Capítulo 1 SEMANA 7. Capítulo 2 POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA

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1 Capítulo 1 SEMANA 7 Capítulo 2 POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA Potencia instantánea 1 : Esta definida como la potencia entregada a un dispositivo (carga) en cualquier instante de tiempo. Es el producto de la tensión instantánea v(t) por la corriente instantánea i(t) de un elemento. La potencia instantanea se define como: Para un resistor es: p(t) = v(t)i(t) p(t) = v(t)i(t) = i 2 (t)r = v2 (t) R 1 Ver 96 de Usaola. Ver como lo define Fraile Mora. 60

2 61 Figura 2.1 Potencia instantanea Para una bobina: p(t) = v(t)i(t) = Li(t) di(t) dt = 1 L v(t) t v(t )dt Para un capacitor: p(t) = v(t)i(t) = Cv(t) dv(t) dt = 1 C i(t) t i(t )dt Sea v(t) = V m cos(ωt + θ v ) [V] y i(t) = I m cos(ωt + θ i ) [A] p(t) = v(t) i(t) = V m cos(ωt + θ v ) I m cos(ωt + θ i ) = V m I m [cos(ωt + θ v ) cos(ωt + θ i )] Usando la identidad trigonométrica: cos A cos B = 1 [cos(a B) + cos(a + B)] 2 p(t) = 1 2 V mi m [ cos(θ v θ i ) + cos(2ωt + θ v + θ i )] }{{} Independiente del tiempo Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

3 62 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS Figura 2.2 Potencia instantanea para elementos Decimos entonces que la potencia instantanea fluctua a una frecuencia de (2ω) del doble de la tension e intensidad. A raíz que p(t) varia en el tiempo, se define la potencia promedio. Potencia promedio o potencia media: La potencia real esta asociado a la realizacion de un trabajo. Su unidad es el Watio (W). Esta potencia es posible medirla como un valor puntual con un vatímetro y en un circuito corresponde a la potencia consumida por los elementos resistivos. La potencia promedio P es el promedio de la potencia instantánea a lo largo de un periodo. Reemplazando p(t) se tiene: UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

4 63 Figura 2.3 Componentes de la potencia instantanea P = 1 T P = 1 T T 0 T 0 p(t)dt 1 2 V mi m cos(θ v θ i )dt + 1 T T V mi m cos(2ωt + θ v + θ i )dt P = 1 2 V mi m cos(θ v θ i ) = V rms I rms cos(θ) Example: Ejercicio: Sea v(t) = 120 cos(377t + 45)V la tensión aplicada a un elemento cuya corriente es i(t) = 10 cos(377t 10)A. Halle la potencia instantánea y la potencia absorbida (promedio) por el elemento. Example-fin: Desarrollo: p(t) = [cos(45 10) + cos(2ωt )] = 344, cos(754t + 35) W 2 La potencia media es: P = 344,2[W ]. Example: Ejercicio: Determine la lectura de los instrumentos de medida. Examplefin: Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

5 64 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS Figura 2.4 Example: Ejercicio propuesto: Determine la lectura de los instrumentos de medida. Example-fin: Figura 2.5 Potencia en elementos reactivos En las bobinas y condensadores la potencia media es nula, entonces el valor que caracteriza a la potencia instantánea es la amplitud de sus oscilaciones, y se denomina potencia reactiva (Q). Esta potencia no esta asociada con la realizacion de ningun trabajo externo al circuito (calor, movimiento, etc...) ya que toda la energia almacenada durante un ciclo se devuelve al ciclo siguiente. Su unidad es el Voltio-Amperio Reactivo (VAr). Cuando la tension (intensidad) aplicada es la misma para un condensador y una bobina, el condensador almacena energia cuando la bobina la cede, y viceversa. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

