Matemáticas Especiales II Clase 8 Aspectos Geométricos II. Geometría de los cambios de coordenadas

Transcripción

1 Matemáticas Especiales II Clase 8 Aspectos Geométricos II Geometría de los cambios de coordenadas Octavio Miloni Facultad de Cs. Astronómicas y Geofísicas - Universidad Nacional de La Plata Octavio Miloni (Facultad de Cs. Astronómicas Matemáticas y GeofísicasEspeciales - Universidad II Clase Nacional 8 Aspectos de La Plata) Geométricos II Geometría de los cambios 1 / 15de

2 Aspectos Geométricos II Difeomorfismos y Flujo de Fase Transformaciones Diferenciables sobre Vectores y Campos Acción de Difeomorfismos sobre Campos Vectoriales Generalización del concepto de base para campos vectoriales Cambio de Coordenadas en Ecuaciones Diferenciales Acción de Difeomorfismos sobre Campos de Dirección Acción de Difeomorfismos sobre Flujos de Fase Octavio Miloni (Facultad de Cs. Astronómicas Matemáticas y GeofísicasEspeciales - Universidad II Clase Nacional 8 Aspectos de La Plata) Geométricos II Geometría de los cambios 2 / 15de

3 Transformaciones Diferenciables sobre Vectores y Campos Consideremos dos dominios M y N de espacios vectoriales. Sea v un vector aplicado en un punto x. Este punto además pertenece a una determinada curva, donde v es el tangente en ese punto particular. Sea f : M N una aplicación. Esta aplicación transforma la curva en otra curva en el conjunto N. En particular, el punto x lo transforma en N al punto y = f (x). De la misma manera, a cada punto de la curva ϕ(t) transformará en la curva f (ϕ(t)). Denotemos con f x0 ( v) al vector en N, transformado de v. La imagen del vector v bajo la transformación f es el vector velocidad con el que se mueve el punto f (ϕ(t)) lleva al punto x 0 que es ϕ(t 0 ) cuya velocidad es el vector v. Octavio Miloni (Facultad de Cs. Astronómicas Matemáticas y GeofísicasEspeciales - Universidad II Clase Nacional 8 Aspectos de La Plata) Geométricos II Geometría de los cambios 3 / 15de

4 Graficamente f x 0 v ϕ(t) f x0 ( v) f (x 0 ) f (ϕ(t)) M N ϕ f ϕ t 0 t Octavio Miloni (Facultad de Cs. Astronómicas Matemáticas y GeofísicasEspeciales - Universidad II Clase Nacional 8 Aspectos de La Plata) Geométricos II Geometría de los cambios 4 / 15de

5 Funciones Diferenciables Considerando que la función f es diferenciable en x 0 podemos calcular f x0 ( v) a través de f x0 ( v) = d d dt f (ϕ(t)), con ϕ(t 0 ) = x 0, t=t0 dt ϕ(t) = v t=t0 Observación. No suponer que la derivada termina dando un número, ya que el resultado debe ser el vector en N. Si M = N = R 3 tendremos que f (x, y, z) = (f 1 (x, y, z), f 2 (x, y, z), f 3 (x, y, z)) f x0 ( v) = Df (x 0 ) v donde Df = f 1 x f 2 x f 3 x f 1 y f 2 y f 3 y f 1 z f 2 z f 3 z (x0,y 0,z 0 ) Octavio Miloni (Facultad de Cs. Astronómicas Matemáticas y GeofísicasEspeciales - Universidad II Clase Nacional 8 Aspectos de La Plata) Geométricos II Geometría de los cambios 5 / 15de

6 El Espacio Tangente Definición: El Espacio Tangente. El conjunto de los vectores velocidad en un punto dado x 0 de movimientos que llevan x a través de una parametrización ϕ(t) es un espacio vectorial, que posee la misma dimensión que el espacio por donde se lleva a cabo el movimiento, M. Este espacio se denomina espacio tangente a M en el punto x 0 y es denotado T x0 M. Definición. El operador lineal f x0 es denominado derivada de la función f en el punto x 0. Ejemplo: La función de Whitney (función cúspide). Consideremos la función del plano en sí mismo: f (x, y) = (x 3 + xy, y) Primero obtengamos el Jacobiano de f que será la expresión en componentes de la derivada. [ 3x Df (x) = 2 ] + y x 0 1 Octavio Miloni (Facultad de Cs. Astronómicas Matemáticas y GeofísicasEspeciales - Universidad II Clase Nacional 8 Aspectos de La Plata) Geométricos II Geometría de los cambios 6 / 15de

7 La función Cúspide La transformación será degenerada cuando el Jacobiano tenga determinante nulo, por lo que el conjunto del plano donde hay degeneración será y = 3x 2. Al transformar este conjunto a través de f, tendremos (llamando al plano transformado uv), u = 2x 3, v = y Como la condición es que y = 3x 2 podemos relacionar u y v eliminando la variable x, donde obtenemos u = 2x 3, v = 3x 2, u2 4 + v 3 27 = 0 Octavio Miloni (Facultad de Cs. Astronómicas Matemáticas y GeofísicasEspeciales - Universidad II Clase Nacional 8 Aspectos de La Plata) Geométricos II Geometría de los cambios 7 / 15de

8 Graficamente y v f x u y = 3x 2 u2 4 + v3 27 =0 Octavio Miloni (Facultad de Cs. Astronómicas Matemáticas y GeofísicasEspeciales - Universidad II Clase Nacional 8 Aspectos de La Plata) Geométricos II Geometría de los cambios 8 / 15de

