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1 Contenido 1. Principios Variacionales 1.1 Cálculo de variaciones 1.2 Principio de Hamilton 1.3 Multiplicadores indeterminados de Lagrange 1.4 Teoremas de conservación y propiedades de simetría 1 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 1/43 43

2 Cálculo de variaciones Definiciones Principio diferencial: se considera un estado instantáneo del sistema y pequeños desplazamientos virtuales alrededor del mismo 1 Principio integral: considera el movimiento completo del sistema entre los tiempos t 1 y t 2 y pequeñas variaciones de su movimiento con respecto al original. y t 2 Espacio configuracional: hiperespacio cartesiano en donde las q s forman un conjunto de ejes coordenados de n direcciones. t 1 x Recorrido del movimiento: curva trazada por el sistema en el espacio configuracional conforme evoluciona el tiempo. 1 principio de D Alembert. 2 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 2/43 43

3 Cálculo de variaciones Fundamentos Consideremos el siguiente problema básico, y (x 2, y 2) Tenemos la relación, f = f[y(x), ẏ(x), x], (x 1, y 1) x: variable independiente definida en el intervalo [x 1, x 2 ]. y(x): función de x definida en el mismo intervalo y diferenciable. x definida en una trayectoria y(x) en el intervalo [x 1, x 2 ] y en donde ẏ(x) dy dx. El objetivo fundamental es encontrar y(x) tal que J = x2 x 1 sea un extremal. f(y, ẏ, x)dx 3 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 3/43 43

4 Cálculo de variaciones Fundamentos y (x 1, y 1) y(x, 0) (x 2, y 2) y(x, α) Sea y(x, 0) la trayectoria solución y y(x, α) alguna trayectoria vecina, tal que, x y(x, α) = y(x, 0) + αη(x), en donde α es una cantidad infinitesimal y η(x) satisface, η(x 1 ) = η(x 2 ) = 0. Para tal familia de curvas, J se puede expresar como, J(α) = x2 x 1 f[y(x, α), ẏ(x, α), x]dx, con la condición de extremal dada como, [ ] dj(α) = 0. dα α=0 4 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 4/43 43

5 Cálculo de variaciones Fundamentos Calculando la diferencial de la integral J(α), J(α) = x2 x 1 Considerando la segunda integral, f[y(x, α), ẏ(x, α), x]dx, dj x2 [ f dα = y x 1 y α + f ] ẏ dx. ẏ α debido a, x2 x 1 f ẏ x2 ẏ α dx = f 2 y x 1 ẏ x α dx y α = η(x), ẏ α = η(x) 2 y ẏ = η(x) = x α α. 5 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 5/43 43

6 Cálculo de variaciones Fundamentos Integrando por partes, x2 f ẏ f y dx = ẏ α ẏ α x 1 x 2 x2 x 1 x 1 d dx ( ) f y ẏ α dx, 2 debido a la condición de que la familia de curvas (representada por el parámetro α) debe pasar por (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 ), entonces y/ α se anula en los extremos, por tanto, dj x2 [ f dα = y x 1 y α + f ẏ x 1 ] ẏ x2 [ f dx = α x 1 y d dx ] f y ẏ α dx. Con lo cual la condición de extremal esta dada como, dj x2 [ f dα = dx α=0 y d ] f y y dx ẏ α = 0 α=0 α = η(x). 2 udv = uv vdu 6 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 6/43 43

7 Cálculo de variaciones Fundamentos Como η(x) es una función arbitraria, entonces J(α) tiene es un extremal si, f y d f dx ẏ = 0. La anterior se conoce como ecuación de Euler-Lagrange. Además, tenemos que la cantidad dα y α δy, α=0 representa el corrimiento infinitesimal del recorrido alterno con respecto al recorrido correcto y(x) en el punto x, por tanto representa un desplazamiento virtual. 7 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 7/43 43

8 Cálculo de variaciones Ejemplos: distancia más corta entre dos puntos y (x 1, y 1) y(x) (x 2, y 2) El elemento diferencial de distancia esta dado por, ds = dx 2 + dy 2 = 1 + x ( ) dy 2 dx, dx la longitud total de una curva yendo desde el punto 1 al 2 es, I = 2 1 ds = x2 x ( ) dy 2 dx. dx El funcional del problema es, f = 1 + ẏ 2. Sust. en la ec. de Euler- Lagrange, f y d dx ( ) f = 0, ẏ 8 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 8/43 43