6 65 Sea v(t) = V m sin(ωt) [V] y i(t) = I m sin(ωt θ) [A] p(t) = v(t) i(t) = V m sin(ωt) I m sin(ωt θ) Usando la identidad trigonométrica: sin A sin B = 1 [cos(a B) cos(a + B)] 2 p(t) = 1 2 V mi m [cos(ωt (ωt θ)) cos(ωt + ωt θ)] p(t) = 1 2 V mi m [cos(θ) cos(2ωt θ)] Usando la identidad trigonométrica: cos(a B) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) p(t) = 1 2 V mi m [cos(θ) cos(2ωt) cos(θ) + sin(2ωt) sin(θ)] p(t) = 1 2 V mi m cos θ[1 cos(2ωt)] V mi m sin θ sin(2ωt) p(t) =p a (t) + q r (t) Donde: p a (t): Componente activa q r (t): Componente reactiva Definiendo: Potencia activa, como: P = 1 2 V mi m cos θ [W ] Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

7 66 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS Potencia reactiva, como: Q = 1 2 V mi m sin θ [V Ar] : Potencia compleja En el dominio fasorial la potencia compleja monofásica se define como: 1 2 S 1ϕ = VI, si V = V m θ v y ; I = I m θ i VI, si V = V rms θ v y I = I rms θ i S = Real(S) ± j Imag(S) = P ± j Q De aqui obtenemos el llamado triángulo de potencia. Potencia total o aparente Es el producto de la corriente y el voltaje: S = Potencia real o activa: P 2 + Q 2 = 1 2 V mi m = V rms I rms [V oltio.amperios] [V A] Es la que corresponde a la energía solicitada a la fuente y que desarrolla un trabajo, está definida como: P = 1 2 V mi m cos(θ v θ i ) = V rms I rms fp = S fp = S cos(θ)[w ] (2.1) Potencia imaginaria o reactiva Aparece en una instalación eléctrica en la que existen bobinas o condensadores, y es necesaria para crear campos magnéticos y eléctricos en dichos componentes. Se representa por Q y se mide en voltiamperios reactivos (VAr). No produce trabajo útil debido a que su valor medio es nulo. Entiéndase que no se consume sino que se almacena durante un tiempo y se regresa al circuito. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

8 67 Factor de potencia Se define factor de potencia de un circuito de corriente alterna, como la relación de la potencia promedio (P ) respecto a la potencia aparente (S): fp = P S = cos(θ v θ i ) = cos(θ) = cos(θ i θ v ) Donde θ = θ v θ i es conocido como Ángulo del factor de potencia. El factor de potencia se puede ver como un índice de eficiencia energética, dado que permite conocer la relación entre la energía solicitada a la fuente y la energía convertida en trabajo. Figura 2.6 De acuerdo con su definición, el factor de potencia es adimensional y solamente puede tomar valores entre 0 y 1. Donde por la definición anterior cuanto más cercano sea el valor del factor de potencia a la unidad (1), más eficiente será el sistema. Cuando 0 < θ < 90 Decimos que: * La corriente I atrasa al voltaje V un ángulo θ. * Se dice que la carga es de naturaleza inductiva. * El factor de potencia esta en atraso (fp ) Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

9 68 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS * La carga consume potencia reactiva (+Q). Figura 2.7 Carga inductiva Cuando 90 < θ < 0. Decimos que: * La corriente I adelanta al voltaje V un ángulo θ. * Se dice que la carga es de naturaleza capacitiva. * El factor de potencia esta en adelanto (fp ) * La carga entrega potencia reactiva ( Q). Figura 2.8 Carga capacitiva Cuando θ = θ v θ i = 0. Decimos que: * La corriente I esta es fase con el voltaje V * Se dice que la carga es de naturaleza puramente resistiva. * El factor de potencia es unitario (fp = 1) * No hay potencia reactiva (Q = 0). Figura 2.9 Carga resistiva Cuando θ = θ v θ i = 90. * La corriente I atrasa al voltaje V noventa grados. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

