Introducción a la Mecánica Analítica

Transcripción

1 Introducción a la Mecánica Analítica p. 1/24 Introducción a la Mecánica Analítica Mecánica II Tema 5 Manuel Ruiz Delgado Escuela Técnica Superior de Ingenieros Aeronáuticos Universidad Politécnica de Madrid

2 Mecánica analítica Introducción a la Mecánica Analítica p. 2/24 Sistemas materiales Ligaduras Sistemas holónomos Sistemas no holónomos Coordenadas generalizadas Espacio de configuración Desplazamientos, velocidades y trabajos Desplazamientos virtuales Desplazamientos posibles Desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras Fuerzas de ligadura Trabajo virtual Ligaduras ideales y fuerzas de ligadura

3 Sistemas materiales Introducción a la Mecánica Analítica p. 3/24 Sistema formado por N partículas materiales sujetas a ligaduras 3N coordenadas: (x 1,y 1,z 1,...,x N,y N,z N ) g ligaduras independientes n = 3N g grados de libertad (GDL) Mecánica Newtoniana: introducir incógnitas/ecuaciones de ligadura 3N + g ecuaciones 3N + g incógnitas Mecánica Analítica: 1 ecuación para cada grado de libertad 3N g ecuaciones 3N g incógnitas Superficie: proyectar sobre el plano tangente Curva: proyectar sobre la tangente 3N g 3N g 3N + g

4 Ligaduras: Clasificación Introducción a la Mecánica Analítica p. 4/24 Ligadura Descripción Sistema Finita/geométrica f(r i,t) = 0 Cinemática Ai v i + D = 0 Holónomo integrable = dt d f(r i,t) no integrable dt d f(r i,t) No Holónomo Estacionaria f(r i ) = 0 Esclerónomo No estacionaria f(r i,t) = 0 Reónomo Bilateral f(r i,t)=0 Igual siempre Unilateral f(r i,t) 0 Libre/ligado

5 Ligaduras finitas: f(r 1,r 2,...,r N, t) = 0 Introducción a la Mecánica Analítica p. 5/24 Partícula sobre superficie esférica: N = 1; coordenadas: 3N; ligaduras: g = 1; GDL: n = 3N g = 2 Esfera fija: f(r) x 2 + y 2 + z 2 R 2 = 0 Globo esférico: f(r,t) x 2 + y 2 + z 2 R(t) 2 = 0 Dos partículas unidas por una barra: N = 2; coordenadas: 3N; ligaduras: g = 1; GDL: n = 3N g = 5 f(r 1,r 2 ) (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 + (x 1 x 2 ) 2 L 2 = 0 Si la barra es telescópica: f(r 1,r 2,t) (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 + (x 1 x 2 ) 2 L(t) 2 = 0

6 Ligaduras independientes: Jacobiano Introducción a la Mecánica Analítica p. 6/24 g ligaduras independientes: Jacobiano [ f i / x j ] rango =g g ligaduras redundantes: Jacobiano [ f i / x j ] rango <g Ej.: Sistema: partícula sujeta a tres ligaduras: Esfera de centro el origen: f 1 x 2 + y 2 + z 2 R 2 = 0 Plano horizontal: f 2 z = 0 Cilindro vertical: f 3 x 2 + y 2 R 2 = 0 La tercera ligadura es redundante: f = x 2 + y 2 + z 2 R 2 z x 2 + y 2 R 2 J = 2x 2y 2z Rango (J) = 2 2x 2y 0

7 Ligaduras independientes: Jacobiano Introducción a la Mecánica Analítica p. 7/24 Ej.: Dos partículas (N = 2) en el plano (2N en vez de 3N) sujetas a: f 1 (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 4R 2 = 0 f 2 y 2 = 0 f 3 x (y 1 R) 2 R 2 = 0 GDL: n = 2N g = 4 3 = 1. Calculamos el jacobiano: J = 2 (x 2 x 1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2 (x 2 x 1 ) 2 (y 2 y 1 ) x 1 2 (y 1 R) 0 0 Obviamente, Rango(J) = 3 independientes