9 Cálculo de variaciones Ejemplos: distancia más corta entre dos puntos (cont.) y (x 2, y 2) y(x) d ( ) ẏ dx 1 + ẏ 2 = 0, lo que equivale a, ẏ 1 + ẏ 2 = c c = cte. (x 1, y 1) calculando las parciales, f y = 0, f ẏ = x ẏ 1 + ẏ 2, ẏ = a a = y = ax + b. c 1 c 2, En donde a y b son ctes. de integración determinadas por los puntos (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ). 9 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 9/43 43

10 Cálculo de variaciones Ejemplos: Braquistocrona (tiempo mínimo) y 1 Si parte del reposo y v es la velocidad a lo largo de la curva, entonces el t desde 1 hasta 2 es, t 12 = 2 1 v dt = x ds v. Ahora, por conservación de energía, junto con V (y = 0) = 0, tenemos que 1 2 mv2 = mgy v = 2gy. Por tanto, sust. en t 12, t 12 = 2 1 ds 2gy = ẏ 2 2gy dx, identificando el funcional f, f = 1 + ẏ 2 2gy. 10 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 10/43 43

11 Cálculo de variaciones Ejemplos: Braquistocrona (tiempo mínimo) (cont.) 1 x Podemos obtener una expresión análoga, partiendo de f(ẏ, y, x), y De las ecs. de Euler-Lagrange, f y d dx v 2 ( ) f = 0 ẏ df dx = f x + f dy y dx + f dẏ ẏ dx = f x + ẏ f y + ÿ f ẏ, consideremos, ( ẏ f ) ẏ d dx = ẏ d dx ( ) f + ÿ f ẏ ẏ, resolver implica algebra excesiva!! 11 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 11/43 43

12 Cálculo de variaciones Ejemplos: Braquistocrona (tiempo mínimo) (cont.) restando las dos ecs. previas, df dx d ( dx ẏ f ẏ... = f x + ẏ f y ẏ d dx reescribiendo, [ d f ẏ f dx ẏ... = ẏ por tanto, [ d dx ] f [ f y d dx f ẏ f ẏ ) =... ( ) f. ẏ x =... ( )] f ẏ ] f x = 0 Regresando al problema, tenemos, f = 1 + ẏ 2 2gy f f(x), d [ f ẏ f ] dx ẏ = 0 Sustituyendo, d 1 + ẏ 2 dx 2gy ẏ 2 = 0, 2gy(1 + ẏ 2 ) integrando, y(1 + ẏ 2 ) = k/2g = a. 12 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 12/43 43

13 Cálculo de variaciones Ejemplos: Braquistocrona (tiempo mínimo) (cont.) proponiendo, entonces, ẏ = Ctg θ, y = a 1 + ẏ 2 = a 1 + Ctg 2 θ = asen 2 θ Ahora, = a (1 Cos 2θ). (1) 2 dx = dẏ asen 2θdθ = y Ctg θ 2aSen θcos θdθ = Ctg θ dx = 2aSen 2 θdθ Integrando, = a(1 Cos 2θ)dθ. x = a (2θ Sen 2θ) (2) 2 Relacionando las ecs. (1) y (2) para eliminar el parámetro θ, [ ] y x + y(2a y) a = 1 Cos. a lo cual corresponde a la ecuación de una cicloide. 13 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 13/43 43

14 Cálculo de variaciones Ejemplos: Braquistocrona (tiempo mínimo) (cont.) (x 1, y 1) πa 2πa x a x 2 y 2 x 2 y 2 2a x 2 = π 2 y2 3a y Para un caso particular, expandiendo en el límite y a tenemos, y = x2 2 a. 14 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 14/43 43

15 Principio de Hamilton Definición Principio de Hamilton El movimiento de un sistema desde el tiempo t 1 hasta el tiempo t 2 es tal qhe la integral de línea (llamada la acción o integral de acción), I = t2 t 1 Ldt, donde L = T V, tiene un valor estacionario para la trayectoria actual del movimiento. Sistemas monogénicos sistemas mecánicos para los cuales todas las fuerzas (excepto las de constricción) son derivables de potenciales escalares generalizados que pueden ser función de las coordenadas, velocidades y el tiempo. 3 3 Cuando el potencial sólo depende de las coordenadas, entonces se dice que el sistema es conservativo. 15 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 15/43 43