10 69 * Se dice que la carga es de naturaleza puramente inductiva. * El factor de potencia es cero (fp = 0) * No hay potencia activa (P=0). S = Q Figura 2.10 Carga puramente inductiva Cuando θ = θ v θ i = 90. * La corriente I adelanta al voltaje V noventa grados. * Se dice que la carga es de naturaleza puramente capacitiva. * El factor de potencia es cero (fp = 0) * No hay potencia activa (P=0). S = Q Figura 2.11 Carga puramente capacitiva La siguiente tabla resumen, nos muestra que letra representa cada parametro: Letras que la representa Nombre Unidad Ecuación p(t) Potencia instantánea Voltio-Amperios [VA] = v(t)i(t) P Potencia media o activa Vatios[W] = V rms I rms co Q Potencia reactiva Volt-Amp.Reactivos [VAr] = V rms I rms si S Potencia aparente Voltio-Amperios[VA] = V rms I rms S Potencia compleja Voltio-Amperios[VA] = VI fp factor de potencia Sin unidad = P = cos θ S θ = θ Z = θ S Ángulo de fp Grados o radianes = a cos ( ) P S Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

11 70 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS S en función de la Impedancia y Admitancia Es útil tener en cuenta como calcular los componentes de la potencia en función de los componentes de la impedancia y admitancia. Veamos. En función de la impedancia: V = ZI S = VI S = (ZI)I = ZI 2 S = V ( ) V = V 2 Z Z Donde: P = RI 2 = V 2 R [W ]; Q = XI2 = V 2 X [V Ar]; S = ZI2 = V 2 Z [V A]; En función de la admitancia: ( I I = VY S = VI S = V(VY) = V 2 Y S = Y ) I = I2 Y Donde: P = I2 G = GV 2 [W ]; Q = BV 2 = I2 B [V Ar]; S = Y V 2 = I2 Y [V A]; Example: Ejemplo: Determine la potencia activa, reactiva y el factor de potencia de cada carga y de la carga vista por la fuente. Example-fin: UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

12 71 Figura 2.12 Z carga1 = 4 + j6 = 7,21 56,3 Ω Z carga2 = (3 ( j4)) (3 j4) = 2,4 36,86 Ω Z eq = Z carga1 + Z carga2 = 7,47 37,60 Ω I = V Z eq = ,47 37,60 = 13,38 37,60 V carga1 = I Z carga1 = 96,49 18,7 V carga2 = I Z carga2 = 32,11 74,46 Carga 1 Carga 2 Carga equivalente Potencia activa P = RI 2 = V I cos θ P = P = P = P 1 + P 2 = Potencia reactiva Q = XI 2 = V I sin θ Q = Q = Q = Q 1 + Q 2 = Factor de potencia fp = cos θ fp = cos() = fp = cos() = fp = cos() = Example: Ejercicios: En la carga del circuito de la figura se toman medidas de voltaje, corriente y potencia, donde V = 150 V, A = 3 A; W = 300 W. Examplefin: Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

13 72 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS i) Para el caso de que la carga sea inductiva. ii) Para el caso de que la carga sea capacitiva. a) Calcule la potencia activa, reactiva, aparente, compleja y factor de potencia de la carga. b) Impedancia que representa la carga c) Voltaje y corriente como fasores. Figura 2.13 Example: Ejercicio propuesto: De acuerdo a las siguientes señales de voltaje y corriente que entran a una carga. Example-fin: Figura 2.14 Determine: a) Potencia instantánea UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

14 73 b) Potencia activa c) Potencia reactiva d) Factor de potencia e) Impedancia que representa la carga f) Naturaleza de la carga. g) Si se toma la señal de voltaje como referencia, exprese el voltaje y la corriente como fasores. Example: Ejercicios: Hallar I. Example-fin: Figura 2.15 Desarrollo: LT K : V = V S = 10000V A; θ = a cos(0,8) = 36,86 S = ,86 V A ( ) ( ) S ,86 I = = = 83, ,86 A V Example: Ejercicio: Hallar la potencia activa que consume la carga y halle la potencia reactiva. Example-fin: Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

