TEMA I.4. Descripción Matemática de una Onda. Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui

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María Mercedes Navarro Aguilar
hace 7 años
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1 TEMA I.4 Descripción Matemática de una Onda Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui Departamento de Astronomía Universidad de Guanajuato DA-UG (México) División de Ciencias Naturales y Exactas, Campus Guanajuato, Sede Noria Alta TEMA I.4: Descripción Matemática de una Onda J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 1 / 9

2 Introducimos la función de onda = como una función matemática, que describe la posición de cualquier partícula en un medio en cualquier instante de tiempo. y = y(x, t) Para una cuerda: El movimiento cíclico de diversos puntos de la cuerda están desfasados uno con respeto a otro en diversas fracciones del ciclo (ver Figura I.4.1). A esto llamamos = diferencia de fase La diferencia de fase debido al movimiento difiere para distintos puntos. TEMA I.4: Descripción Matemática de una Onda J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 2 / 9

3 Figura I.4.1: Onda senosoidal transversal que viaja a la derecha a lo largo de una cuerda. Se muestra la forma de la cuerda a intervalos de 1 8 de periodo; la escala vertical está exagerada. TEMA I.4: Descripción Matemática de una Onda J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 3 / 9

4 La función de onda cuando el desplazamiento es, x = 0, se describe como: y(0, t) = A sen( ωt) = A sen( 2πf t) En t = 0, y = 0, el punto se mueve en la dirección +y. La perturbación viaja desde x = 0 hacia algún otro punto x, a la derecha en un tiempo t = x/ν. Así el movimiento del punto y en un instante t es el mismo que el movimiento del punto x = 0 en el instante t x/ν. ( ( y(x, t) = A sen ω t x )) ν ( ( = A sen 2πf t x )) ν TEMA I.4: Descripción Matemática de una Onda J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 4 / 9

5 )) ( ( )) f x = A sen 2πf ν t = A sen 2π ν f t donde 1/λ = f /ν y f = 1/T. En términos del periodo T y la longitud de onda λ: y(x, t) = A sen 2π λ t )) T Utilizando el número de onda, κ = 2 π λ, y como, λ = 2π κ, f = ω 2 π, y ν = λf. Obtenemos que ω = νκ, por lo tanto la función de onda queda como: donde [ω] = rad rad s, y [κ] = m. y(x, t) = A sen(κx ωt) TEMA I.4: Descripción Matemática de una Onda J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 5 / 9

6 Si la onda viaja en la dirección: )) y(x, t) = A sen 2πf ν + t y(x, t) = A sen 2π λ + t )) T La cantidad ωt ± κx es la fase. La rapidez de la onda es la rapidez en que tenemos que movernos para mantenernos junto a un punto con una fase dada. Para una onda viajando hacia x > 0, κx ωt = cte. Derivando respeto a t: ω = κ dx dt o dx dt = ω κ es la velocidad de la fase. TEMA I.4: Descripción Matemática de una Onda J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 6 / 9

7 Ejemplo: Onda periódica en una cuerda infinita. La extremidad de la cuerda se mueve como un MAS (Movimiento Armónico Simple). Con f = 2.0 Hz, A = m y ν = 12.0 m/s. En t = 0, la posición inicial es y = x = 0. Las partículas de la cuerda describe un MAS: Con amplitud A = m a) Calcular la frecuencia angular? ω = 2πf = 2π(2.0 Hz) = 4π rad s 12.6 rad s TEMA I.4: Descripción Matemática de una Onda J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 7 / 9

8 b) Calcular el periodo? T = 1 f = 0.50 s c) Calcular la longitud de onda? λ = ν f = d) Calcular el número de onda? κ = 2π λ o κ = ω 4π rad/s rad ν = 12.0 m/s = 1.05 m e) Describir la función de onda: 12.0 m/s 2.0 s 1 = 6 m = 2π rad 6.0 m = 1.05 rad m y(x, t) = A sen 2π λ t )) = (0.075 m) sen 2π T 6.0 m t )) 0.50 s f) Describir la función de onda en x = 3 m: ( ( 3.0 m y(3 m, t) = (0.075 m) sen 2π 6.0 m t )) 0.50 s ( = (0.075 m) sen π rad 4πt rad ) s TEMA I.4: Descripción Matemática de una Onda J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 8 / 9

9 Ejercicio: En el instante t = 0, la forma de un pulso de onda en una cuerda viene dado por la función y(x, 0) = (0.12 m)3 (2.0 m) 2 + x 2 en donde x está en metros. (a) Dibujar y(x, 0) en función de x. Expresar la función de onda y(x, t) en un instante t cualquiera si (b) el pulso se está moviendo en el sentido positivo de las x con una velocidad de 10 m/s y (c) si se está moviendo en el sentido negativo de las x con una velocidad del mismo valor. Ejercicio: Una onda esta descrita por ( x y(x, t) = (6.5 mm) cos(2π) 28.0 cm t ) s Determine la (a) amplitud; (b) longitud de onda; (c) frecuencia; (d) velocidad de propagación; (e) dirección de propagación. TEMA I.4: Descripción Matemática de una Onda J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 9 / 9

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