16 Principio de Hamilton Definición El principio de Hamilton se puede expresar, por tanto, como que la variación de la integral de línea I para unos tiempos t 1 y t 2 fijos es cero: t2 δi = δ L(q 1,..., q n, q 1,..., q n, t)dt = 0. t 1 Cuando las contricciones del sistema son holonómicas, entonces las ecuaciones de Lagrange pueden ser obtenidas mediante el principo de Hamilton, siendo éste una condición suficiente para derivar las ecuaciones de movimiento. 16 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 16/43 43

17 Principio de Hamilton Derivación de las ecuaciones de Lagrange desde el principio de Hamilton Generalizando el prob. fundamental del cálculo de variaciones para el caso donde f es una función de muchas variables y i y sus derivadas ẏ i : 2 δj = δ f(y 1 (x); y 2 (x),..., ẏ 1 (x); ẏ 2 (x),..., x)dx, 1 en donde hemos considerado que J = J(α) y que α etiqueta un set de curvas y i (x, α): y 1 (x, α) = y 1 (x, 0) + αη 1 (x), y 2 (x, α) = y 2 (x, 0) + αη 2 (x),.. y donde y 1 (x, 0), y 2 (x, 0), etc., son las soluciones del problema extremal y η 1, η 2, etc., son funciones independientes arbitrarias (continuas y diferenciables) de x que se anulan en los puntos frontera. 17 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 17/43 43

18 Principio de Hamilton Derivación de las ecuaciones de Lagrange desde el principio de Hamilton Calculando la variación de J, J α dα = 2 1 ( f i y i y i α dα + f ẏ i ẏ i α dα ) dx. Integrando por partes el segundo término de la suma anterior, 2 1 f ẏ 2 i ẏ i α = f 2 y i 1 ẏ i α x dx 4 = f y i 2 2 ( ) y i d f ẏ i α dx 1 1 α dx ẏ i 2 ( ) y i d f = dx 1 α dx ẏ i 4 ẏ i/ α = η i(x) = 2 y i/ α x 18 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 18/43 43

19 Principio de Hamilton Derivación de las ecuaciones de Lagrange desde el principio de Hamilton Sustituyendo lo anterior en la variación de J, J α dα = 2 δj = 1 i 2 en donde hemos definido, δj = dα J α 1 ( f d y i dx i α=0 f ẏ i ( f d y i dx ) yi α dαdx f ẏ i ) δy i dx & δy i = dα y i α α=0 lo cual para J representa la condición de extremal (δj = 0), por tanto, 2 ( f d ) f δy i dx = 0. 1 y i dx ẏ i i 19 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 19/43 43

20 Principio de Hamilton Derivación de las ecuaciones de Lagrange desde el principio de Hamilton Debido a que las y i s son variables independientes, las variaciones δy i también lo son, por tanto, para que la ecuación 2 sea cero, requiere que 1 i f d y i dx ( f d y i dx f ẏ i ) δy i dx = 0 f = 0 i = 1, 2,..., n. ẏ i La ecuación anterior representa la generalización a varias variables de la ecuación de Euler-Lagrange. 20 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 20/43 43

21 Principio de Hamilton Derivación de las ecuaciones de Lagrange desde el principio de Hamilton Haciendo ahora el link con el principio de Hamilton, I = 2 1 L(q i, q i, t)dt en donde el funcional es la lagrangiana y la integral es la acción. Para ello basta hacer las siguientes transformaciones, x t, y i q i, f(y i, ẏ i, x) L(q i, q i, t). Por tanto, las ecs. de Euler-Lagrange correspondientes a la acción I se transforman en las ecs de movimiento de Lagrange, d L L = 0 i = 1, 2,..., n k. dt q i q i en donde se asume que las q i s son independientes, por tanto el problema requiere que las k constricciones sean holonómicas. 21 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 21/43 43

22 Multiplicadores de Lagrange Extensión del principio de Hamilton a sistemas semi-holonómicos Al contar con un sist. que posee constricciones semi-holonómicas tipo f k (q 1, q 2,..., q n ; q 1, q 2,..., q n ) = 0, k = 1, 2,..., m 5 ya no es posible aplicar de manera estándar el principio de Hamilton para obtener las ecuaciones de movimiento de Lagrange, debido a que las q i s ya no son independientes. El procedimiento para eliminar tal inconveniente y poder aplicar Lagrange es desacoplar las fuerzas de constricción del lagrangiano de manera explícita mediante el método de los multiplicadores de Lagrange: m λ k f k = 0, 6 k=1 5 restricción holonómica: f(q 1, q 2,..., q n, t). 6 los mult. de Lagrange λ k son funciones indeterminadas. 22 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 22/43 43