15 74 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS Figura 2.16 Desarrollo: LT K : V = V S = 10000V A; θ = a cos(0,8) = 36,86 S = ,86 V A S = Real(S) + j Imag(S) V A S = 8 + j6 kv A Donde : P = 8 kw ; Q = 6 kv AR Example: Ejercicio: Calcule la corriente que consume un motor de 10 Hp, 220 V, fp = 0.7, Eficiencia de 80Example-fin: Desarrollo: P int = ,8 = XXXXW I = XXX 0,7 220 = XXX Example: 2 Ejercicio: Sea v(t) = 22,63 cos(60t+45), R 1 = 2Ω, R 2 = 10Ω, R 3 = 8Ω, 2 (11.51 Sadiku) UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

16 75 L = 0,1H, C = 3,33mF. textbfexample-fin: Figura 2.17 Calcular: a) el factor de potencia b) la potencia promedio provista por la fuente c) la potencia reactiva d) la potencia aparente e) la potencia compleja. f) la naturaleza de la carga. Desarrollo: Ref: cos(60t), con ω = 60 rad/s X C = ,33e 3 = 5 Ω X L = 60 0,1 = 6Ω Para la fuente se usa el valor rms: V rms = 22,63 2 = 16V ; V = 16 (45). Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

17 76 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS Z 1 = 8 + j6; Z 2 = 10 j5; Z 3 = Z 1 Z 2 = 6, j0,7692; Z 4 = R 1 + Z 3 = 8, j0,7692ω Z 4 = 8,19 (5,38) ; I = ( 16 8,19 ) (45 5,38) = 1,9512 (39,61). a) factor de potencia fp = cos(5,38 ) = (0,9956) atrasado b) P = V Ifp = 16 1,9512 0,9956 = 31,0818W c) Q = V Isen(5,38) = 2,9322V AR = (S 2 P 2 ) d) S = V I = 16 1,9512 = 31,2192V A e) S = V I 5,38 = 31, j2,9322 = (1, ,61 ) = 31,2192 5,38 f)dado que el factor de potencia esta en atraso la carga es de naturaleza inductiva. Example: Ejercicio: Halle la potencia activa del ejercicio anterior con a) ω = 30rad/s Example-fin: X c = 10Ω; X L = 3 Ω Z 1 = 8 + j3; Z 2 = 10 j10; Z 3 = Z 1 Z 2 = 6,2466 j0,3485; Z 4 = R 1 + Z 3 = 8,2466 j0,3485 Ω Z 4 = 8,254 ( 2,42) ; I = ( 16 8,25 ) (45 + 2,42) = 1,938 (45,42) A a) fp = cos(2,42) = (0,9991) adelantado UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

18 77 b) P = V Ifp = 16 1,938 0,9991 = 30,98W Example: Determine la potencia compleja para los siguientes casos: Example-fin: a) P = 269W, Q = 150V Ar (capacitivo) b) Q = 2000V Ar, fp = 0,9 (adelantado) c) S = 600V A, Q = 450V Ar (inductivo) d) V rms = 220V, P = 1 kw, Z = 40 Ω (inductivo) EQUILIBRIO DE POTENCIA En un circuito eléctrico toda la energía requerida por las cargas es suministrada por la fuente. Por tanto en un circuito se debe cumplir el equilibrio de potencias. Por ejemplo. Los resistores consumen potencia activa, pero no reactiva. Los inductores decimos que consumen potencia reactiva, pero no activa y los capacitores decimos que entregan potencia reactiva pero no activa. Las fuentes deben suministrar toda la potencia que consuman la carga, tanto la activa como reactiva. Figura 2.18 Equilibrio de potencias Este principio radica en el principio de conservación de la energía Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

