CINEMÁTICA. SOLUCIÓN DE MECÁNICA VECTORIAL (DINÁMICA) Ferdinand L.Singer. Asignatura: DINÁMICA (IC - 244) Docente: Ing. CASTRO PERÉZ,Cristian

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL CINEMÁTICA PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA SOLUCIÓN DE MECÁNICA VECTORIAL () Ferdinand L.Singer Asignatura: (IC - 244) Docente: Ing. CASTRO PERÉZ,Cristian Alumnos: CARBAJAL SULCA, Wilber GÓMEZ HUAZACCA, Káterin Roxana JAHUÍN BONIFACIO, Daysy YUCRA AGUILAR, Samuel Semestre Académico 2012 II AYACUCHO PERÚ 2013

2 Índice 1. PROBLEMA N Componente rectangular del movimiento curvilíneo PROBLEMA N Componente rectangular del movimiento curvilíneo PROBLEMA N Componente rectangular del movimiento curvilíneo PROBLEMA N Componente radial y transversal del movimiento curvilíneo PROBLEMA N Componente radial y transversal del movimiento curvilíneo PROBLEMA N Cinemática de cuerpo rígido PROBLEMA N Cinemática de cuerpo rígido PROBLEMA N Cinemática de cuerpo rígido PROBLEMA N Cinemática de cuerpo rígido PROBLEMA N PROBLEMA N Cinemática de cuerpo rígido PROBLEMA N Cinemática de cuerpo rígido

3 Índice de figuras 1. Problema Solución del problema Problema Solución del problema Problema Solución del problema Problema Solución del problema Problema Solución del problema Problema Solución del problema Solución final del problema Problema Solución del problema Problema Solución del problema Problema Solución del problema Problema Solución del problema Problema Solución del problema Problema Solución del problema

4 DINA MICA UNSCH EFP: INGENIERI A CIVIL 4

5 1. PROBLEMA N Componente rectangular del movimiento curvilíneo El pasador P se mueve por una trayectoria curva determinada por los movimientos de los eslabones ranurados A y B. En el instante mostrado por la figura, A tiene una velocidad de 30 cm/s y una aceleración de 25 cm/s 2, ambas hacia la derecha, mientras que B tiene una velocidad de 40 cm/s y una aceleración de 12.5 cm/s 2, ambas verticalmente hacia abajo. Determinar el radio de curvatura de la trayectoria de P en ese instante. SOLUCIÓN: Figura 1: Problema 01 Figura 2: Solución del problema 01 Tenemos: V A = 30îcm/s a A = 25îcm/s2 V B = 40ĵcm/s a B = 12,5ĵcm/s2 5

6 La velocidad y aceleración de P: V = VA + VB = 30î 40ĵcm/s a = aa + a B = 25î 12,5ĵcm/s2 La aceleración normal está definida por: a n = V a V Reemplazando en (1) obtenemos el radio de curvatura: = V 2 ρ V 3 V a ρ = V 3 V a ρ = ρ = 200cm 6

7 2. PROBLEMA N Componente rectangular del movimiento curvilíneo La posición del pasador P en la ranura circular que se ve en la figura está controlada por la guía inclinada que se mueve hacia la derecha con una velocidad constante de 6.4cm/s en cada intervalo de movimiento.calcular la velocidad y la aceleración de P en la posición dada. Sugerencia: trazando la posición de la guía un corto tiempo t después de la posición dada, obtener las coordenadas absolutas del movimiento (a lo largo de la guía) en términos de tiempo. El movimiento absoluto de P en la ranura circular es igual a la suma Geométrica del movimiento de la guía más el de P a lo largo de la misma. SOLUCIÓN: Figura 3: Problema 02 De la figura se obtiene: Figura 4: Solución del problema 02 x = Rcosθ,y = Rs inθ x = 12,5 ( ) 3 5 x = 7,5cm y = 12,5 ( ) 4 5 y = 10cm x = 7,5cm ; y = 10cm De la gráfica se obtienes la ecuación de la circunferencia: x 2 + y 2 = 12,5 2 7