9 Cambio de coordenadas Los campos vectoriales definidos a partir de sistemas de ecuaciones diferenciales son de la forma, para el caso de un sistema autónomo: d x dt = F (x) Este elemento yace en el espacio tangente T x R n que por su propia estructura es su propio espacio tangente (el espacio tangente a R n es el mismo espacio). A veces, las simetrías del problema conlleva a elegir un sistema de coordenadas diferentes a las cartesianas. Por tal motivo, es necesario aplicar la teoría presentada para que los cambios de coordenadas estén enmarcados en la teoría de la acción de difeomorfismos sobre campos. Octavio Miloni (Facultad de Cs. Astronómicas Matemáticas y GeofísicasEspeciales - Universidad II Clase Nacional 8 Aspectos de La Plata) Geométricos II Geometría de los cambios 9 / 15de

10 Cambio de coordenadas en Ecuaciones Diferenciales Sea w N la imagen del campo vectorial v en M bajo la acción del difeomorfismo g, g : M N. Esto es, w = g ( v) Bajo estas hipótesis, tenemos el siguiente resultado: Teorema. El sistema de ecuaciones diferenciales d x dt = v( x), x M y el sistema d y dt = w( y), y N son equivalentes en el sentido de que si ϕ(t) es una solución del primero, g(ϕ(t)) es una solución del segundo, y viceversa. Octavio Miloni (Facultad de Cs. Astronómicas Matemáticas y GeofísicasEspeciales - Universidad II Clase Nacional 8 Aspectos de La Plata) Geométricos II Geometría de los cambios 10 / 15de

11 Ejemplo: Polares I Consideremos el sistema ẋ = y ẏ = x Si pasamos a coordenadas polares, x = ρ cos(θ) y y = ρ sin(θ). La forma más artesanal es calcular, a partir del cambio de coordenadas: ẋ = ρ cos(θ) ρ sin(θ) θ = ρ sin(θ) }{{} y ẏ = ρ sin(θ) + ρ cos(θ) θ = ρ cos(θ) }{{} x Resolviendo el sistema en ρ y en θ obtenemos ρ = 0, θ = 1 Octavio Miloni (Facultad de Cs. Astronómicas Matemáticas y GeofísicasEspeciales - Universidad II Clase Nacional 8 Aspectos de La Plata) Geométricos II Geometría de los cambios 11 / 15de

12 Ejemplo: Polares II El difeomorfismo g viene definido como g : R 2 R [0, 2π] a partir de g(x, y) = (r, θ) = ( ( y ) x 2 + y 2, arctan ) x [ ] y Apliquemos ahora el g al campo vectorial v( x) =. x Entonces, aplicando el difeomorfismo al campo, tenemos [ x y ] [ ] [ ] g ( v( x)) = Dg v = x 2 +y 2 x 2 +y y 0 2 y = = v x 1 ρ ρ + v θ θ x 2 +y 2 x x 2 +y 2 que produce el sistema de ecuaciones cuya solución, es, ρ = 0, ρ(t) = ρ 0, θ = 1 θ(t) = θ 0 t retornando a las variables cartesianas, tenemos como solución x(t) = ρ 0 cos(θ 0 t), y(t) = ρ 0 sin(θ 0 t) Octavio Miloni (Facultad de Cs. Astronómicas Matemáticas y GeofísicasEspeciales - Universidad II Clase Nacional 8 Aspectos de La Plata) Geométricos II Geometría de los cambios 12 / 15de

13 Ciclos Límites. Atractores Otro Ejemplo. Consideremos ahora el sistema ẋ = y + x (1 x 2 y 2 ) ẏ = x + y (1 x 2 y 2 ) Si queremos expresar el sistema en coordenadas polares, aplicamos el mismo difeomorfismo que en el ejemplo anterior, así que la aplicación del g se efectúa con la misma matrix jacobiana, entonces, x g ( v) = x 2 +y 2 y x 2 +y 2 y [ x 2 +y 2 y + x (1 x 2 y 2 ] ) x x 2 +y 2 x + y (1 x 2 y 2 ) Haciendo el producto, resulta facilmente [ ρ(1 ρ g ( v) = 2 ] ) 1 Entonces, el sistema en polares resulta ρ = ρ(1 ρ 2 ) θ = 1 Octavio Miloni (Facultad de Cs. Astronómicas Matemáticas y GeofísicasEspeciales - Universidad II Clase Nacional 8 Aspectos de La Plata) Geométricos II Geometría de los cambios 13 / 15de

14 La Solución Cuyas soluciones son, a saber e t ρ(t) = c 1 + c 2 e 2t θ(t) = θ 0 t Podemos notar que la curva lim t ρ(t) = 1. Esta curva se la denomina ciclo ĺımite. También este efecto se lo conoce como atractor. Octavio Miloni (Facultad de Cs. Astronómicas Matemáticas y GeofísicasEspeciales - Universidad II Clase Nacional 8 Aspectos de La Plata) Geométricos II Geometría de los cambios 14 / 15de

15 Bibliografía utilizada y recomendada [1] Arnol d, Vladimir I. Ordinary Differential Equations, Ed. Springer. (1991) [2] Arnol d, Vladimir I. Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations, Ed. Springer. (1980) [3] Doering, Claus I., Lopes, Arthur O. Equações Diferenciais Ordinárias, Ed. Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, IMPA. (2005). [4] Hurewicz, Witold. Sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Ediciones RIALP, Madrid. (1958). Octavio Miloni (Facultad de Cs. Astronómicas Matemáticas y GeofísicasEspeciales - Universidad II Clase Nacional 8 Aspectos de La Plata) Geométricos II Geometría de los cambios 15 / 15de