Análisis de imágenes digitales

Transcripción

1 Análisis de imágenes digitales FUNDAMENTOS DE LA IMAGEN DIGITAL Transformaciones geométricas

2 DEFINICIONES Las transformaciones geométricas son funciones que mapean un punto del espacio a uno nuevo se pueden clasificar en: Rígidas Similaridad Afines Rígidas: preservan la distancia! traslación+rotación. Transformaciones geométricas lineales Similaridad: preservan el ángulo! traslación+rotación+escalamiento Afines: preservan el paralelismo! traslación+rotación+escalamiento +sesgo 2

3 DEFINICIONES Las transformaciones rígidas (transformaciones Euclidianas) preservan la distancia entre cualquier par de puntos p q de la imagen (isometría). Los objetos tienen la misma forma tamaño antes después de la transformación. Imagen original Traslación Rotación p p p q D(p,q) q D(p,q ) D(p,q ) q 3

4 λp λd(p,q ) DEFINICIONES Las transformaciones similares (homotecia), a partir de un punto fijo, multiplican todas las distancias por un mismo factor, de manera que se preservan los ángulos de los objetos en la imagen. Imagen rotada escalada por un factor λ Imagen original θ D(p,q) p θ q λq 4

5 DEFINICIONES Las transformaciones afines preservan la colinearidad las razones de las distancias entre dos puntos cualquiera de la imagen, preservando así el paralelismo entre segmentos de rectas. Imagen sesgada Imagen original p p ½D(p,q) ½D(p,q) q q 5

6 DEFINICIONES Las transformaciones geométricas lineales pueden representarse por medio de matrices no singulares (invertibles). Sea v el vector columna que contiene las coordenadas de un punto de la imagen (,): T v = Sea T una matriz de transformación 2 2: T = a c b d El vector columna con las coordenadas transformadas está dado por: ˆv = Tv = a c b d = a +b c +d = ˆ ŷ 6

7 MATRICES DE TRANSFORMACIÓN Rotación: Forma simple: Inversa: cosθ R θ (,) = sinθ R θ ( ˆ,ŷ) = R θ ( ˆ,ŷ) sinθ cosθ = cosθ + sinθ cosθ sinθ Escalamiento uniforme: Forma simple: Inversa: E s (,) = s 0 0 s E s ( ˆ,ŷ) = E s ( ˆ,ŷ) = s s Escalamiento no uniforme: Forma simple: Inversa: E s (,) = s 0 0 s E s ( ˆ,ŷ) = E s ( ˆ,ŷ) = s s 7

8 MATRICES DE TRANSFORMACIÓN Sesgo: Forma simple: S s (,) = s s = + s s + Refleión: equivalente a la rotación con cos(π) Forma simple: R (,) = 0 0 = Traslación: no se puede representar mediante una matriz de transformación de tamaño 2 2 Forma simple: Inversa: T (,) = a b T ( ˆ,ŷ) = ˆ ŷ + a b = = a + b + ˆ a ŷ b 8

9 MATRICES DE TRANSFORMACIÓN Rotación con θ = π v = [6,2] T v 2 = [7,3] T v 3 = [8,2] T T = ˆv = Tv = [3,6] T ˆv 2 = Tv 2 = [3,7] T ˆv 3 = Tv 3 = [4,7] T Escalamiento con s = v = [,] T v 2 = [0,] T v 3 = [0,2] T v 4 = [0,2] T v 5 = [0,2] T T = ˆv = Tv = [2,2] T ˆv 2 = Tv 2 = [0,2] T ˆv 3 = Tv 3 = [2,0] T ˆv 4 = Tv 4 = [0,4] T ˆv 5 = Tv 5 = [4,0] T 9

10 COORDENADAS HOMOGÉNEAS Una forma de epresar todas las transformaciones geométricas de una manera consistente utilizando representación matricial es a través de coordenadas homogéneas. Se agrega una dimensión etra, el eje w, una coordenada etra, la componente w. De esta manera, todas las transformaciones, combinaciones de ellas, se mapean de R d R d+ : w ˆv = Tv = a a 2 a 3 a 2 a w = ˆ ŷ ŵ (,,w) Para transformaciones afines w =. 0

11 COORDENADAS HOMOGÉNEAS Se pueden representar combinaciones de transformaciones geométricas. Esta definición se le conoce como transformación afin de 6 grados de libertad. Escalamiento rotación ˆv = Tv = a a 2 a 3 a 2 a Traslación = ˆ ŷ La transformación inversa se utiliza para encontrar correspondencias entre cambios geométricos realizados sobre imágenes: ˆv = T v = a a 2 a 3 a 2 a = ˆ ŷ donde T = a a 2 a 2 a 2 a 2 a 23 a 3 a 2 a a 2 a 2 a a a a 2 a 2

12 COORDENADAS HOMOGÉNEAS Transformación Matriz afin Ecuaciones de coordenadas Identidad Escalamiento s s = v = w = s v = s w Ejemplo Rotación cosθ sinθ 0 sinθ cosθ = v cosθ + w sinθ = w cosθ v sinθ Traslación 0 t 0 t 0 0 = v + t = w + t Sesgo vertical 0 0 s v = v + s v w = w Sesgo horizontal s h = v = s h v + w 2

13 COORDENADAS HOMOGÉNEAS A través de las transformaciones afines, es posible realizar transformaciones más complejas utilizando una matriz única que combine las tres transformaciones básicas. Por ejemplo, TRSv, escalar el vértice, luego rotarlo, finalmente trasladarlo (derecha a izquierda): 0 t 0 t 0 0 cosθ sinθ 0 sinθ cosθ s s equivale a: s cosθ s sinθ t s sinθ s cosθ t 0 0 3

