Propiedades de la Transformada de Fourier

Transcripción

1 Propiedades de la (D)FT-2D Propiedades de la Transformada de Fourier Lección 06.2 Dr. Pablo Alvarado Moya CE5201 Procesamiento y Análisis de Imágenes Digitales Área de Ingeniería en Computadores Tecnológico de Costa Rica I Semestre, 2017 P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 1 / 26

2 Propiedades de la (D)FT-2D Contenido 1 Propiedades de la (D)FT-2D P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 2 / 26

3 Linealidad Propiedades de la (D)FT-2D La TF y DFT son operadores lineales: i 1 (x) I 1 (ω) i 2 (x) I 2 (ω) F {a 1 i 1 (x) + a 2 i 2 (x)} a 1 I 1 (ω) + a 2 I 2 (ω) P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 3 / 26

4 Simetrías en DFT Caso unidimensional Propiedades de la (D)FT-2D Análisis de DFT en 1D usa simetría circular: Simetría Simetría impar Simetría par 5 4 P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 4 / 26

5 Simetrías en DFT Caso bidimensional Propiedades de la (D)FT-2D Análisis de DFT en 2D usa simetría toroidal: P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 5 / 26

6 Simetrías En múltiples dimensiones Propiedades de la (D)FT-2D Par i( x)= i(x) Impar i( x)= i(x) Hermítica i( x)= i (x) Anti-hermítica i( x)= i (x) P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 6 / 26

7 Simetrías Correspondencias Propiedades de la (D)FT-2D Señal espacial Espectro real hermítico imaginaria anti-hermítico hermítica real anti-hermítica imaginario par par impar impar real y par real y par real e impar imaginario e impar imaginaria y par imaginario y par imaginaria e impar real e impar P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 7 / 26

8 Propiedades de la (D)FT-2D Memoria necesaria para almacenar espectro (2D) Imagen real espectro tiene simetría hermítica Si imagen tiene tamaño R C, con almacenar R ( C 2 + 1) muestras del espectro es suficiente Espectro es complejo cada muestra usa 2 componentes reales Memoria utilizada en ambos dominios es la misma (Por simetrías, la primera y última columna son reales) P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 8 / 26

9 Similitud Transformaciones lineales Propiedades de la (D)FT-2D En caso 1D solo era posible escalar eje: x = ax Con múltiples dimensiones se transforma sistema coordinado: x = Ax P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 9 / 26

10 Similitud Tres casos Propiedades de la (D)FT-2D Sean a IR A una matriz real invertible R una matriz ortonormal (i.e. R 1 = R T, det R = 1) Se cumple para la TF en n dimensiones: ( ) Escalamiento i(ax) 1 a I Ω n ( a (A Transformación afín i(ax) 1 det A I T ) ) 1 Ω Rotación i(rx) I (RΩ) Lo anterior no aplica a la DFT, pero aproxima comportamiento. P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 10 / 26

11 Desplazamiento En el tiempo Propiedades de la (D)FT-2D Si entonces i(x) I (ω) i(x x 0 ) e jxt 0 ω I (ω) Desplazamiento no altera amplitud espectral Fase cambia linealmente con el desplazamiento según x T 0 ω P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 11 / 26

12 Desplazamiento En la frecuencia Propiedades de la (D)FT-2D Si entonces i(x) I (ω) e jωt 0 x i(x) I (ω ω 0 ) Desplazamiento no altera amplitud de la señal espacial Fase cambia linealmente con el desplazamiento según ω T 0 x Base de modulación: 1 [ e jωt 0 x + e jωt x] 0 i(x) (I (ω + ω 0) + I (ω ω 0 )) ( ) cos ω T 0 x i(x) 1 2 (I (ω + ω 0) + I (ω ω 0 )) P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 12 / 26

13 Convolución Propiedades de la (D)FT-2D En el caso continuo i(x) h(x) = En el caso discreto i(ξ)h(x ξ) d n ξ I (Ω)H(Ω) i(x) h(x) = k i(k)h(x k) I (ω)h(ω) P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 13 / 26

14 Propiedades de la (D)FT-2D Precauciones con la convolución Imágenes son finitas R C Convolución con máscara de M N produce resultado de (R + M 1) (C + N 1) Aliasing espacial debe evitarse rellenando con ceros hasta el tamaño del resultado. P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 14 / 26

