A502 - Teoría de Sistemas y Señales

Transcripción

1 A50 - Teoría de Sistemas y Señales Transparencias Densidad Espectral de Energía de Señales Aperiódicas Autor: Dr. Juan Carlos Gómez Señales de Potencia Verifican TD: TC: Algunas Definiciones < P lim (n) + 0 () T T n 0 < P lim (t) T T dt < < () A50 - TeSyS

2 Algunas Definiciones (cont.) Señales de Energía Verifican TD: < E (n) n 0 (3) < TC: () < T 0 < E lim t dt (4) T T A50 - TeSyS 3 Algunas Definiciones (cont.) Señales Periódicas Una señal en ( n) es periódica con período (>0) si y sólo si verifica ( n) ( n ) para todo n + (5) Señales Aperiódicas Si no se verifica (5) para ningún, la señal se denomina aperiódica. A50 - TeSyS 4

3 Análisis Frecuencial de Señales en TC Señales Periódicas Bajo ciertas hipótesis, una señal periódica (t) con período T p F 0 puede representarse con la denominada Serie de Fourier donde Fourier (t) c k ck k e jkf t 0 Ecuación de Síntesis son los denominados Coeficientes de (6) A50 - TeSyS 5 c k jkf t () t e 0 dt Ecuación de T Análisis p Tp La convergencia de la Serie de Fourier a (t) para todo valor de t, queda garantizada si se verifican las Condiciones de Dirichlet:(condiciones suficientes) (t) tiene un número finito de discontinuidades en cualquier período. (t) contiene un número finito de máimos y mínimos en cualquier período. (t) es absolutamente integrable en cualquier período t dt < T p () A50 - TeSyS 6 (7) (8)

4 Puede probarse la siguiente identidad (una de las formas de la Identidad de Parseval) que permite calcular la potencia media en función de los Coeficientes de Fourier (es decir en el dominio frecuencial) P T p Tp () t dt c k k (9) Por razones obvias a los c k se los denomina Densidad Espectral de Potencia de la señal (t). En este caso resulta un espectro discreto o de líneas. A50 - TeSyS 7 Señales aperiódicas A partir de una señal aperiódica (de duración finita) puede generarse una señal periódica p () t, tal que en el límite cuando () t () t p T p () t () t p () t T p T p T p T p A50 - TeSyS 8

5 Como es periódica puede representarse mediante su Serie de Fourier. En el límite cuando T p p () t la serie da lugar a una integral que es la denominada Transformada Inversa de Fourier (t) jft (F) e df Ecuación de Síntesis (0) donde (F) es la denominada Transformada de Fourier, definida como jft (F) (t) e dt Ecuación de Análisis () A50 - TeSyS 9 Las condiciones (suficientes) que garantizan la eistencia de la Transformada de Fourier son las denominadas Condiciones de Dirichlet (t) tiene un número finito de discontinuidades. (t) tiene un número finito de máimos y mínimos. (t) es absolutamente integrable, es decir () t dt < () A50 - TeSyS 0

6 Densidad Espectral de Energía Sea (t) una señal de energía con transformada de Fourier (F). La energía de la señal viene dada por E () t dt () t () t () t dt ( F) (F) ( F) df ( t) A50 - TeSyS df dt e jft e jft df dt Es decir se estableció lo siguiente () t dt ( F) E df que constituye otra de las formas de la Identidad de Parseval, y que permite calcular la energía de la señal en el dominio frecuencial, usando la transformada de Fourier. Debido a que su integral sobre todas las frecuencias es la energía de la señal, a la cantidad (3) S (F) ( F) (4) se la denomina Densidad Espectral de Energía. A50 - TeSyS

7 La energía de la señal sobre una banda de frecuencias puede calcularse como F F F < F < S F (F) df Propiedades S ( F) es real y no negativo, y S ( F) S (F) S ( F) no contiene information de la fase por lo que la señal no puede reconstruirse a partir de la densidad espectral de energía. A50 - TeSyS 3 (5) Ejemplo: (t) es un pulso rectangular de amplitud A y duración τ. sen( Fτ) Fτ () F Aτ, S ( F) ( Aτ) sen( Fτ) Fτ A50 - TeSyS 4

