Análisis de imágenes digitales

Transcripción

1 Análisis de imágenes digitales FILTRADO DE LA IMAGEN Filtros en frecencia

2 INTRODUCCIÓN x (0, 0) El filtrado en el dominio de la frecencia se basa en la transformada de Forier (TF), la cal asocia cambios de intensidad en la imagen con frecencias. La coordenada origen del espectro de Forier (==0) corresponde a la smatoria de todos los nieles de intensidad de la imagen. Conforme se incrementa y, las bajas frecencias corresponden a ariaciones lentas de intensidad, mientras qe las altas frecencias están relacionadas con cambios rápidos de intensidad. Altas Altas Bajas y F(,) f (x,y) Bajas Bajas Altas f (x,y) 2 Bajas Altas

3 INTRODUCCIÓN Algoritmo para el filtrado de imágenes digitales en el dominio de la frecencia: 1. Mltiplicar la imagen de entrada f(x,y) por ( 1) x+y para desplazar el origen del espectro al centro del plano coordenado. 2. Calclar la DFT, F(,), de la imagen resltante en el paso Mltiplicar F(,) por na fnción filtro H(,): G(,)= F(,) H(,). 4. Calclar la inersa DFT de G(,) resltante en el paso Obtener la magnitd del resltado en el paso 4. ( 1) x+y Generar na fnción filtro H(,) f (x,y) Transformada de Forier F(,) Transformada inersa de Forier ˆf (x,y) 3

4 INTRODUCCIÓN Espectros filtrados Filtro paso bajas F 1 Filtro paso banda F 1 F Filtro paso altas Espectro de frecencias F 1 4

5 FILTROS SUAVIZANTES El saizado (o borrado) de na imagen se obtiene al atenar frecencias altas del espectro de Forier, donde los bordes de los objetos y otras transiciones de intensidad abrptas, inclyendo el rido, son los qe contribyen al contenido de alta frecencia. Un filtro paso bajas se pede isalizar como n filtro qe idealmente elimina todas las componentes frecenciales altas qe se encentran despés de na distancia D0 determinada a partir del origen del espectro de Forier. Debido a qe el espectro de Forier de na imagen M N es también del mismo tamaño y s origen se localiza en el centro del plano coordenado como (0,0) = (M/2, N/2), entonces la distancia del centro a calqier pnto del espectro está dada por: D(,) = ( M 2 ) 2 + ( N 2 )

6 FILTROS SUAVIZANTES FILTRO IDEAL Un filtro qe corta abrptamente las frecencias altas a partir de na distancia fija le conoce como filtro ideal paso bajas, cya fnción de transferencia es: H (,) = 1 si D(,) D 0 0 en otro caso donde D0 es na escalar positia denominada frecencia de corte y D(,) es la distancia desde el origen del espectro al pnto (,). D0 H (,) H (,) 1 D 0 D(,) 6

7 FILTROS SUAVIZANTES FILTRO IDEAL D0 = 5 D0 = 15 D0=5 D0=15 D0=30 D0=100 D0 = 30 D0 = 100 7

8 FILTROS SUAVIZANTES FILTRO IDEAL Una desentaja del filtro ideal es el efecto de rizado qe prodce en la imagen filtrada, por lo cal no se tiliza en la práctica. Este fenómeno se debe a qe la transformada de Forier de na fnción implso en el dominio espacial genera na fnción Sinc en el dominio de la frecencia. Para eitar el fenómeno de rizado se debe saizar la transición de filtrado entre las frecencias deseadas y aqellas qe son atenadas. Fnción escalón Fnción Sinc H (,) h(x,y) 8

9 FILTROS SUAVIZANTES FILTRO BUTTERWORTH La fnción de transferencia del filtro paso bajas Btterworth de orden n y frecencia de corte a na distancia D0 desde el origen está definida como: H (,) = 1 [ ] 2n 1+ D(,) D 0 La frecencia de corte se encentra en el pnto D(,)=D0, donde la amplitd de la señal decae 50% de s máximo alor. Al amentar el orden del filtro s respesta tiende al de n filtro ideal. H (,) H (,) n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 9 D 0 D(,)

