REPRESENTACIÓN DE SEÑALES PASABANDA. Prof. Germán González Depto de Electrónica USB Junio 2002

Transcripción

1 REPRESENTACIÓN DE SEÑALES PASABANDA Prof. Germán González Depto de Electrónica USB Junio 2002 Los organismos encargados de regular el uso del espectro radioeléctrico dividen a éste en porciones a ser utilizadas en las diferentes aplicaciones, por ejemplo: radiodifusión AM, radiodifusión FM, TV-VHF, TV-UHF, telefonía celular, comunicación satelital, etc. Los operadores de cada una de esas aplicaciones son autorizados a utilizar, bajo ciertas regulaciones, una o más bandas dentro de ese segmento. Esto significa que cada operador transmite la información de sus usuarios o clientes mediante señales del tipo pasabanda. La información a ser transmitida es fijada de alguna forma en una portadora o señal sinusoidal de frecuencia f c, es decir, la señal pasabanda tiene una frecuencia de portadora f c asociada a ella, y por supuesto también tiene asociada a ella un cierto ancho de banda, tal como se indica en la Figura # 1. Figura # 1: Espectro Xbp(f) de una señal pasabanda arbitraria asociada a una portadora sinusoidal de frecuencia f c Hz, y con ancho de banda W + b Hz

2 Las simetrías observadas en Xbp(f) ( magnitud par y fase impar), son una consecuencia directa de la naturaleza real de dicha señal pasabanda en el tiempo, es decir: Xbp (f) F 1 ( t ) (Real) [1] Formemos ahora la señal x lp ( t ) (compleja), por definición el equivalente pasabajo de la señal pasabanda; cuyo espectro X lp (f) es la parte de la derecha del espectro de la señal pasabanda Xbp (f), trasladado hacia la izquierda f c Hz, tal como se indica en la Figura # 2, es decir: X lp (f) F 1 x lp ( t ) (Compleja) [2] Donde: Figura # 2: Espectro, X lp (f), de la señal equivalente pasabajo, x lp (t), de la señal pasabanda, ( t ), formado mediante la traslación hacia la izquierda f c Hz de la parte derecha de su espectro, Xbp (f). 2

3 Obviamente x lp (t ) es una señal compleja ya que su espectro X lp (f), no posee las simetrías de magnitud y fase propias de las señales reales. Si ahora formamos X* lp ( - f), a partir de X lp (f), tenemos el espectro indicado en la Figura # 3. Y de acuerdo a las propiedades de la Transformada de Fourier : X* lp ( - f ) F 1 x * lp ( t ) (Compleja) [3] Figura # 3: Espectro, X* lp ( - f), formado a partir de X lp (f), mediante rotación alrededor del eje vertical y conjugando el resultado. Lo cual implica claramente que: Xbp (f) = X lp ( f - f c ) + X* lp ( - ( f + f c ) ) [4] 3

4 Y antitransformando tenemos: ( t ) = x lp ( t ) e j ω c t + x * lp (t ) e - j ω c t [5] ( t ) = x lp ( t ) e j ω c t + ( x lp (t ) e j ω c t )* [6] ( t ) = 2 Re [ x lp (t ) e j ω c t ] [7] Dada la naturaleza compleja de x lp (t), podemos expresarla como: x lp (t) = 1/2 ( x i (t) + j x q (t) ) [8] El porqué de los subíndices i y q se pondrá en evidencia más adelante. Entonces: ( t ) = Re [ ( x i (t) + j x q (t) ) e j ω c t ] [9] ( t ) = x i (t) cos ( w c t ) - x q (t) sen ( wc t ) [10] Esta expresión [10] se denomina la representación fase cuadratura de la señal pasbanda. 4

5 Dicha denominación se justifica plenamente al notar que ( t ) se puede expresar como: ( t ) = Re [ x i (t) e j ω c t + x q (t) e j ( ω c t + π/2 ) ] [11] Fasor # 1 Fasor # 2 Donde, el fasor # 1 tiene amplitud : x i (t), componente en fase, y el fasor # 2, el cual está desfasado π/2 ( está en cuadratura) con relación al fasor # 1, tiene amplitud: x q (t), componente en cuadratura. La suma de dichos fasores en el plano complejo es indicada en la Figura # 4: FIGURA # 4: Suma de dos fasores en cuadratura, de amplitudes x i (t), componente en fase, y x q (t), componente en cuadratura. Por lo tanto, de la gráfica se tiene que: ( t ) = Re [ A( t ) e j φ(t) e j ω c t ] [12] 5

6 y finalmente tenemos que: ( t ) = A( t ) cos ( ωc t + φ (t) ) [13 ] Lo cual constituye [13] la representación envolvente fase de la señal pasabanda. Donde: y A( t ) = ( x i 2 (t) + x q 2 (t) ) Envolvente [14] φ (t) = tan 1 (x q (t) / x i (t) ) Fase [15] Así mismo, de las ecuaciones [7] y [12] se desprende que: x lp ( t ) = A( t ) e j φ(t) [16] Esta expresión [16] justifica plenamente la denominación de envolvente compleja también atribuida a x lp ( t ). Las representaciones de señales pasabanda [10],[13] aquí descritas constituyen una herramienta importante para el estudio de los distintos esquemas de modulación de onda continua: AM, FM, DSB, VSB, etc; y los mismos en presencia de ruido pasabanda, es decir ruido presente en la banda de la señal. 6

7 SEÑALES ALEATORIAS PASABANDA El desarrollo anterior es absolutamente válido tanto para señales determinísticas como para señales aleatorias. Sin embargo en el caso de señales aleatorias pasabanda es de mayor interés la función densidad espectral de potencia del proceso que la simple transformada de Fourier de una función muestra del mismo. Es por ello que partiendo de la descripción del proceso dada por la expresión [10], debemos ahora avocarnos a conseguir la función de autocorrelación de dicho proceso para luego a partir de ella obtener la densidad espectral de potencia.. Sea entonces x(t) una señal aleatoria real, estacionaria y pasabanda, representada por: x( t) = xi( t)senωct xq( t) cosωct Rx ( τ ) = E[ x( t) x( t τ )]= = E ( xi( t) sen ( xi( t τ t ω c ) cos ω xq( t) cos c( t τ ) ω ct) xq( t τ )sen ω c( t τ )) 7

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