8 ota: El espectro es la envolvente del espectro de líneas correspondiente a la repetición periódica del pulso rectangular. A50 - TeSyS 5 Análisis Frecuencial de Señales en TD Señales periódicas Pueden epandirse en Serie de Fourier en Tiempo Discreto (DTFS) como (n) donde k 0 c k e jkn Ecuación de Síntesis (6) c k k 0 (n) e jkn Ecuación de Análisis (7) A50 - TeSyS 6

9 A diferencia de en TC, la DTFS tiene un número finito de términos (componentes frecuenciales) debido a la naturaleza discreta de la señal. Los Coeficientes de Fourier con período. resultan periódicos La potencia media (o la energía en un período) de la señal puede computarse en el dominio frecuencial a traves de la relación n 0 k 0 c k P (n) c Identidad de Parseval (8) k A50 - TeSyS 7 Por razones obvias a los se los denomina Densidad Espectral de Potencia de la señal (n). En este caso resulta un espectro discreto o de líneas. Señales aperiódicas Similarmente a lo realizado en TC, puede etenderse el concepto de descomposición en serie de Fourier al caso de señales aperiódicas, resultando la definición de la Transformada de Fourier en Tiempo Discreto Inversa (IDTFT) jωn ( n) ( ω) e dω A50 - TeSyS 8 c k Ecuación de síntesis (9)

10 ( ) donde ω es la Transformada de Fourier en Tiempo Discreto (DTFT) (no confundir con la Transformada Discreta de Fourier (DFT)), definida como jωn ( ω) ( n) e n Convergencia La suma finita Ecuación de Análisis (0) ( ω) n (n) e jωn () A50 - TeSyS 9 ( ) converge uniformemente a ω cuando si (n) es absolutamente sumable n ( n) < Condición de Dirichlet () Por convergencia uniforme se entiende lim ( ω) ( ω) 0 (3) ota: Comentar Convergencia en media cuadrática. A50 - TeSyS 0

11 Ejemplo: Señal de energía finita cuyo espectro es ( ω) 0 ω < ω ω c < c ω < ( n) sen n ( ω n) (n) no es absolutamente sumable, pero si cuadrado sumable convergencia en media cuadrática c A50 - TeSyS ( ) Definiendo la suma finita ω, la convergencia en media cuadrática provoca el denominado Fenómeno de Gibbs. La suma finita no converge en los puntos de discontinuidad de la transformada. A50 - TeSyS

12 Densidad Espectral de Energía Sea (n) una señal de energía con una DTFT (ω). La energía de la señal viene dada por E n ( n) ( n) ( n) n n ( n) ( ω) ( ω) ( n) ( ω) n dω e e jωn jωn dω dω A50 - TeSyS 3 Es decir se estableció lo siguiente: E ( n) ( ω) dω n (4) que constituye otra de las formas de la Igualdad de Parseval. Debido a que su integral sobre todo el rango de frecuencias es la energía de la señal, a la cantidad S ( ω) ( ω) (5) se la denomina Densidad Espectral de Energía. A50 - TeSyS 4

13 Propiedades: S ( ω) es real y no negativo, y S ( ω) S ( ω) S ( ω) no contiene information de la fase por lo que la señal no puede reconstruirse a partir de la densidad espectral de energía. Teorema de Wiener-Khintchine La secuencia de autocorrelación y la densidad espectral de energía de una señal de energía a valores reales son Pares Transformados de Fourier. A50 - TeSyS 5 DTFT () S ( ω) r! (6) La secuencia de autocorrelación y la densidad espectral de energía contienen la misma información de la señal. A50 - TeSyS 6

14 Respuesta de un Sistema LTI a entradas aperiódicas u(n) LTI h(n) y(n) Y( ω) H ( ω) U( ω) S ( ω) H( ω) S ( ω) yy uu (7) E y Syy ( ω) dω H( ω) S ( ω) dω uu (8) A50 - TeSyS 7