10 FILTROS SUAVIZANTES FILTRO BUTTERWORTH D0=5 D0=15 Para todos los casos n=2 D0=30 D0=80 10

11 FILTROS SUAVIZANTES FILTRO GAUSSIANO La fnción de transferencia del filtro paso bajas Gassiano con frecencia de corte a na distancia D0 desde el origen está definida como: H (,) = exp D 2 2 (,) 2D 0 La frecencia de corte se encentra en D(,)=D0, donde la amplitd de la señal decae de s máximo alor. H (,) H (,) D 0 = 10 D 0 = 15 D 0 = 40 D 0 = 100 D(,) 11

12 FILTROS SUAVIZANTES FILTRO GAUSSIANO D0=5 D0=15 D0=30 D0=80 12

13 FILTROS SUAVIZANTES COMPARATIVO Imagen ridosa Ideal Btterworth Gassiano Para todos los casos D0=30 13

14 FILTROS PASO ALTAS La detección de bordes consiste en ejectar la operación inersa del filtro paso bajas (Hlp), es decir, el filtro paso altas (Hhp) en el dominio de la frecencia está definido como: H hp (,) = 1 H lp (,) H (,) H (,) H (,) 14

15 FILTROS PASO ALTAS FILTRO IDEAL El filtro paso altas ideal está definido como: H (,) = 1 si D(,) > D 0 0 en otro caso H (,) D0=5 D0=25 D0=80 15

16 FILTROS PASO ALTAS FILTRO BUTTERWORTH El filtro paso altas Btterworth está definido como: H (,) = 1 [ ] 2n 1+ D 0 D(,) H (,) D0=5 D0=25 D0=80 16

17 FILTROS PASO ALTAS FILTRO GAUSSIANO El filtro paso altas Gassiano está definido como: H (,) = 1 exp D 2 2 (,) 2D 0 H (,) D0=5 D0=25 D0=80 17

18 FILTROS PASO ALTAS COMPARATIVO Imagen original Ideal Btterworth Gassiano Para todos los casos D0=80 18

19 FILTROS PASO ALTAS LAPLACIANO La TF de la deriada de orden n de na fnción nidimensional es: F d n f (x) dx n = ( j)n F() De esta expresión se pede dedcir qe: F 2 f (x,y) x f (x,y) y 2 = ( j)2 F(,) + ( j) 2 F(,) = ( )F(,) Por tanto, el Laplaciano en el dominio de la frecencia se define como: F 2 f (x,y) = ( )F(,) = H(,)F(,) Si el origen del espectro está en el centro del plano coordenado, entonces el Laplaciano de la imagen se calcla como: 2 f (x,y) = F 1 { [( M 2) 2 + ( N 2) 2 ]F(,)} 19

20 FILTROS PASO ALTAS LAPLACIANO H (,) Imagen original Laplaciano 20

21 FILTROS SELECTIVOS Los filtros selectios se enfocan en mantener o atenar la contribción energética de na banda específica del espectro de frecencias y se diiden en dos categorías: 1.Filtros paso banda o rechazo banda: procesan na banda específica del espectro de frecencias alrededor del origen. 2.Filtros de mesca (notch): procesan n ecindario estrecho del espectro de frecencias. 21

22 FILTROS SELECTIVOS FILTROS PASO BANDA Los filtros paso banda se constryen a partir de los conceptos de los filtros saizantes y realzantes: Ideal Ideal: Btterworth: H (,) = H (,) = 1 si D 0 W 2 D D 0 + W 2 0 en otro caso 1 1+ D2 2 D 0 W D 2n H (,) H (,) W Btterworth D0 Gassiano: H (,) = exp D2 2 D 0 W D 2 Gassiano donde D=D(,) es la distancia al centro del espectro, D0 es el centro radial de la banda y W es el ancho de banda del filtro. 22 H (,)