19 78 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS El equilibrio de potencia establece que: En S compleja,no en aparente S. ΣS fuente = ΣS cargas ΣS fuente + ΣS cargas = 0 Y por tanto al descomponer en parte real e imaginaria, se cumple: ΣP fuente = ΣP cargas ΣP fuente + ΣP cargas = 0 ΣQ fuente = ΣQ cargas ΣQ fuente + ΣQ cargas = 0 Example: Ejercicio: En el diagrama de la figura dos cargas se encuentran conectadas en paralelo en un circuito de una sola fase, la carga 1 es una estufa de 3 kw, 220 V y un fp de 0.95 atrasado. La carga 2 representa un motor de 5 kva que se encuentra entregando reactivos a la red con un factor de potencia de Halle la potencia que debe suministrar la fuente a la carga en el circuito y halle las corrientes I, I 1 e I 2. Example-fin: Figura 2.19 Equilibrio de potencias UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

20 79 Carga 01: θ = a cos(0,95) = 18,19 S 1 = ( ) ,19 V A 0,95 I 1 = ( ) S = V ( 3157,89 18, ) I 1 = 14,35 18,19 A Carga 02: θ = a cos(0,85) = 31,78 S 2 = ,78 V A ( ) ( S ,78 I 2 = = V ) I 2 = 22,72 31,78 A Aplicando la ley de corrientes en el nodo: I 3 = I 1 + I 2 = 14,35 18, ,72 31,78 = 33,78 12,8 A Otra forma de calcular I 3, es usando el principio de conservación de la potencia, donde las potencias se pueden sumar sin importar la conexión de los elementos. S eq = S fuente = S cargas = S 1 + S 2 = = 3157,89 (18,19) ,78 = 7435,28 12,8 I 3 = ( ) Seq = V ( ) 7435,28 12,8 = 33,78 12,8 A Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

21 80 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS Example: Ejercicio: En el diagrama de la figura dos cargas se encuentran conectadas en serie en un circuito de una sola fase, la carga 1 es una estufa de 3 kw y un fp de 0.95 atrasado. La carga 2 representa un motor de 5 kva que se encuentra entregando reactivos a la red con un factor de potencia de Halle la potencia que debe suministrar la fuente a la carga y halle las tensiones V 1 y V 2. Example-fin: Figura 2.20 Desarrollo: Carga 01: θ = a cos(0,95) = 18,19 S 1 = ( ) ,19 V A 0,95 Carga 02: θ = a cos(0,85) = 21,78 S 2 = ( ,78 ) V A Usando el principio de conservación de la potencia, donde las potencias se pueden sumar sin importar la conexión de los elementos. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

22 81 S eq = S fuente = S cargas = S 1 + S 2 = = 3157,89 (18,19) ,78 = 7435,28 12,8 I 3 = ( ) Seq = V Entonces las tensiones son: ( ) 7435,28 12,8 = 33,78 12,8 A V 1 = S 1 I = (3157,89 (18,19) ) (33,78 12,8 ) = 93,48 30,99 V V 2 = S 2 I = ( ,78 ) (33,78 12,8 ) = 148,02 18,98 V Comprobemos que se cumple la ley de de tensiones en la malla: V = V 1 + V 2 = 93,48 30, ,02 18,98 = V Observemos también el diagrama fasorial de la ecuación: S fuente = S 1 + S 2 = 3157,89 18, ,78 = 7435,28 12,8 Figura 2.21 Example: Ejercicio propuesto: En el circuito de la figura, la carga A, recibe 2 kw con 0.8 de factor de potencia en atraso, la carga B recibe 3 kva a 0.4 de factor de potencia en adelanto, mientras que la carga C es inductiva y consume 1 kw con 500 VAR. Example-fin: a) Determine el factor de potencia de todo el sistema. Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

