filtro de desplazamiento de 21x21 (todos ceros y un 1 en el borde derecho). Complejidad: 212 FC = 441 FC - Aplicar 10 veces un filtro de desplazamiento de 3x3. Complejidad: (32 FC) 10 = 90 FC

20 Separabilidad: un kernel o filtro es separable si puede generarse a partir de la convolución de varios filtros. H=H 1 H 2... H n Ejemplo: El kernel que traslada la imagen 10 pixeles a la izquierda corresponde a 10 copias convolucionadas del kernel de desplazamiento unitario.

21 Separabilidad: muchas veces puede separarse un kernel en dos componentes: vertical y horizontal. H x =[ 1/3 1/3 1/3 ] [ [ ] ] 1/3 H y = 1/3 1/3 1/ 9 1/9 1/9 H=H x H y = 1/ 9 1/9 1/9 1/ 9 1/9 1/9

22 Separabilidad: muchas veces puede separarse un kernel en dos componentes: vertical y horizontal. H x =[ 1/4 1/2 1 / 4 ] [ [ ] ] 1/4 H y = 1/2 1/4 1/16 1/8 1/16 H=H x H y = 1/8 1/4 1/8 1/16 1/8 1/16

23 Complejidad de H? 9 FC Complejidad de Hx seguido de Hy? 3 FC + 3 FC = 6 FC Para un kernel general de tamaño K x K: No separable: O(K2) (K2 FC operaciones). Separable: O(K) (2K FC operaciones).

24 Transformadas de imagen: Permiten convertir una imagen de un dominio a otro: - Dominio espacial - Dominio de la frecuencia -... Facilitan la identificación de características que no se detectan fácil en un domino particular.

25 Dominio espacial: El valor de cada pixel cambia con respecto a la escena (posición). Dominio de la frecuencia: La tasa (frecuencia) a la cual cambia el valor del pixel en el espacio. Altas frecuencias: corresponden a bordes en la imagen. Bajas frecuencias: corresponden a regiones suaves.

26 Dominio de la frecuencia: Cualquier señal (imagen) puede expresarse como una suma de series de sinusoides. Un patrón sinusoide puede caracterizarse con un único término que incluye: frecuencia espacial, magnitud y fase.

27 Frecuencia espacial: Frecuencia a lo largo del espacio en que varía la intensidad. Menor frecuencia Mayor frecuencia Magnitud: contraste, diferencia entre el pico más oscuro y el más brillante. Fase: traslación de la onda sinusoide con respecto al origen.

28 Transformada de Fourier:

29 Transformada de Fourier: F 1 C 1 1 TF (u, v)= M (f, c)e f =0 c=0 FC 2 π j ( uf vc + F C ) La transformación genera números complejos (parte real, parte imaginaria). Para visualizarlo, se calcula la magnitud y la fase de los números complejos, lo que se conoce como el espectro.

30 Transformada inversa de Fourier: F 1 M ' ( f, c)= u =0 C 1 2π j v =0 TF (u, v )e ( uf vc + F C ) Toma el espectro en frecuencia de la imagen y lo convierte nuevamente al dominio espacial.

31 Transformada de Fourier: Imagen Transformada de Fourier

32 Transformada de Fourier: Imagen Transformada de Fourier

33 Transformada de Fourier: Imagen Transformada de Fourier

34 Transformada de Fourier: Imagen Transformada de Fourier

35 Transformada de Fourier:

36 Transformada de Fourier:

37 Transformada de Fourier:

38 Transformada de Fourier: Imagen Transformada de Fourier

39 Filtro pasa-bajos en el dominio de la frecuencia: eliminar altas frecuencias en el espectro. Transformada de Fourier Transformada inversa

40 Filtro pasa-altos en el dominio de la frecuencia: eliminar bajas frecuencias en el espectro. Transformada de Fourier Transformada inversa

41 Teorema de la convolución: La transformada de Fourier de una convolución es el producto de las transformadas de Fourier individuales. TF {M 1 M 2 }=TF {M 1} TF {M 2 } Si M'(i,j) = H(i,j) * M(i,j) entonces TF(M')(u,v) = TF(H)(u,v) TF(M)(u,v)

42 Referencias David Forsyth, Jean Ponce. Computer Vision: A Modern Approach. Pearson, Milan Sonka, Vaclav Hlavac, Roger Boyle. Image Processing, Analysis, and Machine Vision. Thompson Learning, R.C. González, R.E. Woods. Digital Image Processing, 3rd edition. Pearson Prentice Hall, I. Bankman. Handbook of Medical Image Processing and Analysis, second edition. Academic Press,