Lección 4. Integrales múltiples. 4. Superficies parametrizadas.

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1 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL CURSO 0 MATEMÁTICAS III DPTO DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 4 Integrales múltiples 4 Superficies parametrizadas Representación paramétrica de una superficie La primera idea intuitiva que se tiene de la noción de curva es la de ser una deformación de un intervalo De ahí la definición dada: es la imagen en el espacio de una determinada aplicación continua definida en un intervalo de números reales Las coordenadas de los puntos de la curva vienen dadas por las componentes de dicha aplicación, cada una de las cuales es una función de un sólo parámetro De manera análoga, la primera idea intuitiva de la noción de superficie es la de ser una deformación de una determinada región del plano Siguiendo el mismo esquema, diremos entonces que una superficie es la imagen en el espacio de una aplicación continua definida en una región del plano Las coordenadas de los puntos de la superficie vienen dadas por las componentes de dicha aplicación, cada una de las cuales es una función de dos parámetros DEFINICIÓN Una superficie parametrizada en es la imagen de una función continua S definida en una región D que toma valores en, esto es, S uv D Suv uv yuv zuv :(, ) (, ) = (, ), (, ), (, ) Las variables independientes de la función S se llaman parámetros de la superficie y la propia función S recibe el nombre de parametrización de la superficie La imagen por S de la frontera de la región D se llama borde o contorno de la superficie Si S es inyectiva, lo que significa que no hay puntos dobles, entonces se dice que la superficie es simple Como en el caso de las curvas, la palabra superficie se utilizará, por abuso del lenguaje, para nombrar tanto al conjunto de puntos SD como a la propia parametrización S El conteto siempre aclara si se refiere a una cosa o a otra También como en el caso de las curvas, una misma superficie puede ser representada por distintas parametrizaciones GRÁFICAS DE FUNCIONES En secciones anteriores hemos considerado superficies definidas por una ecuación eplícita de la forma z = f(, y), donde f es una función escalar continua definida en una región plana D En ese caso, los parámetros de la superficie son e y y la parametrización viene dada por S:(, y) D S(, y) = (, y, f(, y) ) Entre las superficies que son gráficas de funciones destacamos los planos de la forma a + by + cz = d, siempre que c 0, el paraboloide z = + y, el paraboloide hiperbólico z = y, una de las hojas del hiperboloide

2 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL CURSO 0 MATEMÁTICAS III DPTO DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 4 Integrales múltiples de dos hojas z y = + + y el hemisferio = También podemos citar en este bloque de superficies a una de las hojas del cono z y z = + y SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN Consideremos una curva C contenida en el plano = 0 Si hacemos girar esta curva alrededor del eje OZ obtenemos una superficie conocida como superficie de revolución Vamos a obtener una parametrización de dicha superficie Para ello partimos de una parametrización de la curva C dada por la función Ct () = ( 0, yt (), zt ()) con t I Fijado un punto Ct () de dicha curva, si lo giramos alrededor del eje OZ un ángulo θ [0, π ], obtenemos el punto St (, θ): = yt ()cos θ, yt ()sen θ, zt () De esta forma obtenemos la parametrización de la superficie de revolución S t I S t y t y t z t :(, θ) [0, π] (, θ) = ()cos θ, ()sen θ, () Muchos de los ejemplos de superficies que han aparecido a lo largo del curso son ejemplos de superficies de revolución Citemos por ejemplo la esfera centrada en el origen, el paraboloide de ecuación z = + y, una de las hojas del hiperboloide de dos hojas, de ecuación z = + + y Además de estos tres ejemplos aparecen otros de bastante importancia que detallamos a continuación EJEMPLO Si consideramos la semicircunferencia en el plano y = 0, centrada en el origen y de radio π π r > 0, parametrizada mediante Cu = (0, rcos ur, sen u), donde u,, obtenemos la siguiente parametrización de la esfera π π S u θ π S u θ = r u θ r u θ r u :(, ), [0, ] (, ) ( cos cos, cos sen, sen ) Es interesante observar que con esta parametrización se obtienen dos puntos que no son simples Concretamente el polo sur y el polo norte de la esfera son puntos múltiples Esta situación se presenta siempre que tengamos una superficie de revolución obtenida a partir de una curva en el plano y = 0 que corte al eje OZ EJEMPLO Consideremos el cilindro de ecuación + y = r, con z En este caso hacemos girar el segmento contenido en el plano = 0, con y = r y z [, ] Obtenemos la parametrización S:( z, θ) [,] [0, π] S( z, θ) = ( rcos θ, rsen θ, z) EJEMPLO Consideremos el cono de ecuación + y = z En este caso hacemos girar la recta de z = y, ecuación parametrizada por Ct () = (0,,) tt Obtenemos la parametrización = 0, S t S t = t t t :(, θ) [0, π] (, θ) ( cos θ, sen θ, ) EJEMPLO El toro de revolución es la superficie que se obtiene al girar una determinada circunferencia, contenida en un plano que contiene al eje OZ, alrededor del eje OZ Concretamente, si fijamos dos números 0 < b< a y consideremos la circunferencia en el plano = 0 centrada en el punto

3 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL CURSO 0 MATEMÁTICAS III DPTO DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 4 Integrales múltiples ( a,0,0) y de radio b, entonces llamaremos toro a la superficie que se obtiene al girar dicha circunferencia alrededor del eje OZ Teniendo en cuenta que una parametrización de la circunferencia es Cu = (0, a+ bcos ub, sen u), cuando el parámetro u [ 0, π ], obtenemos que una parametrización del toro es S u θ π π S u θ a b u θ a b u θ b u : (, ) [0, ] [0, ] (, ) = ( + cos )cos,( + cos )sen, sen OBSERVACIÓN De forma análoga a como se ha realizado aquí se pueden obtener superficies de revolución con otros ejes de giro En concreto, consideremos una curva C contenida en un plano que contiene al eje sobre el que se gira Si hacemos girar C sobre este eje, se obtiene una superficie de revolución Se deja como ejercicio para el alumno, puesto que también son importantes, obtener las ecuaciones de las superficies de revolución con ejes de giro los ejes OX y OY Plano tangente y vector normal a una superficie parametrizada Si sólo nos conformamos con eigir que la parametrización S sea continua, entonces la superficie S puede degenerar en un punto o en una curva Evitaremos estos casos eigiendo que la parametrización S cumpla ciertas condiciones que, esencialmente, significan que, en cada uno de sus puntos, la superficie admite un plano tangente Consideremos una superficie S que está parametrizada por una función S uv D Suv uv yuv zuv :(, ) (, ) = (, ), (, ), (, ) Sea ( ut (), vt ()), con t en un intervalo I, una curva regular contenida en D Entonces C: t I Ct (): = Sut ( (), vt ()) = ut ( (), vt ()), yut ( (), vt ()), zut ( (), vt ()) es una curva contenida en S que se llama curva parametrizada sobre la superficie En particular, se pueden considerar sobre S las curvas que se obtienen al hacer u constante y v= t, o bien v constante y u = t Estas curvas se llaman líneas coordenadas sobre la superficie La red de líneas coordenadas sobre la superficie corresponde a la red de líneas rectas paralelas a los ejes en el plano de A = ( u, v ) = u( t ), v( t ) de la curva en la región D y sea los parámetros Consideremos un punto P= C( t ) Si la función S es diferenciable, entonces, por la regla de la cadena, tenemos ( C ( t0) = u( u( t0), v( t0)) u ( t0) + v( u( t0), v( t0)) v ( t0), yu( ut ( 0)) u ( t0) + yv( ut ( 0)) v ( t0), zu( ut ( 0)) u ( t0) + zv( ut ( 0)) v ( t0) = S ( A) u ( t ) + S ( A) v ( t ) u 0 v 0 Si convenimos que un vector es tangente a la superficie en P si es el vector tangente en dicho punto a una curva sobre la superficie, entonces la igualdad anterior prueba que el conjunto de todos los vectores tangentes a una superficie en P está generado por los siguientes dos vectores { Su A = ( u A yu A zu A ) Sv A = ( v A yv A zv A )},,,,,, siempre que estos sean linealmente independientes Estos vectores Su ( A ) y Sv ( A ) son tangentes a las líneas coordenadas Stv (, 0) y Su ( 0, t ) OBSERVACIÓN La idea intuitiva que tenemos de lo que es una superficie eige que en cada punto de la misma eista un plano de vectores tangentes En consecuencia, tenemos que imponer que, en )

4 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL CURSO 0 MATEMÁTICAS III DPTO DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 4 Integrales múltiples cada punto, los vectores Su ( A ) y Sv ( A ) sean linealmente independientes, lo que ocurre si, y sólo si, su producto vectorial Su( A) Sv( A) es distinto de cero, o equivalentemente Su( A) Sv( A) 0 En este caso, este producto vectorial es un vector perpendicular a toda curva regular contenida en la superficie que pasa por el punto correspondiente Decimos en este caso que el punto P= S( A) es un punto regular de la superficie y se define el plano tangente a la superficie S en el punto P con el plano que pasa por P con vector normal Su( A) Sv( A) El producto vectorial Su( A) Sv( A) se llama producto vectorial fundamental de la superficie S EJEMPLO Si la superficie es la gráfica de una función z = f(, y), definida en el conjunto D, hemos visto que se pueden considerar las variables e y como parámetros y obtener así la para- S:(, y) D S(, y) =, y, f(, y) En este caso, metrización S (, y) = (,0, f (, y)) y S (, y) = (,0, f (, y)) por lo que el vector normal viene dado por S(, y) Sy(, y) ( f(, y), fy(, y),) = y, por tanto, el producto vectorial fundamental nunca es cero y todos los puntos son regulares Por tanto, el plano, y, f(, y ) tiene la forma tangente a S en el punto f (, y )( ) f (, y )( y y ) + ( z f(, y )) = 0, y es decir, z = f( 0, y0) + f( 0, y0)( 0) + fy( 0, y0)( y y0), fórmula que ya hemos obtenido EJEMPLO Para una superficie de revolución parametrizada por Stθ = ( yt θ yt θ zt) donde ( t, θ ) I [0, π ] se obtiene, que y y (, ) ()cos, ()sen, (), = ( ) y S t = ( y t y t ) S (, t θ) y ()cos t θ, y ()sen t θ, z () t t De esta forma su producto vectorial fundamental es θ (, θ) ()sen θ, ()cos θ,0 ( ) S Sθ ( t, θ) = ytzt cos θ, ytzt sen θ, ytyt t En particular, obtenemos que St t θ Sθ t θ y t ( y t z t ) (, ) (, ) = () () + () De esta forma, el punto Stθ (, ) es regular si, y sólo si, yt () 0(esto es, la curva C que genera la superficie de revolución no toca al eje de revolución) y el punto (0, yt, zt ) es un punto regular de la curva C En particular, si todos los puntos de la curva C tienen primera coordenada positiva y son puntos regulares entonces todos los puntos de la superficie obtenida son regulares Esto es lo que sucede, por ejemplo, con el toro de revolución En este caso el producto vectorial fundamental es u S ( u, θ) S ( u, θ) = ( a+ bcos u) bcosucos θ, ( a+ bcos u) bcosusen θ, bsen u( a+ bcos u) θ y, por tanto, obtenemos que φ(, θ) θ(, θ) ( cos ) 0 S u S u = b a+ b u puesto que a > b> 0 Por tanto, si se verifica que yt ( 0) 0, el plano tangente en el punto St ( 0, θ 0) = ( 0, y0, z0) es z ( t )cos θ ( ) z ( t )sen θ ( y y ) + y ( t )( z z ) = Por ejemplo, si consideramos el toro parametrizado por 4

5 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL CURSO 0 MATEMÁTICAS III DPTO DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 4 Integrales múltiples Su (, θ) = ( + cos u)cos θ,( + cos u)sen θ,sen u, donde (u, θ ) [0, π] [0, π] En el punto S π, π = (0,,) π π este caso, zu = senuy z = cos = 0 el plano tangente es z = ya que, en EJERCICIO En los siguientes casos, describe las superficies mediante una ecuación si es posible y determina el producto vectorial fundamental: () El plano Suv (, ) = ( a+ bu + cva, + bu + cva, + bu + cv ) () El paraboloide Suv (, ) = ( aucos vbu, sen vu, ) () La superficie de revolución Suv (, ) = ( ucos vu, sen vzu, ), siendo zu una función real (4) El cilindro elíptico Suv (, ) = ( ua, sen vb, cos v) (5) El elipsoide Suv (, ) = ( asen ucos vb, sen usen vc, cos u) (6) El cono Suv (, ) = ( avcos ubv, sen uv, ) (7) El paraboloide hiperbólico Suv (, ) = ( uvu,, v) EJERCICIO Determina la ecuación del plano tangente y de la recta normal a cada una de las siguientes superficies en el punto que se indica () La copa parabólica z = + y, en el punto (,,5) () La semiesfera unidad z = y, en el punto,, () La hoja triangular + y+ z =,, y, z 0 en,, 4 4 (4) El cono Suv (, ) = ( vcos uv, sen uv, ) en el punto (, 0,) (5) El paraboloide hiperbólico Suv (, ) = ( uvu,, v) en el punto (,, 0) (6) La superficie Suv (, ) = ( u vu, + vuv, ) en el punto P = (,, ) 5