23 82 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS Figura 2.22 b) Encuentre la corriente dado que V S = V Example: Ejercicio propuesto: Determine: Example-fin: a) El factor de potencia del circuito. b) La tensión y corriente en cada elemento. c) La potencia activa, reactiva y aparente en la fuente. d) Dibuje el diagrama fasorial de potencias. Figura 2.23 Example: Ejercicio propuesto: 3 En el circuito de la figura los valores instantaneos de los generadores son: v 1 (t) = 10 2 sin(1t) [V]; v 2 = 50 2 cos(1t) [V]; i(t) = 20 cos(1t + 45 ) [A] Example-fin: Calcular: Fraile Mora UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

24 83 Figura 2.24 a) Valores de la resistencia R en ohmios y de la inductancia L en Henrios, para que el generador v 2 entregue al circuito una potencia activa de 500 W y una potencia reactiva inductiva de 500 Var. b) Diferencia de potencial (d.d.p = voltaje) instantaneo entre los nodos A y B. Respuesta: 1)R = 1Ω; L = 2H; 2) v AB = 20 2 cos(1t ) [V] Example: Ejercicio propuesto: 4 En la figura se muestra un generador v g que a traves de una linea de impedancia 0,1 + j0,2ω (total: ida y vuelta) alimenta un recepto constituido por dos cargas: a) Iluminacion incandescente de 4 kw; b) Motor de 10 KW de potencia mecanica, rendimiento del 80 y f.d.p 0.7 inductivo. Example-fin: Calcular: a) Tension que debe aplicarse al extremo generador v g para que las cargas tengan una tension en bornes de 220 V. 4 Ejercicio 4.39 Fraile Mora Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

25 84 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS b) Potencia reactiva de los condensadores en el extremo receptor para elevar el f.d.p del conjunto de las cargas a la unidad en el extremo receptor y capacidad necesaria si la frecuencia de la red es de 50 Hz; c) Potencia compleja al principio de la linea en los dos casos siguientes: i) sin conectar los condensadores, ii) conectando los condensadores. Figura 2.25 Example: Ejercicio propuesto: 5 Un generador alimenta dos cargas con las siguientes caracteristicas: 1) Motor de 5 CV, rendimiento de 85 y f.d.p 0.75 inductivo (1 CV = 736 W); 2) Grupo de soldadura de 3 kw: Rendimiento de 80 f.d.p 0.8 inductivo. Desde le generador hasta la carga 1, la linea de alimentacion tiene una impedancia de 0,1 + 0,1jΩ. La impedancia de la linea entre la carga 1 y la carga 2 es de 0,2 + j0,2ω. Suponiendo que la tension en bornes de la carga 2 es de 220 V, 50 Hz. Example-fin: Calcular: a) Tesnion en bornes de la carga 1 y a principio de la linea(tension del generador) 5 Ejercicio 4.40 Fraile Mora UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

26 85 b) Si en paralelo con la carga 1, se pone un condensador de 500 µ F (la tension en la carga 2 se supone que siguie siendo de 220 V) Cual sera la potencia compleja a principio de la linea, a la salida del generador?. Respuesta: a) v 1 = 225,96 V; v g = 232,55 V; b) S = 8305 j1158 VA CONCEPTO DE FLUJO DE POTENCIA Las redes eléctricas se caracterizan por sus tensiones y capacidades de corriente de los conductores, esto también puede verse como la capacidad de entregar cierta energía o potencia a una carga. Figura 2.26 Concepto de flujo de potencia En el circuito de la figura se puede observar que el flujo de potencia por la línea 1-2, corresponde a la potencia que consume la carga 2 más las pérdidas de potencia en la línea 2, es decir. S 12 = S 12 + S 2 = ( V) 12 I 12 + (V 2 I) 2 Y por lo tanto la potencia que debe entregar el generador es: S g = S 1 + S 12 Entonces la capacidad de potencia de la línea o del generador, dependen de los flujos de potencia. Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