14 COORDENADAS HOMOGÉNEAS Es importante considerar el orden de las transformaciones, a que la multiplicación de matrices no es conmutativa. Por ejemplo, RT TR: cosθ sinθ t cosθ + t sinθ sinθ cosθ t cosθ t sinθ 0 0 cosθ sinθ t sinθ cosθ t 0 0 RTv TRv 2 2 4

15 COORDENADAS HOMOGÉNEAS Rotación de objetos en la imagen. a) b) θ θ c) a) Desplazamiento del centroide al origen. b) Rotación. c) Regresar el centroide a su posición inicial. 5

16 COORDENADAS HOMOGÉNEAS EN 3D Se agrega una coordenada/eje: v = [ z ] T. Transformación Matriz Afin Comentario Escalamiento Rotación S S S z Ver siguiente diapositiva Similar a la versión 2D, sólo se agregó el término S z. En 2D sólo eiste un eje de rotación. En 3D se deben tomar en cuenta todos los posibles ejes. Traslación 0 0 t 0 0 t 0 0 t z Similar a la versión 2D, sólo se agregó el término t z. 6

17 COORDENADAS HOMOGÉNEAS EN 3D Cada rotación puede representarse como la composición de 3 diferentes ángulos rotando en el sentido horario alrededor de 3 ejes como: R z (θ) R z (ψ ) Eje- en el plano por ψ. Eje- en el plano z por θ. Eje-z en el plano por ϕ. R (φ) z R (φ) R z (ψ ) R z (θ) cosφ sinφ 0 0 sinφ cosφ cosψ sinψ 0 0 sinψ cosψ cosθ 0 sinθ sinθ 0 cosθ

18 TRANSFORMACIONES PROYECTIVAS Las transformaciones proectivas establecen 8 grados de libertad se definen como: ˆv = Tv = a a 2 a 3 a 2 a 23 a 3 a 32 w = ˆ ŷ ŵ Esta operación corresponde a la siguiente transformación no lineal de las coordenadas de la imagen de original: ˆ = a + a 2 + a 3 a 3 + a 32 + ŷ = a a 23 a 3 + a

19 TRANSFORMACIONES PROYECTIVAS La inversión de la transformación proectiva se puede calcular mediante la relación: donde: T = det(t) T adj con T = a a 2 a 3 a 2 a 23 a 3 a 32 a 33 det(t) = a a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a a 23 a 32 a 2 a 2 a 33 a 3 a 3 T adj = a 33 a 23 a 32 a 3 a 32 a 2 a 33 a 2 a 23 a 3 a 23 a 3 a 2 a 33 a a 33 a 3 a 3 a 3 a 2 a a 23 a 2 a 32 a 3 a 2 a 3 a a 32 a a 2 a 2 9

20 OTRAS TRANSFORMACIONES NO LINEALES La transformación Twirl produce una rotación α de la imagen sobre el punto de rotación c=(c,c), la cual decrece conforme la distacia del píel de la imagen al punto de rotación aumenta (rma): T : = T : = Original c + r cos(β ) si r rma otro caso c + r sin(β ) si r rma otro caso donde: d = c, d = c, r = d2 + d2 r r β = tan ( d d ) + α ma rma 20 Twirl

21 OTRAS TRANSFORMACIONES NO LINEALES La transformación Ripple produce una distorsión local en forma de onda en la dirección ó : T : ˆ = + a sin 2π τ T :ŷ = + a sin 2π τ donde τ τ son los periodos de la longitud de onda, a a son las amplitudes de los desplazamientos. Original Ripple 2

22 OTRAS TRANSFORMACIONES NO LINEALES La distorsión esférica produce el efecto parecido al de una lente en forma de esfera, cuos parámetros son el centro de la lente, c=( c, c ), el radio máimo de distorsión, rma, el índice de la lente, ρ: T : ˆ = T :ŷ = donde: z tan(β ) si r r ma 0 otro caso z tan(β ) si r r ma 0 otro caso Rectilínea Barrel Pincushion d = c, d = c r = d 2 + d 2 2, z = r ma r 2 β = ρ sin d d 2 + z 2 β = ρ sin d d 2 + z 2 22

23 INTERPOLACIÓN La transformación geométrica de una imagen puede generar valores no enteros de las coordenadas mapeadas. Por tanto, al redondear las nuevas coordenadas se generan píeles que no tienen definidos sus niveles gris. Escalamiento Rotación Original 23

24 INTERPOLACIÓN Es necesario deducir qué valores de gris debería haber en estos píeles faltantes a partir de píeles conocidos. La técnica utilizada para hacer esta tarea se llama interpolación del nivel de gris. Interpolación de imágenes Adaptativo: el método cambia dependiendo de lo que se esté interpolando. No adaptativo: trata a todos los píeles por igual. Implementados en programas licenciados como Qimage, PhotoZoom Pro, Genuine Fractals, etc. Vecino más cercano Bilineal Bicúbico Splines Sinc Lanczos 24

25 INTERPOLACIÓN Métodos de interpolación más comunes:.vecino más cercano: considera el valor del píel en la imagen original que está más cercano a la nueva localización del píel. Imagen transformada Imagen original 2.Bilineal: considera el promedio de los 4 píeles en la imagen original más cercanos a la nueva localización del píel. 3.Bicúbico: considera el promedio de los 6 píeles en la imagen original que rodean a la nueva localización del píel. 25

26 INTERPOLACIÓN Imagen escalada Vecino más cercano Bicúbico Bilineal 26

27 INTERPOLACIÓN Imagen rotada Vecino más cercano Bicúbico Bilineal 27