23 Multiplicadores de Lagrange Extensión del principio de Hamilton a sistemas semi-holonómicos Para sistemas semi-holonómicos el principio de Hamilton se mantiene t2 t 1 dt j t2 δ Ldt = 0, t 1 ( L d ) L δq j = 0, q j dt q j Sin embargo, anular término a término cada elemento de la sumatoria ya no es posible debido a que las q j ya no son independientes, ya que tenemos aún mezcladas las k constricciones. Para desacoplar las q j hacemos uso de los mult. de Lagrange, ( t2 δ L + t 1 ) m λ k f k dt = 0. k=1 23 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 23/43 43

24 Multiplicadores de Lagrange Extensión del principio de Hamilton a sistemas semi-holonómicos de esta manera, ya podemos aplicar la variación por separado: a las n δq j y a las m λ k, teniendo así n + m variables independientes. Por simplicidad consideraremos λ k = λ k (t), entonces, las ecuaciones para δq j son 7 ( ) d L L = Q j j = 1, 2,..., n. dt q j q j donde, { [ m fk Q j = λ k d ( )] fk q k=1 j dt q j dλ k dt } f k, q j mientras que δλ k nos da las m ecuaciones de constricción, f k (q 1, q 2,..., q n ; q 1, q 2,..., q n ) = 0 k = 1, 2,..., m. 7 J. Ray, Amer. J. Phys. 34, 406 (1966). 24 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 24/43 43

25 Multiplicadores de Lagrange Ejemplo de un sistema semi-holonómico Consideremos una partícula cuyo lagrangiano es, sujeto a la constricción L = 1 2 m (ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2) V (x, y, z) f(ẋ, ẏ, y) = ẋẏ + ky = 0 k = cte. Las ecuaciones de movimiento se obtendrán aplicando la ec. d dt ( ) L L q q = Q q q = x, y, z. a cada una de las coord. de nuestro problema, es decir, x, y, y z. 25 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 25/43 43

26 Multiplicadores de Lagrange Ejemplo de un sistema semi-holonómico (cont.) Las ecuaciones resultantes de movimiento son, sujeto a la constricción mẍ + λÿ + λẏ + V x = 0, mÿ + λẍ kλ + λẋ + V y m z + V z ẋẏ + ky = 0. = 0, = 0, Lo cual nos da un sistema de 4 ecuaciones diferenciales que constan de 4 variables independientes: 3 coordenadas generalizadas (x, y, z) y 1 multiplicador de Lagrange (λ), el cual está relacionado con la condición de constricción. 26 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 26/43 43

27 Multiplicadores de Lagrange Aplicación a sistemas con const. holonómicas Recordemos la relación para las fuerzas generalizadas, { [ m fk Q j = λ k d ( )] fk dλ } k f k. q j dt q j dt q j k=1 Tal relación puede ser aplicable aún para sistemas con constricciones holónomicas del tipo f(q 1, q 2,..., q n, t) = 0, teniendo Q j = m k=1 λ k f k q j Las razones para aplicar tal formalismo 8 con const. holonómicas son: (1): no es deseable reducir todas las q s a coordenadas independientes, (2): se desea obtener las fuerzas de constricción. 8 descripción explícita de las relaciones de constricción en el problema 27 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 27/43 43

28 Fuerzas de constricción en sistemas holonómicos Ejemplo: cilindro rodante en un plano inclinado x θ para la energía potencial tenemos, V = Mg(l x)sen φ, Las coord. generalizadas son θ y x, y la relación de constricción es: rθ = x f(x, θ) = rθ x = 0 T viene del mov. del CM más la del movimiento alrededor del CM, φ en donde l es la longitud total del plano inclinado. Por tanto, la Lagrangiana viene dada como L = T V = Mẋ2 + Mr2 θ Mg(l x)sen φ T = 1 2 Mẋ Mr2 θ2, 28 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 28/43 43