15 Propiedades de la (D)FT-2D Filtrado en la frecuencia Sea R C el tamaño de la imagen i(x) y M N el tamaño del kernel k(x) 1 Defina R o = R + M 1 y C o = C + N 1 2 Rellene con ceros la máscara para alcanzar tamaño R o C o. Precaución: Considere simetría toroidal para colocar kernel. 3 Calcule la DFT del kernel k(x) K(ω) Nota: K(ω) almacena para múltiples aplicaciones 4 Rellene con ceros i(x, y) para alcanzar R o C o 5 Calcule la DFT de la imagen I (ω) 6 Calcule resultado en dominio frecuencial F (ω) = K(ω)X (ω) 7 Calcule la idft de F (ω) f (x) 8 Recorte f (x) para obtener tamaño original N M P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 15 / 26

16 Propiedades de la (D)FT-2D Eficiencia de filtrado en frecuencia Convolución en el espacio: O(N 2 M 2 ) con N 2 el número de píxeles de la imagen y M 2 el número de píxeles de la máscara. Convolución en la frecuencia: O(N 2 log N) A este proceso se le denomina convolución rápida Es más eficiente para tamaños M 7 P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 16 / 26

17 Derivación Propiedades de la (D)FT-2D En tiempo continuo se cumple Observe que i(x) x i jω i I (ω) i(x) h(x) x i jω i (I (ω)h(ω)) = I (ω) (jω i H(ω)) i(x) h(x) x i P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 17 / 26

18 Propiedades de la (D)FT-2D Relación de incertidumbre Media en el espacio con respecto a la energía Media x es centro de energía Con densidad de energía i(x) 2, se calcula: x = E(x) = x i(x) 2 dx i(x) 2 dx P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 18 / 26

19 Propiedades de la (D)FT-2D Relación de incertidumbre Varianza en el espacio con respecto a la energía Varianza indica dispersión de la energía alrededor de x: ( x) 2 = E((x x) 2 ) = E(x 2 2 xx + x 2 ) = E(x 2 ) 2 xe(x) + x 2 = E(x 2 ) x 2 = x 2 i(x) 2 dx i(x) 2 dx x i(x) 2 dx i(x) 2 dx 2 P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 19 / 26

20 Propiedades de la (D)FT-2D Relación de incertidumbre Media en la frecuencia con respecto a la energía Media es centro de energía Con densidad de energía I (ω) 2, se calcula: ω = E(ω) = ω I (ω) 2 dω I (ω) 2 dω P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 20 / 26

21 Propiedades de la (D)FT-2D Relación de incertidumbre Varianza en la frecuencia con respecto a la energía Varianza indica dispersión de la energía alrededor de ω: ( ω) 2 = E((ω ω) 2 ) = E(ω 2 2 ωω + ω 2 ) = E(ω 2 ) 2 ωe(ω) + ω 2 = E(ω 2 ) ω 2 ω 2 I (ω) 2 dω = I (ω) 2 dω ω I (ω) 2 dω I (ω) 2 dω 2 P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 21 / 26

22 Propiedades de la (D)FT-2D Relación de incertidumbre Producto de varianzas espacio-frecuencia: x ω 1 4 Caso de igualdad lo cumplen las funciones de Gabor: g(x, σ, ω 0, φ) = e xt x 2σ 2 e jω 0v T φ x con v T φ En 2D v T φ G(ω, σ, ω 0, φ) = 2πσ 2 e (ω ω 0 v φ ) T (ω ω0 v φ )σ 2 2 el vector unitario en la dirección a filtrar. = [cos φ, sen φ] P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 22 / 26

23 Gabor Propiedades de la (D)FT-2D z y Espacio x z y x 4 2 Espectro P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 23 / 26

24 Propiedades de la (D)FT-2D Teorema del corte central Projection Slice Theorem R 1 I (ω x, ω y ) = C 1 y=0 x=0 R 1 I (ω x, 0) = = C 1 y=0 x=0 C 1 x=0 i(x, y)e ωx x j( C + ωy y R ) ωx x i(x, y)e j( C ) R 1 i(x, y) e y=0 R 1 = F i(x, y) y=0 j( ωx x C ) P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 24 / 26

25 Resumen Propiedades de la (D)FT-2D 1 Propiedades de la (D)FT-2D P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 25 / 26

26 Propiedades de la (D)FT-2D Este documento ha sido elaborado con software libre incluyendo LATEX, Beamer, GNUPlot, GNU/Octave, XFig, Inkscape, LTI-Lib-2, GNU-Make y Subversion en GNU/Linux Este trabajo se encuentra bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-LicenciarIgual 3.0 Unported. Para ver una copia de esta Licencia, visite o envíe una carta a Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA Pablo Alvarado-Moya Área de Ingeniería en Computadores Instituto Tecnológico de Costa Rica P. Alvarado TEC 2017 Dominio de la frecuencia 26 / 26