23 FILTROS SELECTIVOS FILTROS PASO BANDA Un filtro rechaza banda (Hbs) se obtiene mediante el complemento de n filtro paso banda (Hbp): H bs (,) = 1 H bp (,) Ideal Btterworth Gassiano H (,) H (,) H (,) 23

24 FILTROS SELECTIVOS FILTROS PASO BANDA Ejemplos de filtrado paso banda con D0 = 40 y W = 30: Imagen original Ideal Btterworth Gassiano Ejemplos de filtrado rechaza banda con D0 = 60 y W = 50: Imagen original Ideal Btterworth 24 Gassiano

25 FILTROS SELECTIVOS FILTROS DE MUESCA Los filtros notch rechazan frecencias en n ecindario predefinido, los cales son simétricos respecto al origen del espectro (0,0), tal qe n filtro notch con centro en (k,k) debe tener s correspondiente contraparte con centro ( k, k). Este tipo de filtros son útiles para redcir el rido periódico. Los filtros notch se constryen como prodctos de filtros paso altas cyos centros se han desplazado del origen como: H (,) = Q k=1 H k (,)H k (,) donde Hk(,) y H k(,) son filtros paso altas cyos centros se encentran en (k,k) y ( k, k), respectiamente. 25

26 FILTROS SELECTIVOS FILTROS DE MUESCA Los centros de los filtros pasa altas están especificados en relación al origen del espectro desplazado al centro del plano coordenado (M 2, N 2). Entonces, el cálclo de las distancias para n filtro pasa altas y s contraparte son: D k (,) = ( M 2 k ) 2 + ( N 2 k ) y D k (,) = ( M 2 + k ) 2 + ( N 2 + k ) Por ejemplo, n filtro Btterworth notch de orden n qe contiene tres filtros se define como: H (,) = 3 k= D 0k D k (,) [ ] 2n 1 1+ D 0k D k (,) [ ] 2n 26

27 FILTROS SELECTIVOS FILTROS DE MUESCA Imagen con rido periodico Imagen filtrada F F 1 Filtro notch = 27

28 FILTROS SELECTIVOS FILTROS DE GABOR En el dominio de la frecencia, la fnción de Gabor está definida como la sma de dos fnciones Gassianas desplazadas a partir del origen, con frecencia radial ( k y k ) y orientación (θ, en el rango [0, π]) específicas, y se expresa como: H (,) = exp 1 2 (û k ) 2 σ 2 + ˆ 2 σ 2 + exp 1 2 (û + k ) 2 σ 2 + ˆ 2 k σ 2 donde û = cos(θ) + sin(θ), ˆ = cos(θ) sin(θ) k σ = 1 2πσ x y σ = 1 2πσ y H (,) 28

29 FILTROS SELECTIVOS FILTROS DE GABOR Generalmente, los filtros de Gabor se tilizan para la extracción de textras en la imagen mediante n banco de filtros, donde el número de filtros está definido por la cantidad de frecencias radiales a donde se desplaza cada Gassiana más el número de orientaciones. Las frecencias radiales ( k ) se determinan atomáticamente de acerdo al ancho de la imagen (Nc) qe será filtrada como: 1 2, 2 2, 4 2,, log 2 ( N c 4) 2 ciclos / ancho - imagen La escala (σ) de la fnción Gassiana se relaciona con s respectia frecencia radial y se determina de manera similar qe en los filtros de Gabor espaciales a traés de n parámetro de ancho de banda (b) como: σ x = σ y = 1 2 k ln2 2 2 b +1 2 b 1 29

30 FILTROS SELECTIVOS FILTROS DE GABOR Imagen original Imagen sin brillo Cando se realiza la extracción de textras, es deseable qe la componente de DC (corriente contina) del espectro de Forier de la imagen sea cero, para eliminar el brillo de la imagen y dejar solo la información de textra. Por tanto, antes de filtrar el espectro, se coloca en cero la componente DC. DC DC=0 30

31 FILTROS SELECTIVOS FILTROS DE GABOR Imagen de textras k 0 θ Banco de filtros de Gabor (b=1) π 4 π 2 π π 4 π 2 3π 4