29 Fuerzas de constricción en sistemas holonómicos Ejemplo: cilindro rodante en un plano inclinado (cont.) x Aplicando las ecs. para la coord. x, θ φ d L dt ẋ L x = Q x de Lagrange Q x = λ f x = λ, resolviendo, L ẋ = Mẋ L x sustituyendo, d L dt ẋ = Mẍ = MgSen θ, Mẍ MgSen φ + λ = / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 29/43 43

30 Fuerzas de constricción en sistemas holonómicos Ejemplo: cilindro rodante en un plano inclinado (cont.) x θ para la coord. θ, d dt φ L L θ θ = Q θ resolviendo, L θ = Mr2 θ sustituyendo, Mr 2 θ λr = 0, d L dt θ = Mr2 θ L θ = 0, reescribiendo las ecs. anteriores, Q θ = λ f θ = λr, Mẍ MgSen φ + λ = 0, rθ x = / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 30/43 43

31 Fuerzas de constricción en sistemas holonómicos Ejemplo: cilindro rodante en un plano inclinado (cont.) x θ Resolviendo el sist. Mẍ MgSen φ + λ = 0 (3) φ Mr 2 θ λr = 0 (4) diferenciando la ec. (5), rθ x = 0 (5) r θ = ẍ, sust. en (4), Mẍ = λ, ahora relacionando con (3) obtenemos lo siguiente, ẍ = gsen φ 2, λ = MgSen φ, 2 de donde también tenemos, θ = gsen φ. 2r En donde λ representa la fuerza de fricción (constricción). 31 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 31/43 43

32 Fuerzas de constricción en sistemas holonómicos Ejemplo: Péndulo simple x θ V = 0 r = l = cte. m (x, y) Recordemos que, T = 1 2 m(ṙ2 + r 2 θ2 ), V = mgrcos θ L = 1 2 m(ṙ2 + r 2 θ2 ) +... y =... + mgrcos θ La ec. de constricción es, r = l r l = 0. para la coord. r, d L dt ṙ L r = Q r, Q r = λ f r = λ calculando y sustituyendo las derivadas en la ec. anterior, m r mr θ 2 mgrcos θ = λ. 32 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 32/43 43

33 Fuerzas de constricción en sistemas holonómicos Ejemplo: Péndulo simple (cont.) V = 0 y calculando y sustituyendo las derivadas en la ec. anterior, x θ r = l m (x, y) Ahora para la coord. θ, d dt L L θ θ = Q θ, Q θ = λ f θ = 0, mr 2 θ + mgrsen θ = 0. Entonces debemos resolver el sist. m r mr θ 2 mgrcos θ λ = 0, mr 2 θ + mgrsen θ = 0, r l = 0. De la ec. de constricción tenemos que, ṙ = r = 0, 33 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 33/43 43

34 Fuerzas de constricción en sistemas holonómicos Ejemplo: Péndulo simple (cont.) θ V = 0 r = l = cte. y Sustituyendo en las ecs. anteriores, ml θ 2 + mglcos θ = λ, θ + g Sen θ l = 0. x m (x, y) Para hallar la fuerza de constricción, λ habría que resolver el sist. anterior para θ(t). Sin embargo ya se puede inferir la naturaleza de λ de las ecs. anteriores: ml θ 2 : fuerza centrífuga en la dirección ê r mgcos θ: comp. del peso en la dirección ê r Por tanto, λ representa la tensión en la cuerda en la dirección ê r. 34 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 34/43 43

35 Teoremas de conservación Momento generalizado Consideremos un sistema holonómico (y conservativo), el cual tiene n m coordenadas q i independientes, y ecuaciones de Lagrange dadas por, d L L = 0 i = 1, 2,..., n m. dt q i q i Al tener un sistema conservativo, entonces V = V (q 1, q 2,..., q n m ), por lo tanto, las ec. de Lagrange son, d (T V ) (T V ) = 0 d dt q i q i dt Expandiendo el primer término, T q i = q i n m i=1 1 2 m q2 i = m q i = p i. T + V = 0. q i q i 35 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 35/43 43

36 Teoremas de conservación Momento generalizado y coordenadas cíclicas Podemos definir una cantidad conocida como el momento generalizado o momento canónico, p i = L q i. En general L depende de las q i s y q i s L = L(q 1, q 2,..., q n m ; q 1, q 2,..., q n m ; t) Ahora, si L no contiene explícitamente alguna coordenada q i 9 entonces, de la ec. de Lagrange, d L L = 0 d L = 0, dp i dt q i q i dt q i dt = ṗ i = 0 p i = cte. Entonces se dice que la coordenada q i es una coordenada cíclica. 9 aunque si puede contener la correspondiente q i. 36 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 36/43 43