8 Ligaduras independientes: Jacobiano Introducción a la Mecánica Analítica p. 8/24 Son independientes en general Pero pueden hacerse redundantes en algunos puntos: Si colocamos la varilla vertical, x 1 = x 2 = 0, y 1 = 2R, el jacobiano se reduce a: 0 4R 0 4R J = R 0 0 Obviamente, Rango(J) = 2 redundantes. 1 2

9 Ligaduras unilaterales/bilaterales Introducción a la Mecánica Analítica p. 9/24 z 0 z = 0 Ligadas (=) r 1 r 2 = L Libres (<) r 1 r 2 < L Integrar las ecuaciones con ligadura Comprobar cuándo se separa Integrar las ecuaciones sin ligadura con las condiciones iniciales de la separación Comprobar si vuelve a cumplirse...

10 Ligaduras finitas cinemáticas Introducción a la Mecánica Analítica p. 10/24 Toda limitación de las coordenadas limita también las posiciones f(r i,t) = 0 d dt f(r i,t) = 0 f ẋ 1 + f ẏ f ẏ N + f ż N + f x 1 y 1 y N z N t = = 1 f ṙ N f ṙ N + f t = N i=1 A i v i + B = 0 f f z h = 0 f v + t = 0 ż = 0 Ascensor: sistema reónomo z h(t) = 0 f v f ż ḣ = 0 f v+f t = 0 v n = ż = f t / f

11 Ligaduras finitas cinemáticas Introducción a la Mecánica Analítica p. 11/24 Partícula sobre superficie esférica: f x 2 + y 2 + z 2 R 2 = 0. f v = 0 2xẋ + 2yẏ + 2zż = 0 f = (2x, 2y, 2z) u r, la velocidad es tangente a la superficie. Si la ligadura fuera no estacionaria por ejemplo, un globo que se hincha la velocidad no es tangente: f(r,t) x 2 + y 2 + z 2 R(t) 2 = 0 f v + f t = 0 v n = f t f = Ṙ v f

12 Ligaduras cinemáticas no integrables Introducción a la Mecánica Analítica p. 12/24 Hay ligaduras cinemáticas que no son la derivada de una finita: g (r i,v i,t) N i=1 A i (r i,t) v i + B(r i,t) = 0 f(r i,t) / g (r i,v i,t) = d dt f(r i,t) Todas finitas o cinemáticas integrables Sistema holónomo Al menos 1 cinemática no integrable Sistema no holónomo Las ligaduras finitas se puede usar para despejar coordenadas y dejar sólo las independientes (n) Las cinemáticas no sirven, pues aparecen las velocidades Si son integrables, se integran reducir coordenadas En los sistemas no holónomos no es posible reducir el número de ecuaciones al mínimo

13 Ligaduras cinemáticas no integrables Introducción a la Mecánica Analítica p. 13/24 No integrable: Patín / Esquí / Rueda /Patín de hielo. Sólo puede moverse en la dirección de la cuchilla. No impone condiciones a las coordenadas: puede ponerse en cualquier punto y orientarse en cualquier dirección. A v = ( sin θ, cosθ) (ẋ,ẏ) = = sin θ ẋ + cosθ ẏ = 0 A (ẋ,ẏ) No integrable: 1 ec., 3 v.d.(x,y,θ), 1 v.i. (t). Aunque se tomara la θ como v. i., dividiendo θ por θ, seguiría sin poderse integrar. Sólido libre en el plano: 3 GDL, x,y,θ. Con ligadura cinemática: n = 3 1 = 2 GDL. Análogo al de un automóvil o una bicicleta: 2 GDL dirección (manillar/volante) y el avance (pedales/motor).