27 86 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS Example: Ejemplo: 6 Un sistema de distribucion de energia electrica de corriente alterna monofasica esta por una fuente de tension, una linea de transporte de impedancia Z = 0,8 + j2ω, una carga conectada en el otro extremo de la linea que absorbe 800 W de potencia y 600 Var de potencia reactiva. Si la potencia activa generada por la fuente es??? W Example-fin: Determinar a) Valor eficaz de la intensidad suministrada por el generador. b) Potencia reactiva cedida por el generador. c) Valor eficaz de las tensiones en la fuente y en la carga. Figura 2.27 Example: Ejercicio 7 Para el circuito de la figura, encuentre V s. Example-fin: Example: Ejemplo: El circuito de la figura representa un unifilar de un sistema eléctrico de potencia. Donde: Datos de línea Datos de carga Datos nominales R 12 1,8Ω P 2 3 kw V nom 220V X 12 0,8Ω Q 2 1 kv Ar B sh12 13,6mS Si V 2 = V Libro Usaola 7 Ejercicio Sadiku 4 Ed UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

28 87 Figura 2.28 Figura 2.29 a) Determine el flujo de potencia por la línea 1 2 y en el generador. b) Determine la potencia activa, reactiva y el voltaje. c) Determine la regulación de voltaje si la carga es capacitiva e inductiva. Example-fin: Example: Ejercicio propuesto: El circuito de la figura representa un unifilar de un sistema eléctrico de potencia. Example-fin: Dato conocidos. Datos de lineas: R 12 0,9Ω X 12 0,5Ω B sh12 15E 5S R 23 0,9Ω X 23 0,5Ω B sh23 12E 5S Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

29 88 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS Datos de cargas 1ϕ: P 1 1,5MW P 2 3MW Q 1 0,5MV Ar Q 2 1MV Ar Datos nominales V nom 33 kv S nom 20MV A a) Calcule la corriente de que sale de la fuente si se conoce que V 3 = V y el flujo de potencia por las líneas. b) Calcule el voltaje V 3, si V 1 = V, usando las corrientes del punto anterior. Figura 2.30 Desarrollo: a) S C3 = 5 + j2mv A; I C3 = ( ) SC3 = V 3 ( ) (5 + j2) = 165,97 18,43 A; ( ) I sh3 = V 3 j Y sh23 2 ( ) (15e 5) = j = 1, A 2 I L23 = I C3 + I Sh3 = 165,53 17,96 A V 23 = Z 23 I L23 = (R 23 + jx 23 ) I L23 = (0,9 + 0,5j) 165,53 17,96 = 170,4 11,09 V UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

30 89 V 2 = V 3 + V 23 = ,4 11,09 = ,1 V S C2 = 1,5 + j0,5mv A; I C2 = ( ) SC2 = V 2 ( ) (1,5 + j0,5) = 82,27 18,34 A; ( ,1 ) I sh2 = V 3 j ( Y sh Y sh ) ( 12 Y sh23 = ,1 j + Y sh12 ) = 2,6 90,1 A I L12 = I C2 + I Sh2 + I L23 = ,51 A V 12 = Z 12 I L12 = (0,9 + 0,5j) 165,53 17,96 = 254,3 11,54 V V 1 = V 2 + V 12 = ,4 11,09 = ,24 V Y sh 12 I sh1 = V 1 j 2 ( ) (15e 5) = j = 1,17 90,25 A 2 I L1 = I Sh1 + I L12 = 246,64 17,25 A El flujo de potencia por las líneas será: S 12 = S 12 + S 2 = I L12( V 12 + V 2 ) = I L12V 1 = ,24 (247 17,51 ) S 12 = 4,8 17,75 MV A S 23 = S 23 + S 3 = I L23( V 23 + V 3 ) = I L23 V 2 = ,1 (165 17,96 ) S 23 = 3,18 18,06 MV A CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA Un factor de potencia en atraso corresponde a cargas de naturaleza inductiva, la cual consume potencia reactiva. La potencia reactiva está ligada a la caída de tensión en los elementos. También un factor de potencia alejado de la unidad es un Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