37 Teoremas de conservación Momento generalizado, coordenadas cíclicas y propiedades de simetría Del resultado anterior podemos llegar al siguiente Teorema de conservación El momento generalizado p i correspondiente a una coordenada cíclica es una constante de movimiento, es decir, se conserva. Ahora, existe una relación entre la simetría del problema y las cantidades que se conservan que se da mediante las coordenadas cíclicas. Si el sistema es invariante bajo la transformación continua de alguna coord. generalizada, q i, entonces T y V no cambiarán ante los cambios de q i, por tanto, L = 0 ṗ i = L = 0 p i = cte. q i q i 37 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 37/43 43

38 Teoremas de conservación Momento generalizado, coordenadas cíclicas y propiedades de simetría Se puede resumir lo anterior como, invariante ante operaciones de transformación continua (simetrías) Ejemplos cantidades que se conservan: momentos generalizados relacionados con tal traslación Masas puntuales moviéndose en un potencial distribuido de manera uniforme en un plano (z = 0) el prob. es invariante ante la traslación en x y y, al igual que bajo la rotación con respecto a z, por tanto las componentes P x, P y y L z son constantes de movimiento. Si ahora, ademas el potencial está actuando sólo en x 0 sólo la traslación en y permanece invariante, y por tanto solo P y sera una constante de movimiento. 38 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 38/43 43

39 Teoremas de conservación Conservación de la energía Consideremos un lagrangiano general, el cual puede ser función de las coord. q i, las velocidades q i y posiblemente el tiempo t, entonces la derivada total de L con respecto a t es dl dt = i De las ecs. de Lagrange, L q i dq i dt + i L q i d q i dt + L t. sustituyendo en dl/dt, dl dt = i d L q i + dt q i i d L = L dt q i q i L q i d q i dt + L t = i ( d dt ) L q i + L q i t 39 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 39/43 43

40 Teoremas de conservación Conservación de la energía reacomodando términos, ( d dt i ) L q i L + L q i t = 0. La cantidad en paréntesis la llamamos función de energía: h(q 1, q 2,..., q n ; q 1, q 2,..., q n ; t) = i q i L q i L por tanto, dh dt = L t. Si el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo, entonces dh/dt = 0. Por tanto, se dice que h se conserva o que se trata de una constante de movimiento. 40 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 40/43 43

41 Teoremas de conservación Conservación de la energía Sin embargo, aún no sabemos el significado físico de h, para ello analicemos un caso particular: un sistema de N partículas con const. holonómicas y esclerómicas, además de fuerzas conservativas. Para este sistema la energía cinética es, T = 1 m k ṙ 2 k k = 1, 2,..., N. 2 k Como las const. son holonómicas y no dependientes del tiempo, ṙ k = r k q i, q i i sust. en la energía cinética, T = k T = ij m k ( 1 2 ij ( ) ( ) rk rk q i q j q i q j m k r k q i r k q j ) q i q j = ij a ij q i q j. k 41 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 41/43 43

42 Teoremas de conservación Conservación de la energía Por tanto, la energía cinética es una función cuadrática homogénea de las velocidades generalizadas, con coeficientes de masa simétricos 10 a ij = 1 2 k m k r k q i r k q j. Por otro lado, tenemos que el teorema de Euler de funciones homogéneas establece que si f es una función homogénea de rango n f(λx 1, λx 2,..., λx k ) = λ n f(x 1, x 2,..., x k ) k i=1 x i f x i = nf. Entonces, aplicando el teorema de Euler a la energía cinética (n=2), 10 a ij = a ji. T q i = 2T. q i 42 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 42/43 43

43 Teoremas de conservación Conservación de la energía Ahora, como hemos considerado que las fuerzas son conservativas, entonces, L = T = 2T q i q i Por tanto, sustituyendo en h, h = i q i L q i L = T q i L q i i = 2T (T V ) h = T + V = E. entonces, la función de energía es, de hecho, la energía total del sistema. 43 / Omar De la Peña-Seaman IFUAP Mecánica Clásica M.C. Física 43/43 43