14 Ligadura cinemática integrable Introducción a la Mecánica Analítica p. 14/24 Integrable: Rodadura sin deslizamiento en el plano: ( v I = v C + ω CI = ẋ R θ ) i + ẏ j = 0 Ligadura integrable según y: g 1 A 1 v I 21 + B 1 = = j v I = ẏ = 0 y = R θ C R θ Ligadura integrable según x: O x I g 2 A 2 v I 21+B 2 = i v I 21+0 = ẋ R θ = 0 x = Rθ+ Cte. De las tres coordenadas, sólo queda una independiente: x ó θ, pues sólo hay un grado de libertad: n = 3 2.

15 Ligadura cinemática no integrable Introducción a la Mecánica Analítica p. 15/24 No integrable: Disco que rueda sin deslizar sobre un plano. ( θ = π 2 Lig. finita) v21 I = vc 21 + ω 21 CI = 0 = C y 0 ẋ i 0 j 0 k 0 ψ = ẏ + 0 ϕ ψ ż 0 0 R = y 1 I x 1 x 1 0 ẋ R ϕcos ψ ẋ cosψ + ẏ sin ψ R ϕ 0 = ẏ R ϕsin ψ = ẋ sinψ + ẏ cosψ = 0 ż ż g 1 i 0 v21 I ĝ 1 i 1 v I g 2 j 0 v21 I 21 ĝ 1 g 1 ĝ 2 j 1 v I g 3 k 0 v21 I 21 ĝ ĝ 3 k 1 v21 I 2 = Q 10 g 2 ĝ 3 g 3 z 1 z 0 ϕ

16 Ligadura cinemática no integrable Introducción a la Mecánica Analítica p. 16/24 La ligadura de z es integrable: el disco no se levanta del suelo: z 1 z 0 ϕ g 3 k 0 v I 21 = ĝ 3 k 1 v I 21 = = ż = 0 z = R Las de x e y no son integrables: C ψ y 1 I x 1 x 0 y 0 g 1 i 0 v I 21 = ẋ cosψ + ẏ sin ψ R ϕ = 0; g 2 j 0 v I 21 = ẋ sin ψ + ẏ cos ψ = 0 Proyectadas en ejes 1 2 Ecs, 4 Var. Dep, 1 Var. Indep. ĝ 1 i 1 v I 21 = ẋ R ϕcos ψ = 0; ĝ 2 j 1 v I 21 = ẏ R ϕsin ψ = 0

17 Ligaduras cinemáticas no integrables Introducción a la Mecánica Analítica p. 17/24 y 1 (ẋ,ẏ) s ϕ ψ x 1 ĝ ĝ2 2 ṡ = R ϕ s = Rϕ + C : Rueda sin deslizar ĝ 2 /ĝ 1 dy dx = tanψ : dirección de la rueda: libre! No puede integrarse: ψ no está determinado por la ligadura (si no, el recorrido del coche estaría fijado antes de arrancar) Está determinado si se da una ley ψ(s) fijar la trayectoria

18 Coordenadas generalizadas Introducción a la Mecánica Analítica p. 18/24 N partículas, g ligaduras sólo n = 3N g coordenadas independientes Sistema holónomo: las ligaduras se usan para eliminar las dependientes Sistema no holónomo: no se pueden usar las ligaduras no integrables para eliminar las dependientes Partícula sobre esfera lisa: f(r) x 2 + y 2 + z 2 R 2 = 0 Sistema holónomo, GDL = n = = 2. Eliminar una: z = ± R 2 x 2 y 2 ; (x,y) independientes Compleja e incómoda: raíz, no uniforme. Mejor coordenadas esféricas: ligadura {}}{ ρ = x 2 + y 2 + z 2 = R independientes {}}{ tanθ = y sin ϕ = z x R

19 Coordenadas generalizadas: sist. holónomos Introducción a la Mecánica Analítica p. 19/24 N partículas, g ligaduras finitas: n = 3N g independientes. Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que las independientes son las n primeras, n {}}{ x 1,y 1,z 1,x 2,...,x k, g {}}{ y k,z k,...,x N,y N,z N } {{ } 3N La configuración del sistema se puede expresar como: r i = r i (x 1,y 1,z 1...x k,t), i = 1...N y k,z k,...x N,y N,z N salen de las ecuaciones de las ligaduras. Olvidamos las ligaduras: ya están contadas

20 Coordenadas generalizadas: sist. holónomos Introducción a la Mecánica Analítica p. 20/24 Se puede trabajar con las coordenadas cartesianas independientes (para sólidos, también ángulos de Euler) r i = r i (x 1,y 1,z 1...x k,t), i = 1...N Con frecuencia es más cómodo usar otros n parámetros independientes, las coordenadas generalizadas: r i = r i (q 1,...,q n,t), i = 1...N Tienen que estar relacionadas como cambio de variable: (x 1,y 1,...,x k ) (q 1,q 2,...,q n ) 0 El movimiento del sistema estará perfectamente determinado cuando se conozcan q 1 (t),...,q n (t).

21 Coordenadas generalizadas: sist. holónomos Introducción a la Mecánica Analítica p. 21/24 Ejemplo: Dos partículas 1 y 2. Coordenadas: x 1,y 1,z 1,x 2,y 2,z 2. 3 Ligaduras: y 1 = 0 y 2 = 0 (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 = L 2 Escoger 3 coordenadas independientes: Dos determinadas directamente por las ligaduras y 1 = 0, y 2 = 0. De las otras cuatro, se puede despejar una, por ejemplo: z 2 = z 1 ± L 2 (x 2 x 1 ) 2 Raíz molesta. No uniforme: hay que distinguir qué signo tomar x 1,z1 arbitrarias; x 2 limitada por la ligadura z 1 x 1 z 1 2 y 2 x 2 x

22 Coordenadas generalizadas: sist. holónomos Introducción a la Mecánica Analítica p. 22/24 Es más conveniente tomar un conjunto de coordenadas generalizadas: q 1 = x 1 q 2 = y 1 q 3 = θ Las coordenadas de 1 y 2 pasan a ser: r 1 = (x 1, 0,z 1 ), r 2 = (x 1 + L cosθ, 0,z 1 + L sin θ) Las tres pueden tomar valores arbitrarios, y las r i están unívocamente definidas. Se puede comprobar que el jacobiano es distinto de cero: (x 1,y 1,x 2 ) (x 1,y 1,θ) = L sin θ z 1 x 1 z 1 = L sinθ θ 2 x

23 Coordenadas generalizadas: No holónomos Introducción a la Mecánica Analítica p. 23/24 Sistema con N partículas Sujeto a g ligaduras finitas o cinemáticas integrables (integradas) f j (r i,t) = 0, j = 1...g Sujeto a h ligaduras cinemáticas no integrables N i=1 A ik v i + B = 0, k = 1...h n grados de libertad GDL = 3N g h = n Pero no se pueden obtener n coordenadas generalizadas: las h ligaduras cinemáticas no sirven para reducir coordenadas Hay que usar m = 3N g > GDL coordenadas generalizadas no independientes

24 Espacio de configuración Introducción a la Mecánica Analítica p. 24/24 Espacio euclídeo R 3 : N partículas libres r i R 3, i = 1...N Espacio de configuración R 3N : Punto representativo del sistema: R = (x 1,y 1,z 1...,x N,y N,z N ) R 3N Variedad de configuración: Sistema sujeto a g ligaduras finitas f j (r i,t) = 0, j = 1,...,g Ecuaciones implícitas de una variedad (dim n) inmersa en R 3N Espacio de configuración (otra acepción) R n : n = 3N g coordenadas generalizadas. Punto representativo del sistema: R = (q 1,...,q n ) R n Ecuaciones paramétricas de la variedad de configuración