Controladores de Potencia Análisis de los Circuitos Mediantes Series de Fourier

Transcripción

1 Análisis de los Circuitos Mediantes Series de Fourier Prof. Alexander Bueno M. 17 de septiembre de 211 USB

2 Serie de Fourier Es una representación a través de expresiones trigonométricas de una función periódica. Para esta representación se utiliza una suma innita de funciones sinusoidales y cosenoidales de distintas frecuencias, mutuamente ortogonales entre si. Una función se denomina periódica si cumple: g(t) = g(t + T ) (1) g(ωt) = g(ωt + 2π) (2) USB 1

3 Teorema de Fourier g(t) = a 2 + (a n cos(ωt) + b n sin(ωt)) (3) n=1,2,3, a = 2 T T g(t)dt (4) a n = 2 T T g(t) cos(nωt) dt (5) b n = 2 T T g(t) sin(nωt) dt (6) USB 2

4 Las condiciones sucientes que debe cumplir una función g(t) para ser representada mediante Series de Fourier son: 1. La función g(t) debe ser continua en el período T, o debe tener a lo sumo un número nito de discontinuidades en el intervalo de un período. 2. La función g(t) debe tener un número nito de máximos y mínimos en el periodo T. 3. La integral del valor absoluto de la función g(t) en un período debe ser nita. USB 3

5 Expresiones de la Serie de Fourier g(t) = a 2 + c n cos(nωt + θ n ) = a n=1,2,3, 2 + c n sin(nωt + ς n ) (7) n=1,2,3, c n = a 2 n + b 2 n θ n = arctan ( bn a n ) ς n = θ n π 2 USB 4

6 Serie de Fourier forma compleja Utilizando la identidad de Euler (e jϑ = cos(ϑ) + j sin(ϑ)), se puede expresar la Serie de Fourier de forma compleja como: g(t) = D ) 2 + (D n e jnωt + D ne jnωt n=1 = D n e jnωt (8) n= D n = 1 T T g(t)e jnωt dt (9) USB 5

7 a n = 2R e (D n ) n =,1,2,3, b n = 2I m (D n ) n = 1,2,3, (1) c n = a n + jb n = 2D n (11) c n = 2 T T g(t)e jnωt dt (12) USB 6

8 Transformada Rápida de Fourrier ( FFT ) Se dene como la transformada rápida de Fourier de una señal g(t) periodica y discretizada en N muestras en un periodo T a intervalos regulares t s, como: F {g(t)} n = FFT {g(t)} n = N 1 g(k t s ) e j 2πkn N (13) k= T = N t s (14) D n 1 N F {g(t)} n USB 7

9 c n = a n + jb n 2 N F {g(t)} n n =,1,2,,N 1 (15) USB 8

10 Simetría de la Función g(t) Función Par g( t) = g(t) (16) a n = 2 T T 2 T 2 g(t)cos(nωt)dt = 4 T b n = T 2 g(t) cos(nωt)dt (17) USB 9

11 Función Impar g( t) = g(t) (18) b n = 2 T T 2 T 2 a n = g(t)sin(nωt)dt = 4 T T 2 g(t) sin(nωt)dt (19) USB 1

12 Caracterización de la Función g(t) Valor Efectivo o Ecaz G rms = a 2 + G 2 rms n = n=1,2,3, a 2 + ( ) 2 cn (2) n=1,2,3, 2 Valor Medio G = a 2 (21) USB 11

13 Factor de Distorsión Armónica Total T HD = G 2 rms G 2 rms 1 G rms1 (22) Factor de Rizado FR = G 2 rms G 2 G = n=1,2,3, G 2 rms n G (23) Factor de Forma FF = G rms G (24) USB 12

14 Análisis de Circuitos Eléctricos USB 13

15 La tensión en la carga se puede expresar en Series de Fourier como: v carga (t) = V + V n sin(nωt + ς n ) (25) n=1,2, V = a 2 V n = c n = a 2 n + b 2 n ς n = arctan ( bn a n ) π 2 USB 14

16 La expresión de la corriente en serie de Fourier se puede obtener en función de la serie de tensión de la expresión (25) como: i(t) = I + ( ) Vn sin(nωt + ς n ϕ n ) n=1,2, Z n (26) I = V R Z n = R 2 + (nωl) 2 ( ) nωl ϕ n = arctan R USB 15

17 Cálculo de Potencia Para Formas de Onda Periódicas No Sinusoidales Los circuitos de electrónica de potencia tienen, normalmente tensiones y/o corrientes que son simétricas pero no sinusoidales. En el caso general se pueden extrapolar los conceptos de potencia aparente y reactiva utilizados para formas de ondas sinusoidales. Uno de los errores comunes al calcular la potencia promedio en circuitos de potencia, es tratar de aplicar las relaciones de ondas sinusoidales para ondas que no los son. USB 16

18 Potencia en Ondas Distorsionadas v(t) = V + i(t) = I + n=1 n=1 V n sin(nωt + ψ n ) I n sin(nωt + φ n ) (27) USB 17

19 Potencia Media P = 1 T T ([ V + P = 1 T n=1 T p(t)dt = 1 T V n sin(nωt + ψ n ) P = V I + n=1 T ][ (v(t)i(t)) dt I + n=1 I n sin(nωt + φ n ) ]) dt (28) ( ) Vn I n cos(ψ n φ n ) (29) 2 Potencia Aparente S = V rms I rms = P 2 + Q 2 (3) USB 18

20 Factor de Potencia f p = P S = V I + n=1 ( Vn I n ) 2 cos(ψn φ n ) V rms I rms (31) USB 19

21 Potencia de Distorsión En el caso particular una tensión que solo contenga la armónica fundamental y alimente una carga no lineal se obtiene: v(t) = V 1 sin(ωt + ψ 1 ) i(t) = n=1 I n sin(nωt + φ n ) (32) La potencia media, se obtiene a partir de la expresión (28), como: P = ( ) V1 I 1 cos(ψ 1 φ 1 ) = V rms1 I rms1 cos(ψ 1 φ 1 ) (33) 2 USB 2

22 El factor de potencia: f p = V rmsi rms1 cos(ψ 1 φ 1 ) V rms I rms = I rms 1 I rms cos(ψ 1 φ 1 ) (34) Observe que para el caso sinusoidal permanente con armónica fundamental (n = 1) y carga lineal se obtiene: v(t) = 2V rms1 sin(ωt + ψ 1 ) i(t) = 2I rms1 sin(ωt + φ 1 ) (35) f p 1 = V rms 1 I rms1 cos(ψ 1 φ 1 ) V rms1 I rms1 = cos(ψ 1 φ 1 ) (36) S 1 = V rms1 I rms1 (cos(ψ 1 φ 1 ) + j sin(ψ 1 φ 1 )) = P 1 + jq 1 (37) USB 21

23 Note: que la potencia activa en ambos casos es igual. Utilizando el resultado de la expresión (36), se puede reescribir la ecuación (34), como: f p = I rms 1 I rms f p 1 (38) Deniendo el Factor de desplazamiento del factor de potencia (DPF) como: DPF f p 1 (39) Utilizando la denición (39), se puede escribir la ecuación (38) como: f p = I rms 1 I rms DPF (4) USB 22

24 Deniendo la potencia de de distorsión ( D) como: ( ) D V rms1 Irms 2 n n 1 (41) Utilizando la denición (41) y la expresión (37), la potencia aparente en la carga no lineal, se calcula como: S = P 2 + Q 2 = P Q2 1 + D2 = S D2 (42) USB 23