8 Derivamos la ecuación para obtener la velocidad en y: 2xẋ + 2yẏ = 0 si ẋ = 6,4cm/s ẏ = xẋ y ẏ = 7,5(6,4) 10 ẏ = 4,8m/s 2 Volvemos a derivar para obtener la aceleración en y: 2xẋ + 2yẏ = 0 2xẍ + 2yÿ + 2(ẋ) 2 + 2(ẏ) 2 = 0 xẍ + yÿ + (ẋ) 2 + (ẏ) 2 = 0 ẍ = 0 ÿ = (ẋ)2 +(ẏ) 2 y ÿ = 6,42 +( 4,8) 2 10 ÿ = 6,4cm/s 2 8

9 3. PROBLEMA N Componente rectangular del movimiento curvilíneo Una varilla telescópica mostrada en la figura hace mover el pasador P a lo largo de la trayectoria fija dado por y = 1 22,5 x2 Cuando x = 15cm se sabe que la velocidad y la aceleración de P son respectivamente v = 30i + 40jcm/s y a = 25i + 50jcm/s 2 Cuál es entonces la aceleración angular de la varilla? SOLUCIÓN: Figura 5: Problema 03 Figura 6: Solución del problema 03 Comprobamos que: y = 1 ( 22,5 x2 v = (ẋ,ẏ) v = ẋ, ) 2 22,5 xẋ = (30,40) Derivando la ecuación 2 ẋ = 3a = (ẍ, 22,5ẋ2 + 2 x = 25tgθ = 22,5ẋẍ)ẍ 30 y tgθ = x 30 y sec2 θ θ (30 y)ẋ x( ẏ) = (30 y) 2...(1) Hallamos θ: y = 10 Reemplazando en la ecuacion 1 θ = 2,4567 Derivando una vez más la ecuación 1: 9

10 Para: 2senθ θ 2 cos 3 θ + θsec 2 θ = (30 y)2 (30ẍ (ẏẋ + ẍẏ) + ẋẏ + ÿx) 2(30 y)(ẏ)(30ẋ yẋ + xẏ) (30 y) 2 ẋ = 30 ẏ = 40 ẍ = 25 Obtenemos: La aceleracion angular es: ÿ = 50 θ = 3,30rad/s 2 α = 3,30rad/s 2 10

11 4. PROBLEMA N Componente radial y transversal del movimiento curvilíneo La manivela AB de un mecanismo de un brazo oscilante de retroceso rápido que se ve en la figura,gira con una rapidez constante en el sentido de giro de las manecillas del reloj a11,2rad/s.calcular la aceleración angular del brazo CD en el instante en que la manivela AB esta horizontal como se ve en la figura SOLUCIÓN: Figura 7: Problema 04 Se observa que es movimiento en coordenadas polares donde Hallamos la velocidad y la aceleración para la manivela AB: Datos: θ = 11,2rad/s, θ = 0 r AB = 25cm,ṙ AB = 0, r AB = 0 Además: Luego: Hallamos la aceleración radial: v r = ṙ ṙ AB = 0 = v r v θ = r θ v θ = 25 11,2 = 280 v = vr 2 + vθ 2 = 280cm/s a r = r r θ 2 a r = ,2 2 = 3136 a θ = r θ + 2ṙ θ a θ = = 0 Luego: a = a 2 r + a 2 θ = 3136cm/s2 Hallamos la velocidad y la aceleración de β para el brazo rasurado De gráfico se tiene: 11

12 Figura 8: Solución del problema 04 De donde se obtiene la velocidad angular: a θ = a r Cosθ v r = v b Cosθ v θ = v b Senθ Hallamos la aceleración angular: v r = ṙ ṙ CB = 280Cosθ 250,4 v θ = r θ r θ = 280Senθ θ = 2,24rad/s a r Cosθ = 2ṙ CB + r CB θ θ = a rrcosθ 2ṙ CB r CB θ = 3136Cosθ+2(250,4)(2,24) 55,4 θ = 30,09rad/s 2 Esto indica que la aceleración angular es de rad/s 2 girando en sentido de las manecillas del reloj. 12