31 90 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS mal índice de eficiencia en la entrega de energía. El factor de potencia en atraso es posible acercarlo a la unidad instalando capacitores en paralelo con la carga para inyectar reactivos al circuito 8. Figura 2.31 Correccion del factor potencia Example: Ejercicio: Si la carga es alimentada con un voltaje eficaz de 220 V, f = 2 Hz, disipa una potencia de 3 kw, con factor de potencia de 0.75 inductivo. a) Halle el valor del capacitor que debe instalarse en paralelo para corregir el factor de potencia hasta 0.9 inductivo. b) Calcule el valor de la magnitud de la corriente antes y después de corregir el factor de potencia. Example-fin: Figura 2.32 Desarrollo: 8 Consulta: Leer las páginas 443 a 453, del libro de Fraile Mora y sacar un resumen. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

32 91 a) El ángulo del factor de potencia actual es: θ 1 = a cos(0,75) = 41,41 El ángulo del factor de potencia al que se desea llevar es: θ 2 = a cos(0,90) = 25,84 Si decimos que el capacitor solo inyecta reactivos y el voltaje no varía, la potencia activa no variara: P 1 = P 2 El capacitor inyecta los reactivos necesarios para ir de θ 1 a θ 2 : Figura 2.33 Triangulo de potencia Q c = Q 1 Q 2 = P 1 tan θ 1 P 2 tan θ 2 = P 1 (tan θ 1 tan θ 2 ) = 3 (tan 41,41 tan 25,84 ) = 1,193 kv Ar La potencia compleja en el capacitor en función de la capacitancia es: Por tanto: S c = jq c = V 2 (Z C) = V 2 C = (jx c ) = jv 2 ωc Q C (V 2 ω) = 1193 ((220) 2 2 π 2) = 2mF b) La magnitud de la corriente antes de corregir es: Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

33 92 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS I 1 = S 1 V = P 1 (V cos θ 1 ) = cos 41,41 = 18,2A Luego de corregir el factor de potencia: I 2 = S 2 V = P 2 (V cos θ 2 ) = cos 25,84 = 15,2 A Note que la corriente disminuye, por tanto las pérdidas en una línea que entrega esta potencia disminuyen. Example: Ejercicio propuesto: Halle el valor de la potencia reactiva del capacitor para corregir el factor de potencia hasta 0.95 en atraso. Example-fin: Figura 2.34 Respuesta: 1027V ar. Example: Ejercicio propuesto 9 : Calculese en el circuito de la figura, tomando como origen de angulo la tension en la carga: Example-fin: a) Intensidad absorbida por la carga b) Factor de potencia de la impedancia de carga c) Factor de potencia del generador 9 Ejercicio del Usaola UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica

34 93 d) Valor de la inductancia L e) Diagrama vectorial de tension e intensidad f) Condensador que deberia colocarse en paralelo con la carga para que el conjunto de ambas tiviese un cos ϕ = 0,9 inductivo. Figura 2.35 Solución: a) P R2 = = 800 W. (800 ) I = = 20 A 2 b) c) fp carga = P S = 6400 (ZI 2 ) = 6400 (20 ((20) 2 )) fp carga = P S = 7200 (440 20) = 0,8ind. θ = 36,87 = 0,818ind θ = 35,09 d) La diferencia en reactivos lo inyecta el inductor. Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

35 94 TEORÍA GENERAL DE NÚMEROS COMPLEJOS Q g = Q L + Q carga Q L = Q g Q carga = 7200 tan(35,09 ) 6400 tan(36,87 ) = 259 V Ar Q L = X L I 2 L = Q L (ωi 2 ) = π 50 ((20) 2 ) e) Si la fuente es la referencia. = 2,1 mh Figura 2.36 f) Si la se alimenta tal que la tensión en la carga no varíe. V carga = = 400 V θ 2 = a cos(0,9) = 25,84 C = Q C (V 2 ω) = 6400(tan 36,87 tan 25,842 ) ((400) 2 2 π 50) = 33,83 µf UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica