INTRODUCCIÓN AL MOVIMIENTO PLANO

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1 INTRODUCCIÓN AL MOVIMIENTO PLANO Índice 1. Introducción al movimiento plano Definición cinemática de movimiento plano Caso de Traslación pura Caso de Rotación pura Polares o Curvas de rodadura Propiedades de las curvas de rodadura Determinación analítica de las curvas de rodadura Campo de velocidades del movimiento plano y situación del CIR Posición del CIR Ecuaciones de la base Ecuaciones de la Ruleta Determinación geométrica de las curvas de rodadura Perfiles conjugados Campo de aceleraciones Fórmula del campo de aceleraciones Centro de aceleraciones Ejemplo del disco que rueda sin deslizar sobre una recta 6

2 1. Introducción al movimiento plano 1.1. Definición cinemática de movimiento plano Se dice que un sólido S tiene un movimiento plano respecto a otro S 1 si las velocidades de todos sus puntos son siempre paralelas a un plano fijo de S 1. Sea a un versor normal a dicho d a plano, constante en uno ( a a = 1, = ). De la definición anterior se tiene que: {{ dt {{ 1 unitario constante en 1 t, M S, a v M 1 a = Para dos puntos cualesquiera A y B de S, la fórmula del campo de velocidades es: A,B S, v A 1 = v B 1 + ω 1 BA Pre-multiplicando escalarmente por a la expresión anterior, se obtiene: a v 1 A = a v 1 B + a ( ω 1 BA) = = BA ( a ω 1 ), A,B S ω 1 = λ a Caso de Traslación pura Si λ(t) = ω 1 (t) = Traslación pura permanente. Su estudio es trivial por la sencillez del campo de velocidades uniforme en cada instante Caso de Rotación pura Si λ(t) v MD = v M 1 ω 1 ω 1 = ( v MD = ) Rotación pura permanente. EIRMD π M (M; v M 1 ) π N(N; v N 1 ) porque v MD = Por la estructura helicoidal del campo de velocidades de este segundo caso en cualquier plano π perpendicular al vector ω 1 se dan todas las velocidades posibles y todas ellas contenidas en el plano (por tener ω 1 dirección constante esto se produce de forma permanente). Nos restringimos a dicho plano geométrico y consideramos sendos planos π (ligado al sólido móvil) y π 1 (ligado al referente del movimiento) que coinciden geométricamente en π. El movimiento S /S 1 es equivalente al que tiene el plano π con respecto al plano π 1. Las ventajas de esta equivalencia se mostrarán posteriormente. Consecuencias: N EIRMD a t I π S S 1 C C 1 El EIRMD corta al plano π en un punto I denominado centro instantáneo de rotación (CIR). Las axoides del movimiento son cilindros de generatrices paralelas a a.

3 2. Polares o Curvas de rodadura Se llama base o polar fija a la intersección de la axoide fija con el plano π 1 (coincide con el lugar geométrico que describe el CIR en el plano π 1 ). Se llama ruleta o polar móvil a la intersección de la axoide móvil con el plano π (coincide con el lugar geométrico que describe el CIR en el plano π ) Propiedades de las curvas de rodadura Sea I el CIR del movimiento S /S 1. Se tiene: v MD = v I 1 = Movimiento sin deslizamiento Sea el mosquito (sólido 2) al que le gusta estar siempre en el centro instantáneo de rotación. Por composición de movimientos se tiene: v 21 I = v 2 I + v 1 I = v I (denominada velocidad de sucesión del centro instantáneo) Sean C 1 y C las polares fija y móvil respectivamente. Tomemos origen de arcos de ambas en la posición inicial y sean s 1 y s los parámetros longitud de arco respectivos. Por definición, se tiene: v I 21 = ds 1 dt t I C 1 v I 2 = ds dt t I C v 21 I = vi 2 { t I C 1 = t I C = t I Tangencia de las curvas de rodadura s 1 = s + Cte Igualdad de arcos recorridos Supongamos que π es el plano z = de un sistema de referencia. Sean ω 1 = λ k la velocidad angular y t I el versor tangente común a las curvas de rodadura en el CIR. La componente de pivotamiento sería: ω p 1 = ( ω 1 N) N ω N p = t I 1 = Movimiento sin pivotamiento a ω 1 Luego el movimiento plano que no es una traslación pura consiste en una rodadura sin pivotamiento y sin deslizamiento. De aquí que a las polares se las denomine también curvas de rodadura Determinación analítica de las curvas de rodadura Campo de velocidades del movimiento plano y situación del CIR v 1 M = v 1 I + ω 1 IM = ω 1 IM v 1 M = ω 1 IM (CVMP) Posición del CIR Convenimos en no poner el si es subíndice único, para simplificar la escritura. Para O : v 1 O = ω {{ 1 IO (1) {{ ξ ı 1 + η j 1 k 1 [ ω 1 (1)] : ω 1 v O 1 = ω 1 ( ω 1 IO) = = ω 1 2 IO OI = ω 1 v O 1 ω 1 2 = η ı 1 + ξ j 1 (2) η y 1 y I x O θ x 1 O 1 ξ 1

4 Ecuaciones de la base O 1 I = O 1 O+ OI Componentes x I 1 = ξ η y I 1 = η + ξ Geometría x I 1 = ξ dη dθ y I 1 = η + dξ dθ Ecuaciones de la Ruleta ı 1 j 1 k1 = ı j k [Q] 1 = ı j cosθ sinθ k sinθ cosθ (3) 1 OI = ı j x I η k y I z I = ı 1 j 1 k1 ξ (3) = ı j cosθ sinθ η k sinθ cosθ ξ 1 Componentes x I = ξsinθ ηcosθ y I = ξcosθ+ ηsinθ Geometría x I = dξ dη sinθ cosθ dθ dθ y I = dξ dη cosθ + sinθ dθ dθ 2.3. Determinación geométrica de las curvas de rodadura Perfiles conjugados N Se denominan Pareja de perfiles conjugados a una curva S del plano móvil y su envolvente S 1 en el plano M S fijo o viceversa. Los casos degenerados también tienen interés, como pronto veremos. Q S 1 Propiedad fundamental de los perfiles conjugados: la perpendicular común a una pareja de perfiles conjugados C pasa por el CIR. Demostración: I C 1 Sea una escuadra NMQ (sólido 2) que se mueve de forma que su lado MN permanece siempre normal en M a la pareja de perfiles conjugados en su punto de contacto. Por composición de movimientos se tiene: 1 2 v M 21 = v M 2 + v M 1 De las propiedades de los movimientos se concluye que: v 21 M t S M 1 v 2 M t S M t S M 1 = t S M t M (Envolvente e Involuta) vm 1 t M MN v 1 M = ω 1 IM IM { MN IM M común I,M,N alineados Con dos parejas de perfiles conjugados cuyas normales no sean paralelas se determina la posición del centro instantáneo de rotación. Por inspección de los lugares geométricos (geometría métrica) que recorre dicho punto en las referencias fija y móvil se determinan la base y la ruleta respectivamente. El ejemplo final ilustrará este procedimiento.

5 3. Campo de aceleraciones 3.1. Fórmula del campo de aceleraciones Dada la fórmula de campo de velocidades: v M 1 = ω 1 IM vamos a obtener por derivación la fórmula para el campo de aceleraciones. Recordemos que IM ω 1. γ 1 M = d vm 1 = d ω 1 IM + ω 1 d dt 1 dt 1 dt (O 1M O 1 I) = 1 = ᾱ 1 IM + ω 1 ( v 1 M vi ) = = ᾱ 1 IM + ω 1 ( ω 1 IM) ω 1 v I = = ᾱ 1 IM + ( ω 1 IM) ω 1 ω 1 2 IM ω 1 v I = = ᾱ 1 IM ω 1 2 IM ω 1 v I γ M 1 = ᾱ 1 IM ω 1 2 IM ω 1 v I (CAMP/1) 3.2. Centro de aceleraciones Se denomina centro de aceleraciones al punto H del plano que tiene aceleración nula. Vamos a demostrar que es único y cómo situarlo en cada instante. γ M 1 = ᾱ 1 IM ω 1 2 IM ω 1 v I H S γ H 1 = = ᾱ 1 IH ω 1 2 IH ω 1 v I (Restando) : γ M 1 = ᾱ 1 HM ω 1 2 HM (CAMP/2) El campo de aceleraciones se comporta en cada instante como el de una rotación alrededor del centro instantáneo de aceleraciones H (el campo de velocidades se comportaba en cada instante como el de una rotación alrededor del centro instantáneo de rotación I). La localización del centro instantáneo de aceleraciones H respecto al punto M de aceleración conocida (y en función de la velocidad y la aceleración angulares del movimiento plano), está dada por la fórmula resultante del siguiente desarrollo: γ M 1 = ᾱ 1 HM ω 1 2 HM ᾱ 1 HM = γ M 1 + ω 1 2 HM (4) ᾱ 1 (CAMP/2) : ᾱ 1 γ M 1 = ᾱ 1 (ᾱ 1 HM) ω 1 2 (ᾱ 1 HM) = = (ᾱ 1 HM)ᾱ 1 ᾱ 1 2 HM ω 1 2 (ᾱ 1 HM) = (4) = ᾱ 1 2 HM ω 1 2 ( γ M 1 + ω 1 2 HM) MH = ω 1 2 γ M 1 +ᾱ 1 γ M 1 ω ᾱ 1 2 (5)

6 4. Ejemplo del disco que rueda sin deslizar sobre una recta Sistema de referencia ligado al disco: y 1 O C Ox y Oy origen en el centro del disco diámetros ortogonales del disco Posicionamiento y Cinemática: O 1 C = ξ ı 1 +R j 1 v 1 C = do 1C dt 1 = ξ ı 1 ang( ı 1, ı) = θ ω 1 = k 1 Condición de no deslizamiento: v I 1 = = v C 1 + ω 1 CI = ( ξ R) ı 1 ξ = R C O R O 1 θ ξ I x 1 x Curvas de rodadura: La determinación del CIR en este caso es más sencilla por consideraciones geométricas que por analíticas. Una pareja de perfiles conjugados puede ser la circunferencia del disco y el eje O 1 x 1, por ser curva del plano móvil y su envolvente en el plano fijo. Una segunda pareja de perfiles conjugados sería el punto M del la periferia del disco que coincide con I en el instante en cuestión y su trayectoria en el plano fijo (la cicloide). Las normales a ambas parejas serían respectivamente IC y O 1 I. I IC O 1 I. La determinación geométrica de las curvas de rodadura es sencilla una vez conocida la posición del CIR y sus lugares geométricos en ambos planos. base: El punto I describe en el plano π 1 el eje O 1 x 1. ruleta: El punto I describe en el plano π la periferia del disco. Determinación analítica de la base: x I 1 = ξ y I 1 = R ξ = R R = (Ecuación explícita del eje O 1x 1 ) Determinación analítica de la ruleta: x I = Rsinθ y I = Rcosθ (Ecuaciones paramétricas de una circunferencia con centro en C y radio R) Además se tiene que: γ 1 C = d vc 1 = dt ξ ı 1 = R θ ı 1 1 ᾱ 1 = θ k 1 ᾱ 1 = θ Centro de aceleraciones: CH = 2 R θ ı 1 + θ k 1 R θ ı θ = R 2 θ ı1 + θ 2 j θ 2 y