13 5. PROBLEMA N Componente radial y transversal del movimiento curvilíneo En la posición mostrada en la figura, el extremo de 60 cm/s A de la varilla tiene una componente de velocidad, hacia la derecha, de y una componente de aceleración, hacia arriba, de. determine la aceleración angular de la varilla en esta posición. SOLUCIÓN: Figura 9: Problema 05 Figura 10: Solución del problema 05 De la figura obtenemos: Según las siguientes ecuaciones : V r = V cosθ, V r = 60 ( ) 4 5 V r = 48cm/s V θ = 60 ( 3 5 ) V θ = 36rad/s V θ = V sinθ V r = ṙ ; V θ = r θ V r = ṙ = 48cm/s V θ = 36 V θ = r θ, r = 25 θ = θ = 1,44rad/s 13

14 De la gráfica se obtiene lo siguientes: V r = V cosθ, V r = 60 ( ) 4 5 V r = 48cm/s V θ = 60 ( ) 3 5 V θ = 36rad/s V r = ṙ ; V θ = r θ V r = ṙ = 48cm/s V θ = 36 V θ = r θ, r = 25 θ = θ = 1,44rad/s V θ = V sinθ De la gráfica se obtiene lo siguientes: V r = V cosθ, V r = 60 ( ) 4 5 V r = 48cm/s V θ = 60 ( 3 5 ) V θ = 36rad/s V θ = V sinθ Por formula se tienes : V r = ṙ ; V θ = r θ V r = ṙ = 48cm/s V θ = 36 V θ = r θ, r = 25 θ = θ = 1,44rad/s De la gráfica se obtiene lo siguientes: a θ = acosθ,a r = asinθ a θ = 120 ( ) 4 5 a θ = 95rad/s 2 a θ = r θ + 2ṙ θ = ṙ θ θ = r θ = 95 2(48)( 1,44) 25 θ = 9,3696rad/s 2 14

15 6. PROBLEMA N Cinemática de cuerpo rígido El cuerpo B hace que el tambor compuesto de la figura, rueda sin resbalar hacia arriba del plano. Si la aceleración lineal de B es 0.6 m/s 2 hacia abajo, calcular la aceleración lineal del cuerpo A. Suponga que la cuerda que sostiene a A. Suponga que la cuerda que sostiene a A permanece vertical. Figura 11: Problema 06 SOLUCIÓN: Determinamos: r B/O r B/O = 0,9Sen37î 0,9Cos37ĵ r B/O = 0,54î 0,72ĵ a B = 0,6m/s 2 r B/O = 0,54î 0,72ĵ a B = 0,6m/s 2 Figura 12: Solución del problema 06 Hallamos a B : 15

16 Pero: Si: a B a B = ao + α r B/O + ω OB ( ω OB ) r B/O a B = α ˆk ( 0,54î 0,72ĵ) + ωˆk ( ωˆk ( 0,54î 0,72ĵ)) a B = 0,72αî 0,54αĵ + 0,72ω2 ĵ 0,54ω 2 î a B = ( 0,72α 0,54ω 2) î + ( 0,54α + 0,72ω 2) ĵ a B = 0,6 4 5î + 0,6 3 5ĵ Entonces: Figura 13: Solución final del problema 06 De (1) y (2): α = 0,667rad/s 2 y ω 2 = 0,00025rad/s 2 0,72α 0,54ω 2 = 0, (1) 0,54α + 0,72ω 2 = 0, (2) Hallamos aa : a A = ao + α r A/O + ω OA ( ω OA r ) A/O a A = α ˆk ( 0,9î) + ωˆk ( ωˆk ( 0,9î)) a A = 0,9αĵ + 0,9ω2 î a A = 0,6ĵ + 0,0025î a A = 0,6m/s 2 16

17 7. PROBLEMA N Cinemática de cuerpo rígido Las varillas AB y CD están articuladas en B como se observa en la figura, y se mueven en un plano vertical con las velocidades angulares absolutas y. Determine las velocidades lineales de los puntos C y D. Figura 14: Problema 07 SOLUCIÓN: Figura 15: Solución del problema 07 17

18 De la figura tenemos: De AB: De BC: ω AB = 4rad/s ω AB = 4ˆkrad/s ω CD = 3rad/s ω CD = 3ˆkrad/s ρ AB = 15îcm ρ BC = 10ĵcm ρ BD = 15ĵcm V B = ω AB ρab V B = 4ˆk 15î V B = 60ĵcm/s V C = V C + ω CD ρbc V C = 60ĵ + 3ˆk 10ĵ V C = 60ĵ 30î V C = 30î + 60ĵcm/s V C = 75cm/s 18

19 8. PROBLEMA N Cinemática de cuerpo rígido Una placa ABC se mueve con sus extremos A y B sobre las guías horizontales e inclinadas mostradas en la figura. En la posición dada ω = 4 krad/s y α = 5 krad/s 2, ambas en sentido de giro de la manecillas del reloj. Calcular la aceleración de los puntos A, B y C. SOLUCIÓN: Figura 16: Problema 08 Figura 17: Solución del problema 08 Por cinemática de cuerpos rígidos: ω = 4ˆkrad/s α = 5 krad/s 2 El movimiento del cuerpo rígido es un movimiento plano Para la aceleración: 19

20 a B = a A + ωxρ AB + ωx(ωxρ AB ) a B = a A + 5 kx( 1,5cos37 o î 1,5sen37 o ĵ) + 4 kx( 4 kx( 1,5cos37 o î 1,5sen37 o ĵ)) a B ( cos53 o î sen53 o ĵ) = a A î + 5,9898ĵ 4,5136î + 19,1673î + 14,4436ĵ a B ( sen53 o ĵ) = 20,4334ĵ a B = 25,5854m/s 2 a B = a B ( cos53 o î sen53 o ĵ) Hallando aceleración de A: a B = ( 15,3977î 20,4334ĵ)m/s2 a B ( cos53 o î) = a A î + 14,6537î a A = 0,7440m/s 2 Hallando la aceleración de C: a A = 0,7440îm/s2 a A = a C + ωxρ CA + ωx(ωxρ CA ) 0,7440î = a C + 5 kx(1,8ĵ) + 4 kx( 4 kx( 1,8ĵ)) 0,7440î = a C + 9î 28,8ĵ a C î = 9,7440î a C ĵ = 28,8ĵ a C = 30,4037m/s 2 a C = ( 9,7440î 28,8ĵ)m/s2 20

21 9. PROBLEMA N Cinemática de cuerpo rígido Cuando el mecanismo biela-manivela mostrado en la figura, esta en la posición dada,la velocidad y aceleración en C son v c = 4,8m/s,a r = 0,84m/s 2, ambas vertical hacia abajo. cual es la aceleración angular en la manivela AB? Figura 18: Problema 09 En la posición mostrada: De manera vectorial: v c = 4,8m/s,a r = 0,84m/s 2,a AB =? v c = 4,8ĵ a c = 0,84ĵ SOLUCIÓN: Figura 19: Solución del problema 09 21

22 Hallamos la velocidad de B: Hallamos la velocidad de C: V B = V A + V B/A V B = V A + [ ω AB ˆk ( 0,5 î 0,4ĵ)] V B = 0,5ω AB ĵ 0,4ω AB î Por lo tanto: V C = V B + V C/B V C = V B + [ ω BC ˆk ( 1,19 î 0,9ĵ)] V C = 0,4ω AB î 0,5ω AB ĵ + [ ω BC ˆk ( 1,19 î 0,9ĵ)] V C = 0,4ω AB î 0,5ω AB ĵ 1,19ω BC ĵ + 0,9ω BC î V C = 0î 4,8ĵ 0,4ω AB = 0,9ω BC ω BC = 0,4 0,9 ω AB 0,5ω AB 1,19ω BC = 4,8 ω BC = 2,07rad/s ω AB = 4,665rad/s Finalmente hallamos las aceleraciones: a B = aa + aab r B/A + ω AB ( ωab ) r B/A ( a B = a AB ˆk 0,5 î 0,4ĵ) + ( 4,665ˆk ) ( 2,33ĵ 1,87î) a B = (0,4a AB 10,87)î + (0,5a AB + 807)ĵ a C = a B + abc r C/B + ω BC ( ωbc ) r C/B a C = ( a B + a BC ˆk 1,19 î 0,9ĵ) + ( 2,207ˆk ) ( 2,47ĵ + 1,86î) a B = a B + 1,19a BC ĵ + 0,9a BC î + 5,11î + 1,86ĵ a C = (0,4a AB 10,87)î + (0,5a AB + 807)ĵ + 1,19a BC ĵ + 0,9a BC î + 5,11î + 1,86ĵ a C = (0,4a AB + 0,9a BC 5,76)î + (0,5a AB 1,19a BC + 12,55)ĵ 0,476a AB 6,85 = 0 0,5a AB + 10,54 = 0 a AB = 3,98rad/s 2 La aceleración gira en sentido horario de las manecillas del reloj. 22

23 10. PROBLEMA N-10 En el instante mostrado en la figura,la placa ABC,gira con una velocidad constante de 2rad/s alrededor de la arista AB que se mueve en un plano vertical. En e mismo instante,a tiene una velocidad hacia la izquierda de 2,4m/s y una aceleración de 3m/s 2.Calcule la velocidad y la aceleración absoluta en C. Figura 20: Problema 10 Se tiene como datos: SOLUCIÓN: v A = 2,4m/s, a A = 3m/s 2, ω = 2rad/s, r C/A = 2,4ĵ Figura 21: Solución del problema 10 V C = VA + ω AC r C/A ω AC = 2ˆk r C/A = 2,4ĵ 23

24 Además se tiene que: Hallando la aceleración: ω AC = ω AB = 2î V C = VA + ω AC ( r C/A = 2,4î + 2î 2,4ĵ) V C = 2,4î + 4,8ˆk V C = 5,37m/s a C = aa + aac r B/A + ω AC ( ω AC ) r C/A a C = 3î + 2î ( 2î 2,4ĵ) a C = 3î + 2î ( 4,8ˆk ) a C = 3î 9,6ĵ a C = 10,058m/s 2 24

25 11. PROBLEMA N Cinemática de cuerpo rígido La rueda de la figura gira libremente sobre el arco circular. Mostrar que : v A = rw y a At = rα SOLUCIÓN: Figura 22: Problema 11 Figura 23: Solución del problema 11 25

26 Se observa en la figura y se tienes que la velocidad en O como en A respecto al piso en que se encuentra la rueda de lo cual se tiene l siguiente : De lo cual se obtiene y queda demostrado lo : w o = θ w A = θ w o = w A = θ = w v A = rw sabemos que : v = wr v = a t v = d dt (wr) v = rẇ + ṙw de donde r = constante ṙ = 0 v = rẇ ẇ = α a t = rα De lo cual quedan demostrado las dos expresiones solicitadas v A = rw y a t = rα 26

27 12. PROBLEMA N Cinemática de cuerpo rígido Una placa ABC se mueve con sus extremos A y B sobre las guías horizontales e inclinadas mostradas en la figura. En la posición dada ω = 4 krad/s y α = 5 krad/s 2, ambas en sentido de giro de la manecillas del reloj. Calcular la aceleración de los puntos A, B y C. SOLUCIÓN: Figura 24: Problema 12 Figura 25: Solución del problema 12 Por cinemática de cuerpos rígidos: ω = 4ˆkrad/s α = 5 krad/s 2 El movimiento del cuerpo rígido es un movimiento plano Para la aceleración: 27

28 a B = a A + ωxρ AB + ωx(ωxρ AB ) a B = a A + 5 kx( 1,5cos37 o î 1,5sen37 o ĵ) + 4 kx( 4 kx( 1,5cos37 o î 1,5sen37 o ĵ)) a B ( cos53 o î sen53 o ĵ) = a A î + 5,9898ĵ 4,5136î + 19,1673î + 14,4436ĵ a B ( sen53 o ĵ) = 20,4334ĵ a B = 25,5854m/s 2 a B = a B ( cos53 o î sen53 o ĵ) Hallando aceleración de A: a B = ( 15,3977î 20,4334ĵ)m/s2 a B ( cos53 o î) = a A î + 14,6537î a A = 0,7440m/s 2 Hallando la aceleración de C: a A = 0,7440îm/s2 a A = a C + ωxρ CA + ωx(ωxρ CA ) 0,7440î = a C + 5 kx(1,8ĵ) + 4 kx( 4 kx( 1,8ĵ)) 0,7440î = a C + 9î 28,8ĵ a C î = 9,7440î a C ĵ = 28,8ĵ a C = 30,4037m/s 2 a C = ( 9,7440î 28,8ĵ)m/s2 28